2023屆上海金山區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題及答案

高中高中2023屆上海金山區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷2023.04一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知集合，集合，若，則_________.2.若實(shí)數(shù)滿足不等式，則的取值范圍是__________.3.雙曲線的漸近線方程是__________.4.已知向量，向量，則與的夾角的大小為__________.5.在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為_________（結(jié)果用數(shù)值表示）.6.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則_________.7.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則__________.8.擲一顆骰子，令事件，，則_________（結(jié)果用數(shù)值表示）.9.已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為__________.10.若函數(shù)（常數(shù)）在區(qū)間沒有最值，則的取值范圍是__________.11.已知函數(shù)和的表達(dá)式分別為，，若對(duì)任意，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.12.已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為__________.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.若實(shí)數(shù)、滿足，則下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.14.某社區(qū)通過公益講座宣傳交通法規(guī).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位居民，分別在講座前、后各回答一份交通法規(guī)知識(shí)問卷，滿分為100分.他們得分的莖葉圖如圖所示（“葉”是個(gè)位數(shù)字），則下列選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤的是（）A.講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分B.講座前的答卷得分分布較講座后分散C.講座后答卷得分的第80百分位數(shù)為95D.講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差15.如圖，在矩形ABCD中，E、F分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且，，設(shè)P、Q分別為線段AF、CE的中點(diǎn)﹐將四邊形ABFE沿著直線EF進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關(guān)系不能恒成立的是（）A.直線直線CD B.直線直線EDC.直線直線PO D.直線平面ADE16.設(shè)是項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，其中.當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意正整數(shù)，都有.給出下列兩個(gè)命題：①若對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的最大值為18；②對(duì)于任意滿足的正整數(shù)s和t，總存在不超過的正整數(shù)m和k，使得.下列說法正確的是（）A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①和②都是真命題 D.①和②都是假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分，第Ⅰ小題滿分6分，第2小題滿分8分）在中，角A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知，.（1）若，求；（2）若，求的面積.18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在正三棱柱中，已知，D是AB的中點(diǎn).（1）求直線與所成的角的大??；（2）求證：平面平面，并求點(diǎn)到平面的距離.19.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）某網(wǎng)站計(jì)劃4月份訂購(gòu)草莓在網(wǎng)絡(luò)銷售，每天的進(jìn)貨量相同，成本價(jià)為每盒15元.假設(shè)當(dāng)天進(jìn)貨能全部售完，決定每晚七點(diǎn)前（含七點(diǎn)）售價(jià)為每盒20元，每晚七點(diǎn)后售價(jià)為每盒10元.根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，每天的購(gòu)買量與網(wǎng)站每天的瀏覽量（單位：萬次）有關(guān).為確定草莓的進(jìn)貨量，相關(guān)人員統(tǒng)計(jì)了前兩年4月份（共60天）網(wǎng)站每天的瀏覽量（單位：萬次）、購(gòu)買草莓的數(shù)量（單位：盒）以及達(dá)到該流量的天數(shù)，如下表所示：每天的瀏覽量每天的購(gòu)買量300900天數(shù)3624以每天的瀏覽量位于各區(qū)間的頻率代替瀏覽量位于該區(qū)間的概率.（1）求4月份草莓一天的購(gòu)買量（單位：盒）的分布；（2）設(shè)4月份銷售草莓一天的利潤(rùn)為（單位：元），一天的進(jìn)貨量為（單位：盒），為正整數(shù)且，當(dāng)為多少時(shí)，的期望達(dá)到最大值，并求此最大值.20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知橢圓.（1）已知橢圓的離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸，記與的交點(diǎn)分別為A、B，A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，若四邊形是正方形，求正方形的內(nèi)切圓的方程；（3）設(shè)О為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)都在橢圓上，若是等腰直角三角形，其中是直角，點(diǎn)Р在第一象限，且O、P、Q三點(diǎn)按順時(shí)針方向排列，求b的最大值.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）若函數(shù)在處取得極值，且（常數(shù)），則稱是函數(shù)的“相關(guān)點(diǎn)”.（1）若函數(shù)存在“相關(guān)點(diǎn)”，求的值；（2）若函數(shù)（常數(shù)）存在“1相關(guān)點(diǎn)”，求的值：（3）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為（常數(shù)且），若函數(shù)有兩個(gè)不相等且均不為零的“2相關(guān)點(diǎn)”，過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：

一．填空題：1、；2、；3、；4、；5、；6、5；7、；8、；9、；10、；11、；12、；二．選擇題：13、D；14、C；15、B；16、C；三．解答題：17、【答案】（1）（2）【小問1詳解】由,應(yīng)用正弦定理得,,即得.【小問2詳解】因?yàn)閯t,又由正弦定理得.

18、【答案】（1）（2）【小問1詳解】由正三棱柱結(jié)構(gòu)特征可知：，平面，為等邊三角形；直線與所成角即為，平面，，在中，，，即直線與所成角的大小為.【小問2詳解】作，垂足為，平面平面，平面平面，平面，，平面，點(diǎn)到平面的距離即為的長(zhǎng)，由（1）知：，，，即，點(diǎn)到平面的距離為.19、【答案】（1）分布列見解析（2）當(dāng)時(shí)的期望達(dá)到最大值，.【小問1詳解】依題意可能取值為、，則，，所以的分布列為【小問2詳解】當(dāng)一天的進(jìn)貨量為（單位：盒），為正整數(shù)且時(shí)利潤(rùn)的可能取值為或，且，，所以，顯然隨著的增大而減少，所以當(dāng)時(shí)的期望達(dá)到最大值，.20、【答案】（1）（2）（3）【小問1詳解】由題意得，，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，所以，由，得，正方形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，所以所求圓的方程為；【小問3詳解】設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，則，聯(lián)立，得，同理可得，由得，即，整理得，注意到且，則要使上述關(guān)于的一元二次方程有正數(shù)解，只需要，解得，所以b的最大值為.21、【答案】（1）（2）（3）【小問1詳解】函數(shù)的對(duì)稱軸為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)存在“相關(guān)點(diǎn)”，由題意可得，，解得.【小問2詳解】由，則，由題意可得，，即，即，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以方程存在唯一實(shí)數(shù)根1，即，即，此時(shí)，則，令，即；令，即，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為1，所以1是函數(shù)的“