高中數(shù)學公式大全及公式定理

高中所有數(shù)學公式定理

1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對應邊、對應角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30。那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一?條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即ab+b八2=c人2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a入2+bt=i2,那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)xi80°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理I兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4-組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=(axb)-2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

73逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對

稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同?底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段

相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半1=(a+b)+2S=Lxh

83(1)比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:dwc”勻/牌？

84(2)合比性質(zhì)如果a/b=c/d,那么(aib)/b=(c±d)/d

85(3)等比性質(zhì)如果a/b=c/d=...=m/n(b+d+…+i#0),那么

（a+c+...+m）/（b+d+...+n）=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于

三角形的第三邊

89平行于三角形的?邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比

例

90定理平行于三角形?邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

94判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）

95定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，

那么這兩個直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有?組量相等那么它們

所對應的其余各組量都相等

116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何?個外角都等于它的內(nèi)對角

121①直線L和。O相交d<r

②直線L和。O相切d=r

③直線L和。O相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的

夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)⑤兩圓內(nèi)含d<R-r(R>r)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公*弦

137定理把圓分成n(n>3):

⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

139正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)xl800/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141正n邊形的面積Sn=pnm/2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積43a/4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為360°,因此kx(n-2)180。/n=360?；?/p>

為(n-2)(k-2)=4

144弧長計算公式:L=n兀R/180

145扇形面積公式：S扇形=n兀RA2/360=LR/2

146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

乘法與因式分解

aA2-bA2=(a+b)(a-b)

aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2)

aA3-bA3=(a-b(aA2+ab+bA2)

三角不等式|a+b|<|a|+|b||a-b|<|a|+|b||a|<b<=>-b<a<b

|a-b|>|a|-|b|-|a|<a<|a|

一元二次方程的解-b+<(bA2>4ac)/2a-b-Y(bA2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系Xl+X2=-b/aXl*X2=c/a注：韋達定理

判別式

B24ac=0注：方程有兩個相等的實根

bM1ac>0注：方程有兩個不等的實根

bM4ac<0注：方程沒有實根，有共輒復數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B尸(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+l)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)A2]

cos2a=(cosa)A2-(sina)A2=2(cosa)A2-l=l-2(sina)A2

半角公式

sin(A/2)=d((1-cosA)/2)sin(A⑵=H((1-cosA)/2)

cos(A/2尸<((1+cosA)/2)cos(A/2)=-^((l+cosA)/2)

tan(A/2)=?(1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2尸H((1-cosA)/((l+cosA))

cot(A/2)=^((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-^((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

某些數(shù)列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+1)/2

14-3+5+74-9+11+13+15+...+(2n-l)=n2-

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)5

1八2+2八2+3八2+4八2+5八2+6八2+7八2+8八2+...+nA2=n(n+l)(2n+l)/6

1A3+2八3+3A3+4人3+5八3+6八3+...n八3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+D=n(n+l)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理bA2=aA2+cA2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標準方程(x?a)八2+(y?b)八2=、2注：(a,b)是圓心坐標

圓的一般方程x人2+y八2+Dx+Ey+F=0注：DA2+EA2-4F>0

拋物線標準方程yA2=2pxyA2=-2pxxA2=2pyxA2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h

正棱錐側(cè)面積S=l/2c*h*正棱臺側(cè)面積S=l/2(c+c')h'

圓臺側(cè)面積S=l/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=l/2*c*l=pi*r*l

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=l/2*l*r

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=l/3*pi*r2h

斜棱柱體積V=SL注：其中S是直截面面積，L是側(cè)棱長

柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h

高中數(shù)學所有常用公式及結(jié)論

1元素與集合的關(guān)系:xeZoxeCb.A,xGCVA=xeZ.00A<^>A^0

2集合｛q,…的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2〃-1個；非空子集有2"-1個；非空的真子集

有2"-2個.

3二次函數(shù)的解析式的三種形式：

(1)一般式/(X)=ax?+Zzx+H0);

(2)頂點式/(刈=。(工-。)2+解。70);(當已知拋物線的頂點坐標(九幻時，設(shè)為此式)

(3)零點式/(x)=a(x-x,)(x-0)；(當已知拋物線與x軸的交點坐標為(x?0),(x2,0)時，

設(shè)為此式)

2

(4)切線式：/(x)=a(x-x0)+(kx+d\(a0)?(當已知拋物線與直線y=Ax+4相切且切點的

橫坐標為與時，設(shè)為此式)

4真值表：同真且真，同假或假

5常見結(jié)論的否定形式;

充要條件：(1)、p=q,則P是q的充分條件，反之，q是p的必要條件；

(2)、p=q,且q半>p,則P是q的充分不必要條件；

(3)、pW>p,且一gnp,則P是q的必要不充分條件；

4、p片>p,且qr>p,則P是q的既不充分又不必要條件。

7函數(shù)單調(diào)性：

增函數(shù)：(1)、文字描述是：y隨x的增大而增大。

(2)、數(shù)學符號表述是：設(shè)f(x)在x^D上有定義，若對任意的4/e0，且X</,都有

/(須)</(&)成立，則就叫fa)在x€D上是增函數(shù)。D則就是f(x)的遞增區(qū)間。

減函數(shù)：(1)、文字描述是：y隨x的增大而減小。

(2)、數(shù)學符號表述是：設(shè)f(X)在X^D上有定義，若對任意的須戶2€°，且內(nèi)<82,都有

/(%)>/(》2)成立，則就叫f(X)在xGD上是減函數(shù)。D則就是f(x)的遞減區(qū)間。

單調(diào)性性質(zhì)：(1)、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)：(2)、減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；

(3)、增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；(4)、減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；

注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數(shù)定義域的交集。

復合函數(shù)的單調(diào)性:

單調(diào)性

內(nèi)層函數(shù)1tt1

外層函數(shù)1tJt

復合函數(shù)tt11

等價關(guān)系：

(1)設(shè)冷》2€[。,可,司工82那么

a_)[/a)-小)]〉o=)區(qū))—/⑷〉o=/(外在上是增函數(shù);

區(qū)--/(%)]<0o,區(qū))一/(&)<0o/(x)在除”上是減函數(shù).

⑵設(shè)函數(shù)y=/(X)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果/'(x)>0,則/(X)為增函數(shù)；如果/'(x)<0,貝u/(x)

為減函數(shù).

8函數(shù)的奇偶性：(注：是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須關(guān)于原點對稱)

奇函數(shù)：

定義：在前提條件下，若有/'(—x)=—/(x)或/'(—x)+/(x)=0,

則f(x)就是奇函數(shù)。

性質(zhì)：(1)、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；

(2)、奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相同的單調(diào)區(qū)間；

(3)、定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)=0.

偶函數(shù)：

定義：在前提條件下，若有/(-x)=f(x),則f(x)就是偶函數(shù)。

性質(zhì)：(1)、偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

(2)、偶函數(shù)在x>0和x<0上具有相反的單調(diào)區(qū)間；

奇偶函數(shù)間的關(guān)系：

(1)、奇函數(shù)?偶函數(shù)=奇函數(shù)；(2)、奇函數(shù)?奇函數(shù)=偶函數(shù)；

(3)、偶奇函數(shù)?偶函數(shù)=偶函數(shù)；(4)、奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)(也有例外得偶函數(shù)的)

(5)、偶函數(shù)士偶函數(shù)=偶函數(shù)；(6)、奇函數(shù)土偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，

那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).

9函數(shù)的周期性：

定義：對函數(shù)f(x),若存在TH0,使得f(x+T)=f(x),則就叫f(x)是周期函數(shù)，其中，T是f(x)

的一個周期。

周期函數(shù)幾種常見的表述形式：

⑴、f(x+T)=-f(x),此時周期為2T；

(2)、f(x+m)=f(x+n),此時周期為2何—可；

⑶、=------,此時周期為2mo

/(x)

10常見函數(shù)的圖像:

11對于函數(shù)歹=/(x)(xe/?)>f(x+a)=/3-幻恒成立，則函數(shù)/(x)的對稱軸是x=誓；兩個

函數(shù)卜=/(》+。)與'=f(b-x)的圖象關(guān)于直線》=一對稱.

12分數(shù)指數(shù)幕與根式的性質(zhì)：

(1)Q〃=(Q>O,M,"EN*,且〃>1).

11

n

(2)a=——=t——(a>G,m,neN*,且〃>1).

an

(3)(折)〃=Q.

(4)當〃為奇數(shù)時，當〃為偶數(shù)時，V7=|a|=r,6Z-0^.

-a,a<0

13指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：log“N=bu>ah=N(a>0,awl,N>0).

指數(shù)性質(zhì):

⑴1、；(2)、a°=l(awO)；⑶、a""'=("")"

rs+s

⑷、a-a=a'(a>0,r,SEQ)；(5)、a；=府;

指數(shù)函數(shù):

(1)、_y="(“>l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù);

(2)、丁="(0<“<1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注：指數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(0,1)

對數(shù)性質(zhì)：

⑴、logflM+logflN=logfl(MZV)；(2)、logaM-logaN=logfl:

N

n

(3)、log"6"=加?log“b；(4)、logh"=—'logab；⑸、log“1=0

"m

⑹、logf=l；⑺、。嘀"=6

對數(shù)函數(shù)：

(1)、y=log“x(“>l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、?=1。&工(0<。<1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注：對數(shù)函數(shù)圖象都恒過點工必工

⑶、log"X〉0=4XW(0,1)或。,XG(1,+8)

(4)、logoX<0<=><7G(0,OWOx€(1,4-00)或67G(l,+OO)pllJxG(0,l)

loeN

14對數(shù)的換底公式：log“N=--—(。>0,且加〉0,且mwl,N〉0).

log—

對數(shù)恒等式：/°九'="(。>0,且owl,N>0).

n

推論log"b"=—log/(a>0,且ar1,N>0).

"m

15對數(shù)的四則運算法則:若a>0,aWLM>0,N>0,則

(1)logu(W)=logflM+logaN;(2)log“N=log0M-log?N;

N

(3)logM"=nlogM(neR);(4)logN"=—logN(n,mwR)。

uu"mH

16平均增長率的問題(負增長時p<0)：

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,則對于時間x的總產(chǎn)值y,有、="(1+0)1

17等差數(shù)列：

通項公式：(1)?！?。1+(〃一1)4,其中q為首項，d為公差，n為項數(shù)，a“為末項。

(2)推廣：an=ak+(n-k)d

(3)a,=S“-S,i(〃N2)(注：該公式對任意數(shù)列都適用)

前n項和：(1)S,,=〃(%廣)；其中巧為首項，n為項數(shù)，%為末項。

、cn(n-X),

(2)Sn=na[H-------d

(3)Sn=Sn_^an(n>2)(注：該公式對任意數(shù)列都適用)

(4)5〃=6+/+~+可(注：該公式對任意數(shù)列都適用)

常用性質(zhì)：(1)、若m+n=p+q,則有am+an=ap+aq；

注：若金是?！?4,的等差中項，則有2品=+4p=n、m、p成等差。

(2)、若｛q｝、也｝為等差數(shù)列，則｛4±，｝為等差數(shù)列。

(3)、｛%｝為等差數(shù)列，S“為其前n項和，則鼠,52,,-5?,53?,-52“,也成等差數(shù)列。

⑷、%=%%=0,則%=0；

/、〃(4+1)

(5)1+2+3+…+n=-------

2

等比數(shù)列:

通項公式：（1）a“=%q"T=X.q"5cN*）,其中q為首項，n為項數(shù)，q為公比。

q

nk

（2）推廣:an=ak-q-

（3）a“=S“-S“T（〃》2）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

前n項和：（1）S“=S,i+a“（〃N2）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

(2)Sn=a]+a2+---+an（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

na}(q=i)

⑶S“=<q(l-q")

(#i)

."q

常用性質(zhì)：⑴、若m+n=p+q,則有am-an=ap-aq；

注：若a,“是。”,盤的等比中項，則有a,“2=%Pp=n、m、p成等比。

（2）、若｛%｝、也｝為等比數(shù)列，則｛/也｝為等比數(shù)列。

18分期付款(按揭貸款)：每次還款》=幽土”■元(貸款“元，〃次還清，每期利率為6).

(1+Z>)-1

19三角不等式：

冗

(1)若XE(0,5),則sinxcxvtanx.

(2)若x￡(0,/),貝iJl<sinx+cosxW>/^.

(3)|sinx|+|cosx|>l.

qinf)

20同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2^+cos2^=l,tan6=2^,

cos6

21正弦、余弦的誘導公式(奇變偶不變，符號看象限)

22和角與差角公式

sin(cr±1)=sinacos〃±cosasin0;cos(a±〃)=cosacos尸干sinasin/3;

/,tana±tan3

tan(a±。)=----------—.

1￥tanatan(3

asma^bcosa-\cr+b2sin(a+(p)

(輔助角。所在象限由點(a,b)的象限決定，tane=2).

a

23二倍角公式及降慕公式

.c.2tana

sin2a=smacosa=--------.

l+tan~a

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a---幻\°.

1+tan'a

c2tanasin2a1-cos2a

tan2a=--------.tana=--------=---------

1-tan-a1+cos2asin2a

.1-cos2(7)1+cos2a

sin-2a=--------,cos-a=---------

22

24三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin(0x+0),x￡R及函數(shù)y=COS(GX+0),x￡R(A,3,0為常數(shù)，且AWO)的周期

2TT77TT

T=——；函數(shù)v=tan(&x+e),xwA7+—,%eZ(A,3,9為常數(shù)，且AWO)的周期T=——.

\co\2\co\

三角函數(shù)的圖像：

25正弦定理：-^—=-^—=-^=2R(R為A48C外接圓的半徑).

sin/sin8sinC

=a=27?sinZ,b=2Rsin8,c=27?sinC=a:b:c=sin/:sinB:sinC

26余弦定理：

a2=b~+c2-2bccosA;b2=c2+a~-2cacosB;c2=a~+b2-2abcosC.

27面積定理：

(1)5=—ah=-bh=—ch(h>%、4分別表示a、b、c邊上的高).

22h2c

(2)S=-oAsinC=—Z)csinA--easinB.

222

22

(3)S&0AB=^(\0A\-\0B\)-(O40B).

.2sAr_a+f辿\

~內(nèi)切圓—g+6+c'餐角△內(nèi)切圓一2/

28三角形內(nèi)角和定理：/

在△ABC中，有4+8+。=乃=。=萬一(Z+B)/

=^=]一^1^=2。=2萬一2(4+8).

29實數(shù)與向量的積的運算律:設(shè)入、口為實數(shù)，那么：

(1)結(jié)合律：A,(pa)=(Xu)a;

(2)第一分配律：(入+口)a=Xa+ixa-,

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

301與B的數(shù)量積(或內(nèi)積)：a?b=\a\\bIcos^o

31平面向量的坐標運算：

⑴設(shè)3=(%,必)，b=(x2,y2),貝U1+6=(須+x2,yt+必).

(2)設(shè)G=(XQJ,b=(x2,y2),貝ijG-3=(須-x2,乂一必).

(3)設(shè)A(X],乂)，Bg,%),則/8=08-0/=(々-》1，夕2-乂)?

(4)設(shè)方=(x,y),4e7?,則4G=(雙,右).

(5)設(shè)石=(%必)，3=(々,%),則”b={x{x2+yxy2).

32兩向量的夾角公式：

八a-bx.x+y.y(_<、1/、、

cos6=--------.——!=2^=~：2(a=(x”M),b=(心，必)).

團.叫府丁?尼瓦

33平面兩點間的距離公生______

22

dAB=\AB|=^ABAB=7(x2-x,)+(y2-^,)(A&,乂)，B(馬,必)).

34向量的平行與垂直：設(shè))=(%,乂)，3=(&,為)，且往工。，貝U：

a\\boh=Xa=x一馬,=。.(交叉相乘差為零)

a.Lb(5wO)=a?b=Q<=>x]x2y]y2=0.(對應相乘和為零)

35線段的定比分公式：設(shè)勺&,必)，鳥。2，/)，月(工，月是線段4￡的分點，4是實數(shù)，且辟=幾巫，

_玉+%

x------———..,■?

貝31+2o―=°"+'°巴

,1+Z

y-------

:1+2

————1

<z>OP=tOP+(i-t)OP(/=——).

121+4

三角形的重心坐標公式:

36△ABC三個頂點的坐標分別為A(X1，yj、B(X2,y2),C(X3,丫3),則aABC

的重心的坐標是G(X|+；+.，乂+,+%).

37三角形五“心”向量形式的充要條件：

設(shè)。為A4BC所在平面上一點，角2,8,。所對邊長分別為“,6,c,則

(1)。為A48C的外心oa2=礪？=無2.

(2)。為A48C的重心o方+礪+反=6.

(3)。為A48C的垂心o厲?礪=礪灰=雙區(qū).

(4)。為A48C的內(nèi)心oaa+力礪+。歷=6.

(5)。為A4BC的NN的旁心="5=6礪+c瓦.

38常用不等式：

(1)4/€H=4+〃22"(當且僅當2=1)時取"=”號).

(2)a,bGR*=>">J茄(當且僅當a=b時取“=”號).

2

(3)(73+/?3+c3>3abc(a>0,Z)>0,c>0).

(4)\a\-\h\<\a+b\<\a\+|/?|.

(5).<4Zb<"<(當且僅當a=b時取“=”號)。

a+b2V2

39極值定理：已知x/都是正數(shù)，則有

(1)若積xy是定值P，則當x=y時和x+y有最小值24；

(2)若和x+y是定值s,則當x=y時積中有最大值一

4

(3)已知q也%/￡火+,若QX+勿=1則有

—+—=(ax+")(』+1)=Q+b+"+竺2o+b+2y[ab=(\[a+\fb)2。

xyxyxy

(4)已知若@+^=1則有

xy

x+y-(x+y)(@d)=a+b+—+—>a+b+2y[ab-{s[a+>[b)2

xyxy

40一元二次不等式雙？+bx+c>0（或<0）（Qw（）,△=〃-4QC>0）,如果Q與ax?+bx+c同號，則

其解集在兩根之外；如果。與辦2+反+。異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異

號兩根之間.即：

Xx<X<X2<=>（x-x1）（x-x2）<0（^<x2）;

X<X,,>x2<=>（X-Xj）（x-x2）>0（x）<x2）.

41含有絕對值的不等式：當a>0時，有

|x|<<7<=>X2<<72<=>-a<X<67.

\x\>aox2>a2ox>ax<-a.

42斜率公式：

左（ia,乂）、￡（%,為））.

x2-X）

43直線的五種方程：

（1）點斜式y(tǒng)-yt=/c（x-x,）（直線/過點片（玉,乂），且斜率為左）.

（2）斜截式y(tǒng)=Ax+6（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點式）_?=A（必-8）（片（王,凹）、鳥（》2，歹2）（%?！?，乂*?2））.

xx

y2-yt2-i

兩點式的推廣：（%2-%）（丁一乂）一（％-乂）（x—xJ=0（無任何限制條件?。?/p>

(4)截距式：+91(久b分別為直線的橫、縱截距，”0、6/0)

(5)一般式4r+gy+C=0(其中A、B不同時為0).

直線4r+W+C=0的法向量：=方向向量：7=(B,-A)

44夾角公式：

k

2

(l)tana=|;-(l]:y=kxx+b[9l2:y=k2x+b2,kk7^-1)

1+K2K]

(2)tana=\1.([：4x+4〉+C；=0,/2:=0,44+B,B.w0)?

AXA24-B}B2

直線時，直線與，2的夾角是C.

2

454到右的角公式：

k-k.

2

(l)tana='.(/；:y=kxx+b},l2：y=k2x+b2,ktk2H—l)

LIFv^rCt

AB-AB

21

(2)tana=-L-~~算-.Axx+B]y+C]=0,l2:A2x+B2y+C2=0,44+48,*0).

IT

直線4_L4時，直線到，2的角是

點到直線的距離：4=也仁生立g（點尸（%,九）,直線/：Nx+繪+C=0）.

46

yjA2+B2

47圓的四種方程:

(1)圓的標準方程(x-a)2+(y-bp=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-AFX)).

x=a+rcos0

(3)圓的參數(shù)方程<

y=h+rsin0

（4）圓的直徑式方程（xf[Xx—電）+3-冊口一必）=0（圓的直徑的端點是心，珀、耳巧,必?

48點與圓的位置關(guān)系：點。（%,九）與圓。一。）2+3-6）2=/的位置關(guān)系有三種：

22

若目=yl（a-x0）+（b-y0）,則”>廠=點P在圓外；

d=r=點產(chǎn)在圓上;"<廠=點P在圓內(nèi).

49直線與圓的位置關(guān)系：直線4x+gy+C=0與圓（x-Q）2+（y-6）2=/的位置關(guān)系有三種

_\Aa^Bh^C\

/A2+BT,

d>ro相離=A<0;d=〃O相切<=>A=0;t/<尸=相交=△>（）.

50兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為01，02,半徑分別為n,r2,\O{O2\=d9貝IJ：

d>/+「2o外離o4條公切線；

d=八+G=外切o3條公切線；

|r-r\<d<r+ro相交u>2條公切線;

（2]2內(nèi)含半相交軍相離

"=ho內(nèi)切o1條公切線；e——e—4

0^—d—?r-r^—d—?h+r2^~d

0<d<h-引=內(nèi)含=無公切線.2

橢圓=+口=1（。>6〉0）的參數(shù)方程是<x=ocos6占、生c

51.離心率e=一

aby=bsin0a

2I2

準線到中心的距離為幺，焦點到對應準線的距離（焦準距）P=—

過焦點且垂直于長軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：2

橢圓;+4=l（a>>0）焦半徑公式及兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積:

52

ab~

q2a?/FpF

c=11

|尸用=e(xd---)=a+ex9|P/s|=e(----x)=a-ex；SbF[PF、~\yp\^tan—----

53橢圓的的內(nèi)外部：

（1）點尸（%,%）在橢圓「+《=1（。>6>0）的內(nèi)部=耳+色<1.

abab~

（2）點Pg/o）在橢圓）+4=1（。>6>0）的外部+

54橢圓的切線方程：

22

⑴橢圓[+2=1（4>6>0）上一點處的切線方程是筆+臀=1.

a~oa"b

(2)過橢圓=1外一點P（Xo/o）所引兩條切線的切點弦方程是寫+理1.

ab

x2

(3)橢圓j+=1(q>6>0)與直線Ax+By+C=Q相切的條件是A2a2+B-b1=c2.

ab2

x2'b2a2

55雙曲線一~一1（4〉0,6〉0）的離心率？=￡1+冬，準線到中心的距離為幺，焦點到對應

ab2aa

%2/2

準線的距離（焦準距）〃=幺。過焦點且垂直于實軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：2—.

焦半徑公式|產(chǎn)月|=|e(x+—)|=|?+ex|,\PF2\=\e(-—x)|=|。一ex|,

兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積=〃cot芻"。

a1’'20

56雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系：

2222

(1)若雙曲線方程為三―4=1=>漸近線方程：=—4=0=y=±-x.

abab~a

(2)若漸近線方程為>=±±#=0=雙曲線可設(shè)為三一《=九.

aabah

(3)若雙曲線與=-4=1有公共漸近線，可設(shè)為=-二=九

ab'ab"

(X>0,焦點在x軸上，Z<0,焦點在y軸上).

(4)焦點到漸近線的距離總是6。

57雙曲線的切線方程：

(1)雙曲線;—E=l(a>°力>0)上一點P(x。，%)處的切線方程是竿—絆=1?

cTbab

22

⑵過雙曲線三-A=1外一點p(x0/o)所引兩條切線的切點弦方程是考-岑=1.

abao

y22

(3)雙曲線※一v方=1與直線Ax^By+C=0相切的條件是A2a2-B2b2=c2.

58拋物線y?=2px的焦半徑公式：

拋物線V=2px(