2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古名校聯(lián)盟高一（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古名校聯(lián)盟高一（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.九棱錐共有(

)A.9條棱 B.10條棱 C.12條棱 D.18條棱2.半徑為2的球的表面積為(

)A.6π B.8π C.10π D.12π3.若z=(|3?i|+i)(1+i3)A.3+i B.3?i C.1+3i D.1?3i4.已知α，β為兩個(gè)不同的平面，a，b為兩條不同的直線，設(shè)a?α，b?β，則α/?/β是a/?/b的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若正六棱臺(tái)ABCDEF?A1B1C1D1E1A.423 B.723 C.6.如圖，四邊形O′A′C′B′表示水平放置的四邊形OACB根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，O′A′=2，B′C′=4，O′B′=22，O′A′//B′C′，則AC=(

)A.23 B.4 C.6 7.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，在如圖所示的鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，過EF的截面α與AC交于點(diǎn)G，與BD交于點(diǎn)H，AB=1，若AB/?/截面α，且CD/?/截面α，四邊形GEHF是正方形，則CD=(

)A.12 B.1 C.32 8.若x=log424，y=3log43A.x>y>z B.y>z>x C.z>y>x D.y>x>z二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯(cuò)誤的是(

)A.若l/?/α，m//β，α/?/β，則l/?/m

B.若α⊥β，l/?/α，m//β，則l/?/m

C.若直線m?α，n?α，且l⊥m，l⊥n，則l⊥α

D.若l，m是異面直線，l?α，m?β，且l/?/β，m/?/α，則α/?/β10.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bsinB+csinC?asinA≥2csinB，則A的值可以為A.π6 B.π5 C.π311.已知三棱錐P?ABC的所有棱長都是6，D，E分別是三棱錐P?ABC外接球和內(nèi)切球上的點(diǎn)，則(

)A.三棱錐P?ABC的體積是182

B.三棱錐P?ABC內(nèi)切球的半徑是66

C.DE長度的取值范圍是[6三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,3),b=(3,λ),c=(43,?3).13.某同學(xué)將一張圓心角為π3的扇形紙殼裁成扇環(huán)(如圖1)后，制成了簡易筆筒(如圖2)的側(cè)面，已知OB=2OA=60cm，則制成的簡易筆筒的高為______cm．14.如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=2AA1=27，

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，這是由一個(gè)半圓柱和一個(gè)長方體組合而成的幾何體，其中AB=AA1=2，AD=6．

(1)求該幾何體的體積；

(2)16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn)，且AC⊥PE．

(1)證明：AC⊥PF．

(2)若PA=PD=AB=2，求點(diǎn)D到平面PAF的距離．17.(本小題15分)

如圖，在六面體ABCDEF中，DE/?/CF，正方形ABCD的邊長為2，DE=2FC=2，AE=22,BE=23．

(1)證明：平面ADE//平面BCF．

(2)求直線EF與平面ABCD所成角的正切值．

18.(本小題17分)

在△ABC中，GA+GB+GC=0．

(1)證明：G為△ABC的重心．

(2)設(shè)AG=4，BC=6．

①證明：BG2+CG19.(本小題17分)

刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為π3，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為2π?3×π3=π.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)A的曲率為2π3，N，M分別為AB，CC1的中點(diǎn)，且AB=AC．

(1)證明：CN⊥平面ABB1A

答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.B

9.ABC

10.AB

11.ACD

12.3

π613.514.7

15.解：(1)長方體的體積為2×2×6=24，

半圓柱的底面積為12π(AB2)2=12π(22)2=π2，

半圓柱的體積為π2×AD=π2×6=3π，

該幾何體的體積為16.(1)證明：連接BD，EF，

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AC⊥BD，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn)，所以EF//BD，

所以AC⊥EF，

又AC⊥PE，EF∩PE=E，EF、PE?平面PEF，

所以AC⊥平面PEF，

因?yàn)镻F?平面PEF，所以AC⊥PF．

(2)解：因?yàn)镻A=PD，E是AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD，

又AC⊥PE，AD∩AC=A，AD、AC?平面ABCD，

所以PE⊥平面ABCD，

即點(diǎn)P到平面ADF的距離為PE=3，

因?yàn)镋F?平面ABCD，所以PE⊥EF，所以PF=PE2+EF2=(3)2+12=2=PA，

所以S△PAF=12AF?PA2?(12AF)17.解：(1)證明：∵DE/?/CF，DE?平面ADE，CF?平面ADE，

∴CF/?/平面ADE，

在正方形ABCD中，AD//BC，又∵AD?平面ADE，

BC?平面ADE，∴BC/?/平面ADE，

∵CF∩BC=C，CF?平面BCF，BC?平面BCF，

∴平面ADE//平面BCF．

(2)連接BD，延長EF，DC交于點(diǎn)O，

∵正方形ABCD的邊長為2，DE=2FC=2，AE=22,BE=23．

∴AD2+DE2=AE2，∴AD⊥DE，

∵BD=AB2+AD2=22，∴BD2+DE2=BE2，∴BD⊥DE，

∵AD∩BD=D，∴DE⊥平面ABCD，

∴∠DOE為直線EF與平面ABCD所成的角，

在△ODE中，由CODO=18.(1)證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為E，則GB+GC=2GE，

因?yàn)镚A+GB+GC=0，所以GA+2GE=0，可得GA=?2GE，

由此可得A、G、E三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G在△ABC的中線AE上．

設(shè)AC的中點(diǎn)為F，AB的中點(diǎn)為H，同理可證點(diǎn)G在△ABC的中線BF、CH上，

所以點(diǎn)G為△ABC三條中線的交點(diǎn)，即G為△ABC的重心．

(2)解：①證明：由(1)知GA=?2GE，因?yàn)锳G=4，所以EG=2．

因?yàn)锽C=6，所以BE=CE=3，

設(shè)∠CEG=α，則∠BEG=π?α，cos∠BEG=?cosα，

由余弦定理，得CG2=22+32?2×2×3cosα，BG2=22+3219.(1)證明：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC，AB?平面ABC，

則AA1⊥AC，AA1⊥AB，所以點(diǎn)A的曲率為2π?2×π2?∠BAC=2π3，

所以∠BAC=π3，因?yàn)锳B=AC，所以△ABC為正三角形，

因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以CN⊥AB，

又AA1⊥平面ABC，CN?平面ABC，所以AA1⊥CN，

因?yàn)锳A1∩AB=A，AA1、AB?平面ABB1A1，

所以CN⊥平面ABB1A1．

(2)證明：取AB1的中點(diǎn)D，連接DM，DN，

因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以DN//BB1且DN=12BB1，

又CM//BB1且CM=12BB1，所以DN//