2024年上海中考數(shù)學模擬練習卷四及參考答案

試卷PAGE1試卷試卷PAGE2試卷上海市2024年中考數(shù)學模擬練習卷3（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題）一、單選題（共24分）1．（本題4分）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．2．（本題4分）當使用換元法解方程時，若設，則原方程可變形為（

）A． B． C． D．3．（本題4分）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象是過原點的射線 B．直線經過第一?二?三象限C．函數(shù)，y隨x增大而增大 D．函數(shù)，y隨x增大而減小4．（本題4分）甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績情況如圖所示．根據統(tǒng)計圖，下列結論正確的是（

）

A．甲的射靶成績的平均數(shù)大于乙的射靶成績的平均數(shù) B．甲的射靶成績比乙的射靶成績穩(wěn)定C．甲的射靶成績比乙的射靶成績好些 D．在射靶上，甲比乙更有潛力5．（本題4分）如圖，依次連接四邊形各邊中點得四邊形，要使四邊形為矩形，添加的條件不正確的是（）A． B． C． D．6．（本題4分）如圖，已知等腰梯形ABCD，ABCD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延長線于E，EF⊥AD交AD的延長線于F，下列結論：①BDEF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE＋EF．其中錯誤的結論有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個第II卷（非選擇題）二、填空題（共48分）7．（本題4分）分解因式：=．8．（本題4分）計算：．9．（本題4分）方程的解是．10．（本題4分）函數(shù)的定義域是．11．（本題4分）若關于x的一元二次方程無實數(shù)根，則整數(shù)k的最小值為．12．（本題4分）一個不透明的袋子中裝有12個白球、9個黃球和若干個黑球，它們除顏色外，完全相同，從袋子中隨機摸出一球，記下顏色并放回，重復該試驗多次，發(fā)現(xiàn)得到白球的頻率穩(wěn)定在，則可判斷袋子中黑球的個數(shù)為．13．（本題4分）如果一個正多邊形的中心角為72°，則該正多邊形的對角線條數(shù)為．14．（本題4分）下面是三位同學對某個二次函數(shù)的描述．甲：圖象的形狀、開口方向與的相同；乙：頂點在軸上；丙：對稱軸是請寫出這個二次函數(shù)解析式的一般式：．15．（本題4分）如圖，已知梯形ABCD中，，對角線AC、BD交于點O，．設，，則．（用含、的式子表示）16．（本題4分）某校對學生上學方式進行了一次抽樣調查，如圖是根據此次調查結果所繪制的一個未完成的扇形統(tǒng)計圖，被調查的學生中騎車的有21人，則下列四種說法：①被調查的學生有60人；②被調查的學生中，步行的有27人；③被調查的學生中，騎車上學的學生比乘車上學的學生多20人；④扇形圖中，乘車部分所對應的圓心角為．其中正確的說法有．（填寫序號）

17．（本題4分）如圖，在中，，，點在邊上，且，將繞著點逆時針旋轉，點落在的一條邊上的點處，那么旋轉角的度數(shù)是．

18．（本題4分）如圖，在平面直角坐標系中，有7個半徑為1的小圓拼在一起，下面一行的4個小圓都與x軸相切，上面一行的3個小圓都在下一行右邊3個小圓的正上方，且相鄰兩個小圓只有一個公共點，從左往右數(shù)，y軸過第2列兩個小圓的圓心，點P是第3列兩個小圓的公共點．若過點P有一條直線平分這7個小圓的面積，則該直線的函數(shù)表達式是．三、解答題（共78分）19．（本題6分）計算：(1)；(2)．20．（本題8分）解不等式組：．21．（本題10分）如圖，是的直徑，是一條弦，D是的中點，于點E，交于點F，交于點H，交于點G．

(1)求證：．(2)若，求的半徑．22．（本題12分）在一次實驗中，小李把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛質量為x的物體，如圖所示，彈簧的長度y（）與所掛物體的質量x（）的幾組對應值如下表：

(1)當所掛物體的質量為4時，彈簧長______；不掛重物時彈簧長_____；(2)寫出彈簧長度y（）與所掛物體質量x（）之間的函數(shù)關系式；(3)當彈簧長度為36時，求所掛物體的質量．23．（本題12分）如左圖，為探究一類矩形的性質，小明在邊上取一點E，連接，經探究發(fā)現(xiàn)：當平分時，將沿折疊至，點F恰好落在上，據此解決下列問題：(1)求證：；(2)如圖，延長交于點G，交于點H．①求證：；

②求的值24．（本題14分）已知在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點是該拋物線在第一象限內一點，聯(lián)結與線段相交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)設拋物線的對稱軸與線段交于點，如果點與點重合，求點的坐標；(3)過點作軸，垂足為點與線段交于點，如果，求線段的長度．25．（本題16分）已知正方形與正方形，正方形繞點A旋轉一周．(1)在旋轉過程中，①連接與，結合圖1，探究線段與的數(shù)量關系______，線段BE與DG的位置關系______；②連接與，結合圖2，試探究線段與的數(shù)量關系，并說明理由．(2)在旋轉過程中，連接，取中點M，①連接，結合圖3，試探究與的關系，并說明理由；②將正方形繞點A旋轉一周，若，請直接寫出點M在這個過程中的運動路徑長______．參考答案第I卷（選擇題）一、單選題（共24分）1．（本題4分）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據二次根式的減法法則、完全平方公式、同底數(shù)冪的乘法法則、積的乘方的乘法法則對各項進行計算即可．【解析】解：，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確；故選：D．【點評】本題考查二次根式的減法、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式，熟練掌握相關法則是解題的關鍵．2．（本題4分）當使用換元法解方程時，若設，則原方程可變形為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方程的兩個分式具備平方關系，若設，則原方程化為y2-2y-3=0．用換元法轉化為關于y的一元二次方程．【解析】解：把代入原方程得：．故選：．【點評】用換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應注意總結能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．3．（本題4分）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象是過原點的射線 B．直線經過第一?二?三象限C．函數(shù)，y隨x增大而增大 D．函數(shù)，y隨x增大而減小【答案】C【分析】根據一次函數(shù)的圖象與性質、反比例函數(shù)的圖象與性質逐項判斷即可得．【解析】A、函數(shù)的圖象是過原點的直線，則此項說法錯誤，不符題意；B、直線經過第一?二?四象限，則此項說法錯誤，不符題意；C、函數(shù)，隨增大而增大，則此項說法正確，符合題意；D、函數(shù)，隨增大而增大，則此項說法錯誤，不符題意；故選：C．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質、反比例函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質、反比例函數(shù)的圖象與性質是解題關鍵．4．（本題4分）甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成績情況如圖所示．根據統(tǒng)計圖，下列結論正確的是（

）

A．甲的射靶成績的平均數(shù)大于乙的射靶成績的平均數(shù) B．甲的射靶成績比乙的射靶成績穩(wěn)定C．甲的射靶成績比乙的射靶成績好些 D．在射靶上，甲比乙更有潛力【答案】B【分析】根據平均數(shù)的概念進行計算從而判斷A，分別求得甲乙方差從而判斷B，通過對平均數(shù)和中位數(shù)的分析判斷C，通過對甲乙成績的變化趨勢分析從而判斷D【解析】解：由題意可得：甲的10次射靶的平均成績?yōu)椋ōh(huán)），乙的10次射靶的平均成績?yōu)椋ōh(huán)），∴甲的射靶成績的平均數(shù)等于乙的射靶成績的平均數(shù)，故選項A不符合題意；甲的10次射靶的方差為乙的10次射靶的方差為，∵，∴甲的射靶成績比乙的射靶成績穩(wěn)定，故選項B符合題意；從平均數(shù)上看，甲乙兩人成績一樣，從中位數(shù)上看，甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，因此乙的射靶成績較好，故選項C不符合題意；從平均成績上看，甲乙二人平均成績一樣，從中位數(shù)上看，乙的中位數(shù)高于甲，從圖象上看，乙的射靶成績上升趨勢更為明顯，所以在射靶上，乙比甲更有潛力，故選項D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了折線統(tǒng)計圖，用到的知識點是平均數(shù)和方差，準確識圖，根據平均數(shù)和方差的計算公式進行計算是解題關鍵．5．（本題4分）如圖，依次連接四邊形各邊中點得四邊形，要使四邊形為矩形，添加的條件不正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據中點四邊形可得四邊形是平行四邊形，進而添加一個直角或者對角先線相等，可得矩形，而添加鄰邊相等得出四邊形為菱形，據此即可求解．【解析】解：如圖，連接，依題意，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，A.添加，則四邊形為矩形，故該選不符合題意；

B.添加，可得四邊形為菱形，符合題意；

C.添加，可得四邊形為矩形，故該選不符合題意；

D.添加，則，可得四邊形為矩形，故該選不符合題意；

故選：B．【點評】本題考查了三角形中位線的性質，平行四邊形的性質與判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．6．（本題4分）如圖，已知等腰梯形ABCD，ABCD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延長線于E，EF⊥AD交AD的延長線于F，下列結論：①BDEF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE＋EF．其中錯誤的結論有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據等腰梯形的性質結合全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、等腰三角形的判定、三角形的外角性質、三角形的中位線等知識進行逐個判斷解答即可．【解析】解：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，又AD=BC、AB=AB，∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠BAC=∠ABD，∠ADB=∠BCA，又AC⊥BC，∴OA=OB，OC=OD，∠ADB=∠BCA=90°即BD⊥AD，∵EF⊥AD，∴BD∥EF，故①正確；∴∠AEF=∠AOD=∠BAC+∠ABD，∴∠AEF=2∠BAC，故②正確；∵BE⊥AB，∴∠BAC+∠AEB=∠ABD+∠OBE=90°，∴∠AEB=∠OBE，∴OB=OE，∴AO=OE，又OD∥EF，∴AD=DF，故③正確；∴EF=2OD=2OC，∵OA=OE=OC+CE，∴AC=OA+OC=OC+CE+OC=2OC+CE=EF+CE，故④正確，綜上，正確的結論有4個，即錯誤的結論有0個，故選：A．【點評】本題考查等腰梯形的性質、全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、等腰三角形的判定、三角形的外角性質、三角形的中位線性質等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．第II卷（非選擇題）二、填空題（共48分）7．（本題4分）分解因式：=．【答案】【分析】根據平方差公式分解因式即可．【解析】解：．故答案為：．【點評】本題考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解題的關鍵．8．（本題4分）計算：．【答案】【分析】根據分式的加減運算進行計算即可求解．【解析】解：，故答案為：．【點評】本題考查了分式的加減運算，正確的計算是解題的關鍵．9．（本題4分）方程的解是．【答案】無解【分析】先把無理方程轉化成有理方程，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解析】解：兩邊平方得：，解得：，，經檢驗，和是原方程的增根，原方程無解，故答案為：無解．【點評】本題考查解無理方程和解一元二次方程，二次根式的性質，能把無理方程轉化成有理方程是解題的關鍵．10．（本題4分）函數(shù)的定義域是．【答案】且【分析】根據二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)以及分式的分母不能為0，列不等式組求解即可．【解析】解：由可得，解得且，故答案為：且【點評】此題考查了函數(shù)的定義域，使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍為定義域，解題的關鍵是列出不等式組，并正確求解．11．（本題4分）若關于x的一元二次方程無實數(shù)根，則整數(shù)k的最小值為．【答案】6【分析】要使一元二次方程沒有實根，只需二次項系數(shù)不等于0且根的判別式小于0，由此可求出k的范圍，再找出最小值即可．【解析】解：∵關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，∴且，解得，，∴，∴整數(shù)k的最小值是6，故答案為：6．【點評】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的構成條件、解一元一次不等式等知識，解題的關鍵是掌握根的判別式：對于一元二次方程，時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；時，方程有兩個相等的實數(shù)根；時，方程沒有實數(shù)根．12．（本題4分）一個不透明的袋子中裝有12個白球、9個黃球和若干個黑球，它們除顏色外，完全相同，從袋子中隨機摸出一球，記下顏色并放回，重復該試驗多次，發(fā)現(xiàn)得到白球的頻率穩(wěn)定在，則可判斷袋子中黑球的個數(shù)為．【答案】9【分析】由摸到白球的頻率穩(wěn)定在附近得出口袋中得到白色球的概率，進而求出黑球個數(shù)即可．【解析】解：設黑球個數(shù)有x個，∵摸到白色球的頻率穩(wěn)定在左右，∴解得：，故黑球的個數(shù)為9．故答案為：9．【點評】本題考查概率，正確理解概率的含義是解題關鍵．13．（本題4分）如果一個正多邊形的中心角為72°，則該正多邊形的對角線條數(shù)為．【答案】5【分析】用360°除以中心角的度數(shù)，就得到中心角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)，再根據一個多邊形有條對角線，即可算出有多少條對角線．【解析】解：由題意可得，正多邊形邊數(shù)為360°÷72°＝5，∴這個多邊形的對角線條數(shù)是條．故答案為：5【點評】本題主要考查了正多邊形中心角的性質，多邊形的對角線等知識，熟知正多邊形的中心角的性質和求多邊形對角線條數(shù)的公式是解題關鍵．14．（本題4分）下面是三位同學對某個二次函數(shù)的描述．甲：圖象的形狀、開口方向與的相同；乙：頂點在軸上；丙：對稱軸是請寫出這個二次函數(shù)解析式的一般式：．【答案】【分析】根據已知條件知，此二次函數(shù)解析式為，且，，據此可得；【解析】解：設函數(shù)解析式為，根據題意得，，二次函數(shù)解析式是：，故答案為：．【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質及其解析式的形式．15．（本題4分）如圖，已知梯形ABCD中，，對角線AC、BD交于點O，．設，，則．（用含、的式子表示）【答案】【分析】根據平面向量計算即可表示．【解析】解：∵∴∠OAD＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO∴△AOD∽△BOC∵∴＝，∴，∴，即，∵，，與同向，∴，∵，∴．故答案為：【點評】本題考查了梯形、平面向量定理，解決本題的關鍵是掌握平面向量定理．16．（本題4分）某校對學生上學方式進行了一次抽樣調查，如圖是根據此次調查結果所繪制的一個未完成的扇形統(tǒng)計圖，被調查的學生中騎車的有21人，則下列四種說法：①被調查的學生有60人；②被調查的學生中，步行的有27人；③被調查的學生中，騎車上學的學生比乘車上學的學生多20人；④扇形圖中，乘車部分所對應的圓心角為．其中正確的說法有．（填寫序號）

【答案】①②④【分析】利用騎車的人數(shù)除以其所占的百分比求出調查的總人數(shù)，再求出步行所占的百分比，利用總人數(shù)乘以步行所占的百分比求得步行的人數(shù)，然后利用乘車所占的百分比乘以總人數(shù)求得乘車的人數(shù)，再與騎車的人數(shù)相比即可，最后利用乘車所占的百分比乘以即可求得乘車所對應的圓心角．【解析】解：由題意可得，參與調查的總人數(shù)為：（人），故①正確；∵步行所占的百分比為：，∴步行的人數(shù)為：（人），故②正確；∵乘車的人數(shù)為：（人），（人），∴騎車上學的學生比乘車上學的學生多12人，故③錯誤，乘車部分所對應的圓心角為：，故④正確，故答案為：①②④．【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖，熟練掌握頻數(shù)除以總人數(shù)等于其所占的百分比，求圓心角的方法是解題的關鍵．17．（本題4分）如圖，在中，，，點在邊上，且，將繞著點逆時針旋轉，點落在的一條邊上的點處，那么旋轉角的度數(shù)是．

【答案】或【分析】分類討論：當點在上，根據等邊對等角和三角形內角和即可求得；當點在上，根據30度所對的直角邊是斜邊的一半和三角形的外角性質即可求得．【解析】當點在上，如圖：

∵，∴，∴，當點在上，如圖：

∵，∴，∴，故答案為：或【點評】本題考查旋轉的性質，等邊對等角，三角形內角和，30度角的直角三角形性質，三角形的外角性質，解題的關鍵是分類討論思想的運用．18．（本題4分）如圖，在平面直角坐標系中，有7個半徑為1的小圓拼在一起，下面一行的4個小圓都與x軸相切，上面一行的3個小圓都在下一行右邊3個小圓的正上方，且相鄰兩個小圓只有一個公共點，從左往右數(shù)，y軸過第2列兩個小圓的圓心，點P是第3列兩個小圓的公共點．若過點P有一條直線平分這7個小圓的面積，則該直線的函數(shù)表達式是．【答案】【分析】當直線y過P、N兩點時，由中心對稱圖形的特征可得直線y平分7個小圓的面積，由直線和圓的位置關系，圓和圓的位置關系求得N、P的坐標，再待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；【解析】解：如圖，⊙N、⊙G、⊙M與x軸相切于F、O、E，連接NF、NG、GM、ME、PM，直線y過P、N兩點，∵右邊6個小圓關于點P中心對稱，直線y經過點P，∴直線y平分右邊6個小圓的面積，∵直線y經過左邊小圓的圓心，∴直線y平分⊙N的面積，∴直線y平分7個小圓的面積，NF⊥x軸，GO⊥x軸，則NF∥GO，NF=GO=1，則NFOG是平行四邊形，∠GOF=90°，則NFOG是矩形，∵⊙N、⊙G相切，∴NG=2，即N（-2，1），同理可得M（2，1），∵P在⊙M的正上方，E點在⊙M的正下方，∴PE為⊙M的直徑，即P、M、E共線，∴P（2，2），設直線y=kx+b，則，解得：，∴，故答案為：；【點評】本題考查了中心對稱圖形的特征，直線和圓的位置關系，圓和圓的位置關系，一次函數(shù)解析式；掌握中心對稱圖形的特征是解題關鍵．三、解答題（共78分）19．（本題6分）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用絕對值的性質、二次根式的性質分別化簡，進而得出答案；（2）直接利用零指數(shù)冪的性質以及絕對值的性質、負整數(shù)指數(shù)冪的性質、立方根的性質分別化簡，進而計算得出答案．【解析】（1）解：；（2）解：．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．20．（本題8分）解不等式組：．【答案】【分析】先求出每個不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．【解析】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個不等式的解集是解題的關鍵．21．（本題10分）如圖，是的直徑，是一條弦，D是的中點，于點E，交于點F，交于點H，交于點G．

(1)求證：．(2)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據D是的中點，于點E，得到,得到即可得證．（2）根據，設，運用勾股定理，得到，結合，得到，運用勾股定理，得到，從而得到，在中，利用勾股定理計算x即可．【解析】（1）∵D是的中點，∴，∵，是的直徑，∴，∴，∴，∴．（2）∵，是的直徑，∴，∵，設，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，解得或（舍去），∴，∴的半徑為5．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數(shù)，熟練掌握垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數(shù)是解題的關鍵．22．（本題12分）在一次實驗中，小李把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛質量為x的物體，如圖所示，彈簧的長度y（）與所掛物體的質量x（）的幾組對應值如下表：

(1)當所掛物體的質量為4時，彈簧長______；不掛重物時彈簧長_____；(2)寫出彈簧長度y（）與所掛物體質量x（）之間的函數(shù)關系式；(3)當彈簧長度為36時，求所掛物體的質量．【答案】(1)24；18(2)(3)9【分析】（1）根據彈簧的長度y（）與所掛物體的質量x（）的對應值表格，即可直接得出答案；（2）由表格可知，所掛物體的質量每增加1，彈簧的長度就會增加，據此即可寫出彈簧長度y（）與所掛物體質量x（）之間的函數(shù)關系式；（3）把代入（2）中函數(shù)關系式即可解答．【解析】（1）根據彈簧的長度y（）與所掛物體的質量x（）的對應值表格，可知：當所掛物體的質量為4時，彈簧長24；不掛重物時彈簧長18；故答案是24；18；（2）根據彈簧的長度y（）與所掛物體的質量x（）的對應值表格，可知所掛物體的質量每增加1，彈簧的長度就會增加，∴．故答案是；（3）當時，，∴．即當彈簧長度為36時，求所掛物體的質量為．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵在于熟讀題意，分析表格中的數(shù)據之間的數(shù)量關系，求出彈簧長度與所掛物體質量之間的函數(shù)關系式．23．（本題12分）如左圖，為探究一類矩形的性質，小明在邊上取一點E，連接，經探究發(fā)現(xiàn)：當平分時，將沿折疊至，點F恰好落在上，據此解決下列問題：(1)求證：；(2)如圖，延長交于點G，交于點H．①求證：；

②求的值【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）根據矩形的性質可得，再由折疊的性質可得，然后根據平分，可得，即可；（2）①根據是等腰直角三角形，可得，再由，可得，，從而得到，再由折疊的性質可得，可證明，即可；②根據等腰直角三角形的性質可得，從而得到，進而得到，再證明，即可求解．【解析】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊的性質得：，，∴，∵平分，∴，∴；（2）①證明：∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，，∴，由折疊的性質得：，即，∴，∴

即；②解：∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴．【點評】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質，三角形相似的判定和性質，證明是解答本題的關鍵．24．（本題14分）已知在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點是該拋物線在第一象限內一點，聯(lián)結與線段相交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)設拋物線的對稱軸與線段交于點，如果點與點重合，求點的坐標；(3)過點作軸，垂足為點與線段交于點，如果，求線段的長度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將點和點代入，即可求解；（2）分別求出和直線的解析式為，可得，，再求直線的解析式為，聯(lián)立，即可求點；（3）設，則，則，用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，聯(lián)立，可求出，，直線與軸交點，則，