2025屆湖北省武漢市華中師大一附中數(shù)學九上期末學業(yè)水平測試試題含解析

2025屆湖北省武漢市華中師大一附中數(shù)學九上期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．一元二次方程的正根的個數(shù)是()A． B． C． D．不確定2．如圖，在四邊形中，，對角線、交于點有以下四個結(jié)論其中始終正確的有（）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖，AC，BE是⊙O的直徑，弦AD與BE交于點F，下列三角形中，外心不是點O的是（）A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C畫圓弧，則點B與下列格點連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點坐標是()A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)5．為執(zhí)行“均衡教育”政策，某區(qū)2018年投入教育經(jīng)費7000萬元，預計到2020年投入2.317億元，若每年投入教育經(jīng)費的年平均增長百分率為x，則下列方程正確的是（）A．7000（1+x2）＝23170 B．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝23170C．7000（1+x）2＝23170 D．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝23176．我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”.除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形(如圖)，它是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形.圖是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖.圖圖有如下四個結(jié)論：①勒洛三角形是中心對稱圖形②圖中，點到上任意一點的距離都相等③圖中，勒洛三角形的周長與圓的周長相等④使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，會發(fā)生上下抖動上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④7．下列各說法中：①圓的每一條直徑都是它的對稱軸；②長度相等的兩條弧是等弧；③相等的弦所對的弧也相等；④同弧所對的圓周角相等；⑤90°的圓周角所對的弦是直徑；⑥任何一個三角形都有唯一的外接圓；其中正確的有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個8．下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c=0 B．+x=2 C．x2+2x=x2﹣1 D．3x2+1=2x+29．如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，若，則的度數(shù)為()A． B． C． D．10．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，點C為⊙O上一點，連AC、BC，若∠P＝80°，則的∠ACB度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．80°二、填空題(每小題3分,共24分)11．點P、Q兩點均在反比例函數(shù)的圖象上，且P、Q兩點關(guān)于原點成中心對稱，P（2，3），則點Q的坐標是_____．12．如圖,螺母的一個面的外沿可以看作是正六邊形,這個正六邊形ABCDEF的半徑是2cm,則這個正六邊形的周長是___．13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若∠CDB＝30°，⊙O的半徑為5cm則圓心O到弦CD的距離為_____．14．一個質(zhì)地均勻的小正方體，六個面分別標有數(shù)字1，1，2，4，5，5，隨機擲一次小正方體，朝上一面的數(shù)字是奇數(shù)的概率是__________．15．小燕拋一枚硬幣10次，有7次正面朝上，當她拋第11次時，正面向上的概率為_________．16．兩個少年在綠茵場上游戲．小紅從點A出發(fā)沿線段AB運動到點B，小蘭從點C出發(fā)，以相同的速度沿⊙O逆時針運動一周回到點C，兩人的運動路線如圖1所示，其中AC=DB．兩人同時開始運動，直到都停止運動時游戲結(jié)束，其間他們與點C的距離y與時間x（單位：秒）的對應關(guān)系如圖2所示．則下列說法正確的有________．(填序號)①小紅的運動路程比小蘭的長；②兩人分別在1.09秒和7.49秒的時刻相遇；③當小紅運動到點D的時候，小蘭已經(jīng)經(jīng)過了點D；④在4.84秒時，兩人的距離正好等于⊙O的半徑．17．如圖，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積為49，則cosα＝_____．18．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．若商場平均每天要贏利1200元，設每件襯衫應降價x元，則所列方程為_______________________________________．（不用化簡）三、解答題(共66分)19．（10分）如圖1，將邊長為的正方形如圖放置在直角坐標系中．（1）如圖2，若將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)時，求點的坐標；（2）如圖3，若將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)時，求點的坐標．20．（6分）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3，0)，點C(0，3)，點D為二次函數(shù)的頂點，DE為二次函數(shù)的對稱軸，點E在x軸上．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）在拋物線A、C兩點之間有一點F，使△FAC的面積最大，求F點坐標；（3）直線DE上是否存在點P到直線AD的距離與到x軸的距離相等？若存在，請求出點P，若不存在，請說明理由．21．（6分）從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度h（米）與運動時間t（秒）之間的關(guān)系式為h=30t﹣5t2，那么小球拋出秒后達到最高點．22．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的角平分線，且交AB于點E，DB與CE相交于點O，（1）求證：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．23．（8分）矩形的長和寬分別是4cm,3cm，如果將長和寬都增加xcm，那么面積增加ycm2(1)求y與x之間的關(guān)系式.（2）求當邊長增加多少時，面積增加8cm2.24．（8分）有四張背面相同的紙牌A、B、C、D，其正面上方分別畫有四個不同的幾何圖形，下方寫有四個不同算式，小明將四張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張，將其余3張洗勻后再摸出一張．(1)用樹狀圖(或列表法)表示兩次摸牌所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(紙牌用A、B、C、D表示)；(2)求摸出的兩張紙牌的圖形是中心對稱圖形且算式也正確的紙牌的概率．25．（10分）如圖，在下列（邊長為1）的網(wǎng)格中，已知的三個頂點，，在格點上，請分別按不同要求在網(wǎng)格中描出一個點，并寫出點的坐標．（1）經(jīng)過，，三點有一條拋物線，請在圖1中描出點，使點落在格點上，同時也落在這條拋物線上；則點的坐標為______；（2）經(jīng)過，，三點有一個圓，請用無刻度的直尺在圖2中畫出圓心；則點的坐標為______．26．（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線1交拋物線于點Q．（1）求點A、點B、點C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線1交直線BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；（3）點P在線段AB上運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】解法一：根據(jù)一元二次方程的解法直接求解判斷正根的個數(shù)；解法二：先將一元二次方程化為一般式，再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷正根的個數(shù)．【詳解】解：解法一：化為一般式得，，∵a=1，b=3，c=?4，則，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即，，所以一元二次方程的正根的個數(shù)是1；解法二：化為一般式得，，，方程有兩個不相等的實數(shù)根，，則、必為一正一負，所以一元二次方程的正根的個數(shù)是1；故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵；如果只判斷正根或負根的個數(shù)，也可靈活運用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系進行判斷．2、C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理、三角形的面積公式判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD，①正確；∵∠ADO不一定等于∠BCO，∴△AOD與△ACB不一定相似，②錯誤；∴，③正確；∵△ABD與△ABC等高同底，∴，∵，∴，④正確；故選C.【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3、B【解析】試題分析：A．OA=OB=OE,所以點O為△ABE的外接圓圓心；B．OA=OC≠OF，所以點不是△ACF的外接圓圓心；C．OA=OB=OD,所以點O為△ABD的外接圓圓心；D．OA=OD=OE,所以點O為△ADE的外接圓圓心；故選B考點：三角形外心4、D【分析】根據(jù)切線的判定在網(wǎng)格中作圖即可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過格點A，B，C畫圓弧，則點B與下列格點連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點坐標是(6，2)．故選：D．【點睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.5、C【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1＋增長率），如果設每年投入教育經(jīng)費的年平均增長百分率為x，再根據(jù)“2018年投入7000萬元”可得出方程．【詳解】設每年投入教育經(jīng)費的年平均增長百分率為x，則2020年的投入為7000（1+x）2＝23170由題意，得7000（1+x）2＝23170.故選：C．【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，平均增長率問題，一般形式為a（1＋x）2＝b，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量．6、B【分析】逐一對選項進行分析即可.【詳解】①勒洛三角形不是中心對稱圖形，故①錯誤；②圖中，點到上任意一點的距離都相等，故②正確；③圖中，設圓的半徑為r∴勒洛三角形的周長=圓的周長為∴勒洛三角形的周長與圓的周長相等，故③正確；④使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發(fā)生上下抖動，故④錯誤故選B【點睛】本題主要考查中心對稱圖形，弧長公式等，掌握中心對稱圖形和弧長公式是解題的關(guān)鍵.7、A【分析】根據(jù)對稱軸、等弧、圓周角定理、三角形外接圓的定義及弦、弧、圓心角的相互關(guān)系分別判斷后即可解答．【詳解】①對稱軸是直線，而直徑是線段，圓的每一條直徑所在直線都是它的對稱軸，①錯誤；②在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，不在同圓或等圓中不一定是等弧，②錯誤；③在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧也相等，不在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧不一定相等，③錯誤；④根據(jù)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，④正確；⑤根據(jù)圓周角定理推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑，⑤正確；⑥根據(jù)三角形外接圓的定義可知，任何一個三角形都有唯一的外接圓，⑥正確．綜上，正確的結(jié)論為③④⑤.故選A．【點睛】本題了考查對稱軸、等弧、圓周角、外接圓的定義及其相互關(guān)系，熟練運用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．8、D【解析】試題分析：一元二次方程的一般式為：a+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，且a≠0)，根據(jù)定義可得：A選項中a有可能為0，B選項中含有分式，C選項中經(jīng)過化簡后不含二次項，D為一元二次方程.考點：一元二次方程的定義9、A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，

∴，

∴，

故選：A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應用，能求出∠ACD的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．10、B【分析】先利用切線的性質(zhì)得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四邊形的內(nèi)角和計算出∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理計算∠ACB的度數(shù)．【詳解】解：連接OA、OB，∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．故選：B．【點睛】本題考查圓的切線,關(guān)鍵在于牢記圓切線常用輔助線:連接切點與圓心.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】由題意根據(jù)反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形以及關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標特征進行分析即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，且P、Q兩點關(guān)于原點成中心對稱，∴Q（﹣2，﹣3）．故答案為：（﹣2，﹣3）．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，注意掌握反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形以及關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標特征．12、12【分析】確定正六邊形的中心O，連接EO、FO，易證正六變形的邊長等于其半徑，可得正六邊形的周長.【詳解】解：如圖，確定正六邊形的中心O，連接EO、FO.由正六邊形可得是等邊三角形所以正六邊形的周長為故答案為：【點睛】本題考查了正多邊形與圓，靈活利用正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.13、2.5cm．【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠COB=2∠CDB=60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出OE即可．【詳解】∵CD⊥AB，∴∠OEC＝90°，∵∠COB＝2∠CDB＝2×30°＝60°，∴OE＝OC＝×5＝2.5，即圓心O到弦CD的距離為2.5cm．故答案為2.5cm．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．14、【分析】直接利用概率求法進而得出答案．【詳解】∵一個質(zhì)地均勻的小正方體，六個面分別標有數(shù)字1，1，2，4，5，5，∴隨機擲一次小正方體，朝上一面的數(shù)字是奇數(shù)的概率是：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了概率公式，正確掌握概率公式是解題關(guān)鍵．15、【分析】求出一次拋一枚硬幣正面朝上的概率即可．【詳解】解：∵拋硬幣正反出現(xiàn)的概率是相同的，不論拋多少次出現(xiàn)正面或反面的概率是一致的，∴正面向上的概率為．故答案為.【點睛】本題考查的是概率的公式，注意拋硬幣只有兩種情況，每次拋出的概率都是一致的，與次數(shù)無關(guān)．16、④【分析】利用圖象信息一一判斷即可解決問題．【詳解】解：①由圖可知，速度相同的情況下，小紅比小蘭提前停下來，時間花的短，故小紅的運動路程比小蘭的短，故本選項不符合題意；

②兩人分別在1.09秒和7.49秒的時刻與點C距離相等，故本選項不符合題意；

③當小紅運動到點D的時候，小蘭也在點D，故本選項不符合題意；

④當小紅運動到點O的時候，兩人的距離正好等于⊙O的半徑，此時t==4.84，故本選項正確；

故答案為：④．【點睛】本題考查動點問題函數(shù)圖象、解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．17、【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長，再利用勾股定理列式求出AC，然后根據(jù)正弦和余弦的定義即可求cosα的值．【詳解】∵小正方形面積為49，大正方形面積為169，∴小正方形的邊長是7，大正方形的邊長是13，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋（7＋AC）2＝132，整理得，AC2＋7AC?60＝0，解得AC＝5，AC＝?12（舍去），∴BC＝＝12，∴cosα＝=故填：.【點睛】本題考查了勾股定理的證明，銳角三角形函數(shù)的定義，利用勾股定理列式求出直角三角形的較短的直角邊是解題的關(guān)鍵．18、(40-x)(2x+20)=1200【解析】試題解析：每件襯衫的利潤：銷售量：方程為：故答案為：點睛：這個題目屬于一元二次方程的實際應用，利用銷售量每件利潤=總利潤，列出方程即可.三、解答題(共66分)19、（1）A；（2）B【分析】（1）作軸于點，則，,求得AD=1，根據(jù)勾股定理求得OD=，即可得出點A的坐標；（2）連接BO，過點作軸于點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為75°，可得∠BOE＝30°，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)Rt△BOD中，，，可得點B的坐標．【詳解】解：（1）如圖1,作軸于點，則，，點的坐標為．圖1（2）如圖2，連接，過點作軸于點，則，在中，在中，，點的坐標為．圖2【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及正方形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，解題時注意：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角．20、（1）y=﹣x2﹣2x+3，D(﹣1，4)；（2）F點坐標為(﹣，)；（3）存在，滿足條件的P點坐標為(﹣1，﹣1)或(﹣1，﹣﹣1)【分析】（1）把代入得得到關(guān)于的方程組，然后解方程組即可求出拋物線解析式，再把解析式配成頂點式可得D點坐標；

（2）如圖2，作FQ∥y軸交AC于Q，先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設，則，則可表示出，，根據(jù)三角形面積公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）設，根據(jù)得到，最后分兩種情況求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）把代入得，∴，∴拋物線的解析式為：，∵，∴點D的坐標為：；（2）如圖2，作FQ∥y軸交AC于Q，設直線AC的解析式為，把代入，得，解得，∴直線AC的解析式為：．設，則，∴，∴=，當時，△FAC的面積最大，此時F點坐標為（﹣，），（3）存在．∵D（﹣1，4），A（﹣3，0），E（﹣1，0），∴，設，則，，如圖3，∵∠HDP=∠EDA，∠DHP=∠DEA=90°∴，∴，∴，當t＞0時，，解得：，當t＜0時，，解得：，綜上所述，滿足條件的P點坐標為或【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題：主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)，會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，判斷出是解本題的關(guān)鍵．21、1【解析】試題分析：首先理解題意，先把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題后，知道解此題就是求出h=10t﹣5t2的頂點坐標即可．解：h=﹣5t2+10t，=﹣5（t2﹣6t+9）+45，=﹣5（t﹣1）2+45，∵a=﹣5＜0，∴圖象的開口向下，有最大值，當t=1時，h最大值=45；即小球拋出1秒后達到最高點．故答案為1．22、（1）證明見解析（1）【解析】試題分析：（1）欲證明△EBC是等腰三角形，只需推知BC=BE即可，可以由∠1=∠3得到：BC=BE；（1）通過相似三角形△COD∽△EOB的對應邊成比例得到，然后利用分式的性質(zhì)可以求得.解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠1=∠1．∵CE平分∠BCD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠3，∴BC=BE，∴△EBC是等腰三角形；（1）∵∠1=∠1，∠4=∠5，∴△COD∽△EOB，∴=．∵平行四邊形ABCD，∴CD=AB=2．∵BE=BC=5，∴==，∴=．點睛：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定．在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運用三角形相似的性質(zhì)時主要利用相似比計算相應線段的長．23、（1）y=(4+x)(3+x)-12=x2+7x;(2)邊長增加1cm時，面積增加8cm２．【分析】（1）根據(jù)題意，借助于矩形面積，直接解答；（2）在（1）中，把y=8代入即可解答．【詳解】解：（1）由題意可得：（4+x）（3+x）-3×4=y，化簡得：y=x2+7x；（2）把y=8代入解析式y(tǒng)=x2+7x中得：x2+7x-8=0，解之得：x1=1，x2=-8（舍去）．∴當邊長增加1cm時，面積增加8cm224、（1）詳見解析；（2）【分析】（1）分別用樹狀圖和列表法表示所有可能的情況；（2）既是中心對稱圖形，算式也正確的有C、D，然后根據(jù)（1）中的樹狀圖或列表得出概率．【詳解】解:（1）樹狀圖:圖中共有12種不同結(jié)果．列表:表中共有12種不同結(jié)果(2)∵在四張紙牌中，圖形是中心對稱圖形且算式正確的只有C，D兩張∴所求的概率為．【點睛】本題考查求解概率，列表法和樹狀圖法是?？嫉膬煞N方法，需要熟練掌握．25、（1）；（2）答案見解析，．【分析】(1)拋物線的對稱軸在BC的中垂線上，則點D、A關(guān)于函數(shù)對稱軸對稱，即可求解;(2)AC中垂線的表達式為：y=x，BC的中垂線為：x=，則圓心E為：（,）.【詳解】解：（1）拋物線的對稱軸在BC的中垂線上，則點D、A關(guān)于函數(shù)對稱軸對稱，

故點D（3，2），

故答案為：（3，2）；（2）AB中垂線的表達式為：y=x，BC的中垂線為：x=，則圓心E為：（,）.作圖如下：【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，圓的基本性質(zhì)，創(chuàng)新作圖，求出圓心的坐標是解題的關(guān)鍵