高中數(shù)學基礎知識 (二)

為成功的人生做準備！

高中數(shù)學基礎知識匯總③偶次根式：被開方式20，例：y=425-X2;④對數(shù)：真數(shù)>o,例：y=log.(1-1)

第一章集合與簡易邏輯：X

.集合4、求值域的一般方法：

1、集合的有關概念和運算

①圖象觀察法：y=0.2"'；②單調(diào)函數(shù)法：y=log2(3X-1),X€|-,3]

(1)集合的特性：確定性、互異性和無序性；3

(2)元素a和集合A之間的關系：aeA,或a《A;

2

2、子集定義：A中的任何元素都屬于B,則A叫B的子集；記作：A.B,③二次函數(shù)配方法：y=X?_4x,*W|1,5)，y=J-X+2x+2

注意：AyB時，A有兩種情況：A=<p與A*<p

④“一次”分式反函數(shù)法：y=X;⑥換元法:丫=*+向五

3、真子集定義：A是B的子集,且B中至少有一個元素不屬于A；記作：Au8；

2x+1

5、求函數(shù)解析式f(x)的一般方法：

4、補集定義：4=(*|xCU,且4｝；

①待定系數(shù)法：一次函數(shù)f(X),且滿足3**+1)-24*-1)=2x+17,求f(X)

5、交集與并集交集：API8={x|xeA且xe8}；并集：A\JB={x\xe4或xeB}

②配湊法：f(x--)=x2+口，求f(X)；③換元法：f(、/7+1)=x+2J7,求f(X)

6、集合中元素的個數(shù)的計算：若集合"中有"個元素，則集合4的所有不同的子集個數(shù)為XX

所有真子集的個數(shù)是__________所有非空真子集的個數(shù)是?6、函數(shù)的單調(diào)性：

—.簡易邏輯：

(1)定義：區(qū)間D上任意兩個值%4,若*，<。時有"*，)<?，)，稱“*)為D上增函數(shù)；

1,復合命題：三種形式：P或q、P且q、非P；

判斷復合命題真假：

2.真值表：p或q,同假為假，否則為真；p且q,同真為真；非p.真假相反。*,<"■*,)>f(X?)

若時有，稱為D上減函數(shù)。(一致為增，不同為減)

3.四種命題及其關系：

原命題：若0則q-；逆命題：若q則P：(2)區(qū)間D叫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間定義域；

否命題：若P則q；逆否命題：若q則P；y=H/>(*)]

互為逆否的兩個命題是等價的。

(3)復合函數(shù)的單調(diào)性：即同增異減；

原命題與它的逆否命題是等價命題。

4.充分茶件與必要條件：7.奇偶性：

若PUq,則p叫q的充分條件；定義：注意區(qū)間是否關于原點對稱？比較f(x)與f(-x)的關系。

若poq,則p叫q的必要條件；若P則互題f(x)-f(-x)=O?f(x)=f(-x)Of(x)為偶函

斡x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)為奇函數(shù)。

若，則P叫q的充要條件；

8.周期性：

第二章函數(shù)

--函數(shù)定義：若函數(shù)*x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x)則T為函數(shù)f(x)的周期。

aEA.beB9.函數(shù)圖像變換：

1、映射：按照某種對應法則f,集合A中的任何一個元素，在B中都有唯一確定的元素和它對應,

(1)平移變換y=f(x)-y=f(x+a),y=f(x)+b;(2)法則：加左減右；加上減下

記作f:A-B,若且元素a和元素b對應，那么b叫a的象，a叫b的原象。(3)注意：⑴有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y=f(2六)經(jīng)過平移得到函數(shù)y

2、函數(shù)：(1)、定義：設A.B是非空數(shù)集，若按某種確定的對應關系f.對于集合A中的任意一個

=f(2X*4Q的圖象。(ii)會結(jié)合向量的平急M理解按照向量腌xn)平移的意義。

數(shù)x,集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，就稱f:A-B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記

作月(x),wow0y=x

10.函數(shù)的圖象和

它的反函數(shù)的圖

象關于直線對稱；點

(a,b)關于直線

(2)、函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應法則；

的對稱點為(b.a)

3、求定義域的一般方法：①整式：全體實數(shù)R；②分式：分母，0次鬲：底數(shù)；

二、指對運算：

-1-

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象圖象

1.指數(shù)及其運算性質(zhì)：當n為奇數(shù)時，行=a;當n為偶數(shù)時，行=|a|=a(a>0)a'>0,.1圖象在*軸上方?.?*>0,；.圖象在丫軸右邊

特征

—a(a<0)

圖象

y=ar的圖象與=log.x的圖象關于直緝=x對稱

2.分數(shù)指數(shù)塞：正分數(shù)指數(shù)靠：a：=行；負分數(shù)指數(shù)幕：a-,=工關系

第三章數(shù)列

a0

_1?,=s,("=1)

3.對數(shù)及其運算性質(zhì)：一.嬲|J：⑴前n項和.=%+%+久+?—一“；⑵前n項和與通項的關系a.=s-s_,S2

(1)定義：如果「=N(a>°'a=D,以10為底叫常用對數(shù)，記為IgN,以e=2.7182828…為底叫

—.等差數(shù)列：

自然對數(shù)，記為InN1.定義：a"，i="。2.通項公式：八=a,+(-1)d(關于n的一次函數(shù))，

。(叫+an)n(n-1)

(2)性質(zhì)：①負數(shù)和零沒有對數(shù)，②1的對數(shù)等于0：logJ=°,③底的對數(shù)等于1：log，a=13.前n項和：(1)s〃=---(2).s”=%+-'(即S0=An2+Bn)

Ma+b

log,(MN)=log,M+logNlog,—=log.M-log.N4.等差中項：A=w—或2*=a+b

④積的對數(shù)：商的對數(shù)：N

5.等差數(shù)列的瑙堂質(zhì)：0+m=p+qa+a=a+a

(1)等差數(shù)列，若，則。

+a/>

3

，2，'3,…,③門

招+3、="?+*=83+………％,n-2?

也就是：,如圖所示：3-

{%}S。kWN.SkS2k-SkS3*~S2k

(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項的和手，貝IJ,.成等差

a+a+3

i23+?一+a*+a*M+???+a21k+久/+i+???+%”

s

數(shù)列。如下圖所示：hS”S8-SH

01手i0)X三.等比第,Lag"-'a,q

J'an

,1.定義：；2.通項公式：(其中

產(chǎn)吟首福號q二伊比是)

"-—=-———.

3.前n項和］:1-Q—q(推導方法：乘公比，錯位相減)

叫(1-q")a

Sn=-2------(gwi)s?"-(q*1)q=1

i-q1-Q

說明：①；23當時為常數(shù)列,

色,G2=abG=±y[ab

aG

4.等比中項：9.},即c+m=u4(或a.-a。尸等比沖項有兩個)

5.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：

圖定點(1)等比數(shù)列,若,則

過定點(0,1)過定點(1.0)

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rr,3〃、,3〃、

sin(---a)=cosasin(—+^7)=cosasin(----a)=-cosasin(—+2)=—cosO

22

aaaaa22

也就是：居3=久汽1=%3一-。如圖所示：V^2'3'"'-n-2-n-Vn

n,3〃、,3/7、

cos(——t?)=sinacos(一+ay——sinacos(----a)=-sinacos(—+z?)=sina

2222

(2)若數(shù)列(a/是等比數(shù)列，S。是前n項的和，k€N，貝ljs?,S……S3.-S"成程比數(shù)列。

rrrr3〃3/r

tan(---a)=cotatan(—+a)=-cotatan(----a)=cotatan(—+0=-8t〃

2222

如下圖所示：a#久+++…+a.,+R5+；+%.,+2i+1+N

6、兩角和與差的正弦、余弦、正切

S、S、—S,S?—S-j

('sin(4+⑶=sm4cos￡+cos4sinflS(0-4"sin'--J=sm^7cosJ-':1?=Jsinfi

四.求數(shù)列的前n項和的常用方法：分析通項，尋求解法s0+4

1.公式法：等差等比數(shù)列；2.分部求和法：如a?=2n+3

n:cos(a+⑶=coso8Ssin60("⑶'cosi'a—^=cos^cos0+smZ7s

3.裂項相消法：如a?=—!—;4.錯位相減法：“差比之積”的數(shù)列：如a?=(2n-1)2

/7(/7+1)

ctana+tanBtana-tan/3

73mtan(q+⑶=------------------------%-用tan(夕0=

第四章三角函數(shù)1—tanatan(31+tanatan0

a/3\j3=a+k-3t>Q'.k^z

1、角：與終邊相同的角的集合為{}

asr“一SBS”=—3gn?8S#-cos's；"=Ja—3-4一二

7、輔助角公式：

2、弧度制：(1)定義：等瑙徑的瓠所對的圓心角叫怨呼度的角，用弧度做單位叫弧度制。，,\b

(p(p(a.b)tan(p=一

(2)度數(shù)與弧度數(shù)的換算：弧度，1弧度I1

!=\a\raS=-lr==-|a\rz(其中疑為輔助贏20的僦過點s3,)

1

ccos2a=cos2a-sin*asin67cos〃=—sin2a

8、二倍角公式：巴1)(2)、降次公式：2

1—cos2a11

=1—2sin:=2cos2。一1sin2a------------------=------cos2，+一

222

9、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)

(1)函數(shù)的周期性：

①定義：對于函數(shù)f(x),若存在一個非零常數(shù)T,當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有：f(x+T)=f

5、誘導公式(理解記憶》)k：奇變偶不變，符號看多:限)(X),那么函數(shù)f(x)叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫這個函數(shù)的周期；

②如果函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),這個最小的正數(shù)叫f(x)的最小正周期。

公忒虬°：-a)=sina;in(180°+a)=-sinQsin(-a)="sinasin(360°-〃)=-sina

(2)函數(shù)的奇偶性：

公盟即*〃)二一cosqg)=-cosacqg(式西二cosa=8S4①定義：對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有:f(-x)=-f(x),則稱f(x)是奇函數(shù)，f

tan(1800-a)=-tanaan(1800+^7)=tanatan(-a}=-tanatan(360°-0=-tana(-X)=f(x),則稱f(x)是偶函數(shù)

②奇偶函數(shù)的定義域關于原點對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；

-3

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(3)正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)(kwz)_____________函數(shù)定義域值域振幅周期頻率相位初相圖象

函數(shù)定義域值域周期性奇偶性遞增區(qū)間遞減區(qū)間xeR[-A.A]A2〃13UM^-(P(p五點法

y=Asin(o*+0)T--f=——=---

xeR[-1,1]T=2/1奇函數(shù)rtn\rt3〃3T2〃

y=sinx——+2*憶一+24〃-+24/7.—+2*/7

L22[22

y=Asin(CM+6的圖象與y=sinx的關系：

y=cosxxeR[-1,1]r=2〃偶函數(shù)

[(24-1)〃,2女〃][2k/r,(2k+1)〃]當A>1時,圖象上各點的縱坐標伸長到原來的A倍,

。振幅變換:y=sinx當0<A<1時,圖象上各點的縱坐標縮短到原來的A倍、=Asinx

y=tanxn(F,+8)r=〃w吊函數(shù)(rr〃、

{x\x+kn}---+krr.—十*〃一―一

2122)當3>1時，圖象上各點的縱坐標縮短到原來的1倍

____________________________________3?

n3萬②周期變換:y=sinx1-y=sina*

"圖象的五個關鍵點：(0,0),(7,1),f,0),T,-1),,0)；0<U/<1—

當0>0時,圖象上各點的縱坐標啰)長到原來的0倍

n3〃

y=cosx-n—2"

當BJ.圖象上的各點1可左平移個單位倍"_

y=sinx0VoI(p\yu-scin(xv十勿

③相位變換:當時，圖象上的各點向右平移個單位倍

第五章平面向量

1,向量的有關概念：向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

(2)實數(shù)與向量◎積：①星義：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：；

I/laHJ|-|a|

②它的長度：；

J\J>0AaaA<0AaaA—0Aa

I③：它的方向：當，與的方向相同；當，與的方向相反；當時，

；2X

y—tanx

(4)、函數(shù)+頌的相關概念：3.平面向量基本定理：如果耳△是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對平面內(nèi)的任一向量a,

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有且只有一對實數(shù)4,4，使+;S.1=—absinC=—acsinB=—besinA

(1)三角形的面積公式：222

4■平面向量的坐標運算：T—(2)正，余弦定理.

cc或乂，「?

a=(%,y”=(*2,匕)a±d=(x,±x,y,±y)-------=--------=--------=2Ra=2Rstn6=2AsiBc=2ffsin

22①正弦定理：,Sr，B'EC

(1)坐標運算：設，則-a:=b2+c2-2bccosA

AB=(x2-x,,y2-y,)

b2=a2+c2-2ac-cosB

設A、B兩點的坐標分別為(x,,y,),僅.力”則，，

a=(x,y)a=A(x.y)=(Ax.Ay)②余弦定理：c=a+"-labcosC=(a+d):一2mb(i+cocC)

(2)實數(shù)與向量的積的運算律：設，則人,

b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2

cosA=-------------------cosff=-------------------oosC=-------------------

平面向量的數(shù)