高中數(shù)學(xué)-高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入習(xí)題課教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目標(biāo)

1、理解復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件.

2、了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

3、會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.

4、了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.

5、樹立嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，自覺查漏補缺，認真訂正試卷錯誤。

教學(xué)重點

1、掌握復(fù)數(shù)的概念，了解復(fù)數(shù)的幾何意義

2、會利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式進行四則運算。

3、掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義.

4、復(fù)數(shù)掌握代數(shù)形式的乘除運算.

5、了解復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的思想方法復(fù)數(shù)的理解與運用.

教學(xué)難點

1、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算的規(guī)定.

2、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算的幾何意義的理解.

3、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算法則的運用.

教學(xué)過程

1、展示知識清單（ppt展示）

2、知識點細化（讓學(xué)生自己填空）

3、思考辨析

1-5

（學(xué)生通過小組討論的形式由小組代表說出解題過程和答案并對照課件上的標(biāo)準答案。）

4、典例講解

類型一：復(fù)數(shù)的概念及幾何意義

【例1】當(dāng)實數(shù)a為何值時，z=/-2a+（a2-3a+2）i.

（1）為實數(shù)；（2）為純虛數(shù)；

（3）對應(yīng)的點在第一象限內(nèi);

(4)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線x-y=O.

跟蹤練習(xí)3

(學(xué)生上黑板做題，講解方法然后題后總結(jié))

類型二復(fù)數(shù)的四則運算

72—2z—

【例2】已知復(fù)數(shù)z=l-i,則^_-+z=().

z—1

A.1-iB.-2iC.1+iD.-2

跟蹤練習(xí)

類型三共趣復(fù)數(shù)與模

例3、已知復(fù)數(shù)z=(l—i)2+3+6i.

⑴求Z及|z|.

⑵若z2+az+b=-8+20i,求實數(shù)a,b的值.

練習(xí)

已知復(fù)數(shù)z=l+i,求實數(shù)a、b,使得az+2bz=(a+2z)2.

5、直面高考

展示高考?？純?nèi)容及高考真題練習(xí)(學(xué)生練習(xí)，總結(jié)常見公式，題后總結(jié)。)

6、跟蹤訓(xùn)練

(看評分標(biāo)準，共同查找學(xué)生做題的常見錯誤。)

7、課堂小結(jié)

總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)心得，及對出現(xiàn)問題的注意事項

8、作業(yè)布置達標(biāo)訓(xùn)練

數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入學(xué)情分析

這節(jié)課我們練習(xí)了復(fù)數(shù)的定義、實部、虛部及有關(guān)分類問題，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)

數(shù)的運算等等.基本思想是：利用復(fù)數(shù)的概念，聯(lián)系以前學(xué)過的實數(shù)的性質(zhì)，對復(fù)數(shù)的知識

有較完整的認識，以及利用轉(zhuǎn)化的思想將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題.

復(fù)數(shù)的概念如果單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時，我們

采用講解或體驗已學(xué)過的數(shù)集的擴充的歷史，讓學(xué)生體會到數(shù)集的擴充是生產(chǎn)實踐的需要，

也是數(shù)學(xué)學(xué)科自身發(fā)展的需要；介紹數(shù)的概念的發(fā)展過程，使學(xué)生對數(shù)的形成、發(fā)展的歷史

和規(guī)律，各種數(shù)集中之間的關(guān)系有著比較清晰、完整的認識.從而讓學(xué)生積極主動地建構(gòu)虛

數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類，同時進行適當(dāng)?shù)囊霃?fù)習(xí)，讓學(xué)生通過分析思考，學(xué)

會對復(fù)數(shù)運算的掌握.

學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容可能存在的知識障礙：學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容可能會遇到一些障礙，如對

復(fù)數(shù)的理解，復(fù)數(shù)的引入是否具有實際意義，復(fù)數(shù)的引入是否具有實際應(yīng)用，復(fù)數(shù)相等條件

的理解等。所以教學(xué)中對復(fù)數(shù)概念的講解中盡量以簡單明白、深入淺出的分析為主，在引入

后花少許時間對復(fù)數(shù)的實際意義、復(fù)數(shù)的實際應(yīng)用作以解釋。

在教學(xué)中學(xué)生是認知的主體，是教學(xué)的主體，更是課堂的主角，教學(xué)中的問題發(fā)生解

決過來程都是他們在完成，因而應(yīng)遵循學(xué)生的認知規(guī)律，盡可能地帶動學(xué)生的積極性，讓學(xué)

生經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，并盡力帶動學(xué)生的思維，使學(xué)生自己成為學(xué)習(xí)知識的主動者,

同時引導(dǎo)學(xué)生走出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的煩瑣與困境，讓學(xué)生進一步學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會欣賞，學(xué)會探

究，學(xué)會生活。

數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入復(fù)習(xí)課效果分析

通過本節(jié)課的講解，我對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果分析如下：

1、對基本知識的復(fù)習(xí)，學(xué)生反應(yīng)較好，能很好地跟上學(xué)習(xí)的節(jié)奏，比較熟練的回答導(dǎo)學(xué)案

中提出的問題.

2、對于復(fù)數(shù)的運算大部分同學(xué)能夠較快且計算準確，個別學(xué)生計算較差，主要原因是計算

公式記不住，粗心大意。

3、復(fù)數(shù)的相等的有關(guān)題目多數(shù)同學(xué)掌握比較差，學(xué)生自己做題時不明白題目所表述的意思，

老師講完之后有種恍然大悟的感覺。

4、復(fù)數(shù)高次的轉(zhuǎn)換是學(xué)生的弱項，回答問題時吞吞吐吐，不能將所學(xué)知識很好的轉(zhuǎn)換，能

流利的進行形式的轉(zhuǎn)換，但相關(guān)知識的鏈接不熟練.

5、課堂節(jié)奏把握出現(xiàn)問題，學(xué)生的當(dāng)堂檢測未能全部完成，有待改善.

數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入教材分析

一、內(nèi)容分析

1、數(shù)系的擴充，在教材中未將數(shù)系的擴充過程所遵循的原則介紹給學(xué)生，而是通過回顧

自然數(shù)系擴充到實數(shù)系的過程，總結(jié)出之前熟悉的每次數(shù)系擴充都是實際所需求，教材選取

X2+1=0這一在實數(shù)范圍內(nèi)無解的方程引發(fā)學(xué)生的認知沖突，激發(fā)學(xué)生們把實數(shù)系進一步

擴充的欲望，同時使學(xué)生初步認識學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的意義，類比自然數(shù)系擴充到實數(shù)系的過程，引

入虛數(shù)單位i,將實數(shù)系擴充，從而進入復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中；

2、在復(fù)數(shù)的概念教學(xué)中，教材通過介紹希望引進的虛數(shù)和實數(shù)之間仍能像實數(shù)系那樣

進行加、減法運算的設(shè)想，進而得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、實部、虛部的概念，順著也規(guī)定了兩

個復(fù)數(shù)相等的充要條件，教材中未針對復(fù)數(shù)比較大小這一點做精述；

3、數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念，《課標(biāo)》與《大綱》教學(xué)內(nèi)容相同，但在處理方式和目標(biāo)

定位上存在差異：

(1)《課標(biāo)》將復(fù)數(shù)作為數(shù)系擴充的結(jié)果引入.《大綱》教科書先安排復(fù)數(shù)的概念，再

研究復(fù)數(shù)的運算，最后介紹數(shù)系的擴充.《課標(biāo)》實驗教科書在介紹數(shù)系擴充的思想方法的

基礎(chǔ)上引入復(fù)數(shù)的概念，力求還原復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)過程.

(2)《課標(biāo)》強調(diào)在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾

在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.從這上點上

看，《課標(biāo)》要求提高了.

(3)在復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義上，《課標(biāo)》的教學(xué)定位是“了解”，而《大綱》

要求“掌握”.從這上點上看，《課標(biāo)》要求降低了.

二、重難點分析

教學(xué)重點

(1)數(shù)系的擴充過程.

(2)復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類和復(fù)數(shù)相等的充要條件.

(3)復(fù)數(shù)的幾何意義.

(4)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算及其幾何意義.

(5)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.

(6)復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的思想方法復(fù)數(shù)的理解與運用

教學(xué)難點

(1)虛數(shù)單位’的引進.

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義.

(3)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算的規(guī)定.

(4)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算的幾何意義的理解.

(5)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算法則的運用.

二、地位與作用

《標(biāo)準》關(guān)于“數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念”的要求為：在問題情境中了解數(shù)系的擴

充過程，體會實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運算規(guī)則、方程理論)在數(shù)系擴充過程

中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法、

基本概念即以復(fù)數(shù)相等的充要條件。

在這課之前，學(xué)生己經(jīng)學(xué)習(xí)了自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)等數(shù)的概念及運算，這些內(nèi)

容的學(xué)習(xí)為本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。復(fù)數(shù)的引入實現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴

充.而本節(jié)學(xué)習(xí)又為后邊復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)，同時，復(fù)數(shù)作為一

種新的數(shù)學(xué)語言，也為今后用代數(shù)的方法解決幾何問題提供了新的工具和方法，體現(xiàn)了

數(shù)形結(jié)合思想。

本節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面讓學(xué)生回憶數(shù)系擴充的過程，體會虛數(shù)單位引入的必要性和

合理性，另一方面，讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，為今后的

學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。復(fù)數(shù)與向量、平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，也是進一步

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)等其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，因此,

本節(jié)課具有承前啟后的作用。

第三章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入評測練習(xí)

(時間90分鐘，滿分120分)

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

1.復(fù)數(shù)一i+：=()

1

A.-2iB.-i

C.0D.2i

2.復(fù)數(shù)z滿足(z—i)i=2+i,則z=()

A.-1-iB.1-i

C.—1+3iD.1—2i

111,1

A--5一手B-一尹手

11D.^+夕

4.己知復(fù)數(shù)z的共聊復(fù)數(shù)z=l+2i（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.a為正實數(shù)，i為虛數(shù)單位，|一1=2,則a=()

A.2B.m

C.^/2D.1

6.已知復(fù)數(shù)?=3+4i,z2=t+i,且??1?是實數(shù)，則實數(shù)￡等于（）

B.《

A-4

O

C-4D-4

7.設(shè)zee,若/為純虛數(shù)，則Z在復(fù)平面上的對應(yīng)點落在（）

A.實軸上B.虛軸上

C.直線尸土*（正0）上D.以上都不對

8.（2013?安徽高考）設(shè)i是虛數(shù)單位，》是復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)，若z?1i+2=2z,

則Z=()

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

7

9.若i為虛數(shù)單位，圖1中復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)z,則表示復(fù)數(shù)中的點是

()

圖1

A.EB.F

C.GD.H

10.已知復(fù)數(shù)為=—l+2i,Z2=l—i,Z3=3—4i,它們在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別為

B,C.若0C=AOA+u幽A,〃CR),則力+〃的值是(

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

11.復(fù)數(shù)的共輒復(fù)數(shù)是

1

12.|2+3i-5+4i|=.

x.y

13.設(shè)x,y為實數(shù)且?則x+y=

1-il-2i-l-3i'

14.若復(fù)數(shù)則復(fù)數(shù)z的虛部為.

三、解答題（本大題共4小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（本小題滿分12分）而為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)z=（2+i）/-3（i+l）k2（l-i）是

（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)？

16.（本小題滿分12分）在復(fù)平面內(nèi)，。是原點，向量為對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i.

-A

（1）如果點力關(guān)于實軸的對稱點為6,求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)；

（2）如果（1）中點8關(guān)于虛軸的對稱點為C,求點C對應(yīng)的復(fù)數(shù).

17.（本小題滿分12分）已知z是復(fù)數(shù),z+2i、言均為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)

屹+與嚴在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍.

18.(本小題滿分14分)已知關(guān)于x的方程X—(6+i)x+9+ai=0(aGR)有實根b.

(1)求實數(shù)a,8的值；

(2)若復(fù)數(shù)z滿足7-a—6i|-2|z|=0,則z為何值時，|z|有最小值，并求出|z|的

最小值.

答案

1、【解析】一i+；=—i+(—i)=~~2i,故選A.

【答案】A

2、【解析】z—i=~------:~~■-=1—2i,z=i+l-2i=l—i.

ii,-i

【答案】B

心m立但i2+i3+i4-1+-i+1-i-i1+i1-i

3、【解析】依型,一得_

1i1-i1-i1-i1+i

11.

=2-2n選C.

【答案】C

4、【解析】?.?丁=l+2i,.?.z=l-2i,，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.

【答案】D

5、【解析】|十|=|一l+ai|=2,

即<a2+l=2.

a2+l=4,

???a2=3,又a為正實數(shù)，

**?a—,^3.

【答案】B

——3

6、【解析】zl-z2=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i,依題意4t-3=0,

【答案】A

7、【解析】設(shè)2=a+田(4、beR),

Vz2=a2-b2+2abi為純虛數(shù)，

a2—b2=0,

AlAa=±b,即z在直線y=±x(xW0)上.

abWO.

【答案】C

8、【解析】設(shè)z=a+bi(a,b￡R),由2?zi+2=2z,得(a+bi)(a—bi)i+2=2(a+

a2+b2=2b,a=l,

bi),即(a2+b2)i+2=2a+2bi,由復(fù)數(shù)相等的條件得得

2=2a,b=l,

.*.z=l+i.

【答案】A

Q3-Ui1—i4-9-i

9、【解析】由題圖知z=3+i,所以白7=^^=———=2—i,故

1+11+11+11—12

對應(yīng)點為H.

【答案】D

10、【解析】3—4i=A(-l+2i)+u(l-i)=u—入+(2入一u)i,

口一入=3,

2人一口=-4,

X=-1,

得?/.X+U=1.

u=2,

【答案】A

1i—

、【解析】

11Z=Ti=—12=-i,I.z=i.

【答案】i

12、【解析】I2+3i-5+4i|=|2-5+3—4i|

=I—3—i|=y[lb.

【答案】①

x1+iIyl+2i_____________5l+3i

0Li1+i+l+2il-2i=l-3il+3i

=>|x(l+i)+^y(l+2i)=|(l+3i)

LtO乙

X=—1,

解得?

y=5,

所以x+y=4.

【答案】4

9—i—■；1-|-2i9—i

14、【解析】由z=--=—――=—3一=-i知，復(fù)數(shù)Z=E-的虛部是一

J.I乙J.XI乙J.LI乙J.1I乙1

1.

【答案】-1

15、【解】z=(2+i)加2-3(i+l)k2(l—i)

=2/n+/?i—3zz?i—3/z?—2+2i

=(.2/ii—3m-2)+(m,—3/H-2)i.

(1)由方-3R+2=0得z?7=l或m=2,

即加=1或2時，z為實數(shù).

⑵由而-3勿+2W0得mWl且/〃W2,

即*1且%W2時，z為虛數(shù).

2m—3/7?-2=0,m1

(3)由，得m=

m—3勿+2W0,

即加=-g時，z為純虛數(shù).

16、【解】(1)設(shè)所求向量施對應(yīng)的復(fù)數(shù)為?=a+bi(a,0￡R),則點3的坐標(biāo)為(a

H).

已知4(2,1),由對稱性可知a=2,b=-1.

所以例對應(yīng)的復(fù)數(shù)為?=2—i.

⑵設(shè)所求點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為@=c+di(c,d￡R),

則。(ad),由(1),得5(2,-1).

由對稱性可知，c=—2,d=-l.

故點。對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2=-2—i.

17、【解】設(shè)z=x+yi(x,*R),

則z+2i=x+(y+2)i,

由題意得尸一2,

/.z=x-2i.

v—9ii

—=-(,-2i)(2i)

2-i+

=g(2x+2)+J(x—4)i,

55

由題意得x=4,

z=4—2i.

：(z+ai)'=(12+4a—a2)+8(a—2)i,

根據(jù)條件，

(12+4a-a2>0,

可知cc

[8a-2>0,

解得2<a<6.

實數(shù)a的取值范圍是(2,6).

18、【解】(1)因為6是方程的根，

所以(行—66+9)+(a-i)i=0,

方一6什9=0

故'

a=b

解得才=力=3.

(2)設(shè)z=x+yi(x,p是實數(shù))，

由Iz—3—3i|=21z\,

得：(x—3)2+(y+3)2=4(y+y),

即(x+l)2+(y—1產(chǎn)=8.

，z的對應(yīng)點Z的軌跡是以(一1,1)為圓心，2m為半徑的圓.

所以z=1—i時，|z|最小值為

《數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入》教學(xué)反思

《數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入》這一部分新課標(biāo)的基本要求是：在問題情境中了解數(shù)系的

擴充過程,理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義,

能進行代數(shù)形式的四則運算和幾何意義。在教學(xué)中重點注意以下四個方面：

1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法和乘法的運算法則是一種規(guī)定，要讓學(xué)生理解其合理性.這種

合理性應(yīng)從數(shù)系擴充的角度來理解：這種規(guī)定與實數(shù)加法、乘法的法則是一致的，而且實數(shù)

加法、乘法的有關(guān)運算律在這里仍然成立.

2.復(fù)數(shù)的減法、除法分別規(guī)定為復(fù)數(shù)的加法和乘法的逆運算，要讓學(xué)生按照這種規(guī)定

自主得出復(fù)數(shù)減法和除法的運算法則.

3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算可以類比代數(shù)運算中的“合并同類項”“分母有理化”，利

用『=-1,將它們歸結(jié)為實數(shù)的四則運算.在具體運算情境中，引入共舸復(fù)的概念，明確

公式3+4)3-是復(fù)數(shù)除法中“分母實數(shù)化”的基礎(chǔ)，不必讓學(xué)生專門計憶

復(fù)數(shù)除法法則.從而讓學(xué)生體驗復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的思想方法.

4.要引領(lǐng)學(xué)生從平面向量的加法、減法的平行四邊形或三角形法則來認識并理解復(fù)數(shù)

代數(shù)形式的加減運算的兒何意義.為了提高課堂的教學(xué)效率，通過制作了PPT演示文稿，針

對訓(xùn)練讓學(xué)生討論然后提問再黑板上進行演算。

數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入課標(biāo)分析

內(nèi)容安排

本章是選修2-2第三章的內(nèi)容包括4節(jié)，約需8課時，具體分配如下：

3.1數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的概念約2