高中數(shù)學(xué)競賽（強基計劃）歷年真題練習(xí) 8 立體幾何 （學(xué)生版+解析版）

【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】

專題08立體幾何真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）

一、單選題

1.（2020?北京?高三強基計劃）如圖，設(shè)P為單位立方體A8C0-A8CP的棱A4上的

一點，則PA+PG的最小值為（）

A.也+夜B.&+2也

C.2-史D.前三個答案都不對

2

2.（2022?貴州?高二統(tǒng)考競賽）平面a與長方體的六個面所成的角分別為4?=1,2,3,6）,

則力sin?g的值為（）

1=1

A.2B.3C.4D.6

二、填空題

3.（2019?全國?高三競賽）己知尸是二ABC所在平面a外一點，則尸平面a,

PB=PC=42h,tanZPBC=~.則點A到平面P8C的距離的最大值是.

4.（2019?全國?高三競賽）在三棱柱ABC-AB|G中，底面邊長和側(cè)棱長均相等，

14t=60。廁異面直線AB｝與BC,所成的角為.

5.（2018?全國?高三競賽）己知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形,

且SA=SB=SC=AB=2.則三棱錐S-ABC夕卜接球表面積為.

6.（2020?江蘇?高三競賽）在長方體ABC￡>-AB|G。中，AB=4,BC=CC、=2尬,M

是BG的中點，N是MG的中點.若異面直線AN與CM所成的角為6,距離為d,則

7.（2021?浙江?高二競賽）在一A3C中，ZZ?=ZC=3O°,BC=2日P,。分別在線

段AB和AC上，AP=\,AQ=y/2,直線A￡>28C于Z）.現(xiàn)將三角形^ABC沿著AD對

折，當(dāng)平面AD8與平面AOC的二面角為60。時，則線段尸。的長度為.

8.（2022?浙江?高二競賽）在正四棱錐S-ABCD中，M在棱SC上且滿足SM=2MC.

過A"作截面將此四棱錐分成上，下兩部分，記上，下兩部分的體積分別為乂，匕，則

向的最大值為.

9.（2022?廣西?高二統(tǒng)考競賽）若長方體的長、寬、高都是自然數(shù)，且所有棱長之和等

于它的體積，則稱此長方體為“完美長方體”，“完美長方體”的體積的最大值為.

10.（2022?福建?高二統(tǒng)考競賽）如圖，尸為長方體ABCO-ABIG。的對角線上一

點，平面APC//平面OAG，若AA=24。，則二面角P-AB-C的正切值為.

11.（2022?新疆?高二競賽）已知二面角。-/一/的平面角為60。，A,。為直線/上的兩

點，射線在平面a內(nèi)，射線DC在平面夕內(nèi)，已知一瓦ME5o/CZM=30。，則

cosNBDC等于.

12.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）在棱長為6的正四面體ABCC中，M為面BC￡＞上

一點，且|AM|=5,設(shè)異面直線AM與BC所成的角為a,則|cosa|的最大值為

13.（2019?全國?高三競賽）E、尸分別是正四面體A8c。的棱80、C￡＞的中點，則平

面A8C和平面AEF所成二面角的余弦值是.

14.（2018?全國?高三競賽）在三棱錐P-ABC中，已知P4_L底面ABC.若ZBPC=ZBAC,

且A8＞AC,則ZBCA-ZPBC=.

15.（2019?全國?高三競賽）在空間四邊形A5CD中，4c=“，BD=b，E、尸分別是A3、

CD上的點，使得空=工=2012.則￡尸=______（用*b表示）.

EBFD

16.（2019?全國?高三競賽）在邊長為1的正方體ABCQ-ABIG"中，點￡、F、G分

別為棱A4,、GR、8c的中點.則四面體與EFG的體積為.

17.（2018?全國?高三競賽）已知三棱錐ABC的底面AABC是邊長為6的正三角形，

「4,平面ABC,PA=4,若點2滿足PQ=g（PA+PB+PC）,則三棱錐Q-A3C的體

積為.

18.（2018?全國?高三競賽）設(shè)正三棱柱A3C-A'3'C'的體積為V,點尸、。分別在棱

A4'、CC上，滿足AP=C'Q.則四面體BPQB'的體積為.

19.（2018?全國?高三競賽）在正四棱錐P-A8C。中，已知4、G,分別為R4、PC中點.則

V三極錐A-BCQ_

匕E四棱制獷-ABC3

20.（2018?全國?高三競賽）一個糧倉大致可看做一個圓臺，其上底半徑為3米，下底半

徑為6米，高為"米.一只吃飽了的老鼠在鍛煉身體，它打算從圓臺下底圓周上的點A

出發(fā)，繞圓臺側(cè)面慢跑一周，再回到點A.為了使路程最短，這只老鼠至少要跑

米.

21.（2019?全國?高三競賽）在四棱錐尸-ABCQ中，己知四邊形A8C。為矩形，且4?=4,

BC=3,PA=PB=PC=PD=5,AC與PD交于點O,M為邊PC的中點.則與平

面PBC所成的角為.

22.（2018?全國?高三競賽）在正四棱錐中，已知4B=3,且側(cè)面PAD側(cè)面C尸。

37r

所成二面角大小為該四棱錐外接球的體積為.

23.（2018?全國?高三競賽）用一塊邊長為2的正方形紙片（頂點為A、B、C、D,

中心為。）折成一個正四棱錐O-A8CD.當(dāng)該四棱錐體積最大時，二面角A-O3-C的

平面角的大小為.

24.（2019?全國?高三競賽）已知四面體ABCD的四個面AD3C、ADCA.AZMB、AABC

的面積分別為12、21、28、37,頂點D到面A4BC的距離為h.則h=.

25.（2020?浙江?高三競賽）如圖所示，在單位正方體上有甲、乙兩個動點，甲從尸點勻

速朝P'移動；乙從Q點勻速出發(fā)朝Q'移動，到達。'后速度保持不變并折返.現(xiàn)甲、乙同

時出發(fā)，當(dāng)甲到達P時，乙恰好在到達。'后折返到Q,則在此過程中，甲、乙兩點的

最近距離為.

26.（2018?河北?高二競賽）若△月供24的三邊長分別為8、10、12,三條邊的中點分別

是B、C、D,將三個中點兩兩連結(jié)得到三條中位線，此時所得圖形是三棱錐A-BCD的

平面展開圖，則此三棱錐的外接球的表面積是.

TT

21.（2019?四川?高三校聯(lián)考競賽）已知正四棱錐「的高為3,側(cè)面與底面所成角為

先在「內(nèi)放入一個內(nèi)切球O1,然后依次放入球Q,Q，Q，，使得后放入的各球均與前

一個球及「的四個側(cè)面均相切，則放入所有球的體積之和為.

三、解答題

28.（2022?貴州?高二統(tǒng)考競賽）甲乙二人輪流給一個正方體的棱涂色，首先，甲任選3

條棱涂成紅色，然后乙從余下的9條棱中任選3條涂成綠色，接著甲從余下的6條棱中

任選3條涂成紅色，最后乙將余下的3條棱涂成綠色，如果甲能將某個面上的4條邊全

都涂成紅，甲就獲勝，試問甲有必勝策略嗎？說明理由.

29.（2018?全國?高三競賽）在三棱錐O—48C中，己知。4=OB=OC=6,AC=2也，

48=2,且O8LAC.以。為球心、1為半徑作一個球.則三棱錐O—ABC不在球內(nèi)部的

部分體積為.

30.（2021?全國?高三競賽）證明：如下構(gòu)造的空間曲線「的任意五等分點組都不在同一

12

球面上，曲線「的構(gòu)造：作周長為/的圓0,在圓0上取使的長度＜?，

并以A8為軸將AmB旋轉(zhuǎn)180。得弧加?8,在圓。上取B"C，使AmB的長度+B〃C的長

度＜：/,并以BC為軸將即C旋轉(zhuǎn)6度（0°＜"180。）得弧“C，這樣，由弧

A”?AS〃C、OA組成的曲線便是空間曲線?（如圖所示）

【高中數(shù)學(xué)競賽真題?強基計劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】

專題08立體幾何真題專項訓(xùn)練（全國競賽+強基計劃專用）

一、單選題

1.（2020?北京?高三強基計劃）如圖，設(shè)P為單位立方體的棱A々上的

一點，則PA+PC的最小值為（）

A.也+0B.J2+20

C.2-—D.前三個答案都不對

2

【答案】A

【分析】如圖，將和△G&A翻折到同一平面后可求尸A+PG的最小值.

【詳解】如圖,將,AgA和△G44翻折到同一平面.

可得所求最小值為AG=4-V2?

故選:A.

2.（2022?貴州,高二統(tǒng)考競賽）平面。與長方體的六個面所成的角分別為4?=1,2,3,6）,

則Zsi/g的值為(

【答案】C

【詳解】解法1.取平面a與長方體的一個面平行或重合,

則在q(i=l,2,3…6)中有兩個為0,四個為1TT,

所以￡sin'q=2x0+4xl=4.

故選：C.

解法2.建立如圖的空間坐標系。-盯z,

.力

取a的法向量為”=(毛,%"0)，長方體相鄰三個面的法向量為4=(1,0,0),%=(0」,0),

%=(0,0,1),

/.^cos2a=2勺?n

r=l

<xo+>o2+

A^sin2=6-Xcos2=6-2=4.

故選：C.

填空題

3.(2019?全國?高三競賽)已知P是二ABC所在平面。外一點，則24,平面

PB=PC=而，tanZPBC=j.則點A到平面PBC的距離的最大值是

【答案】巫

2

【詳解】如圖，作PDL8C于點D,聯(lián)結(jié)AZ),作AFLPD于點尸.

因為PA，平面ABC,BC工PD,

所以，8。_14）=>8。_1平面尸4￡>=>平面％￡>1,平面尸8（7.

由AFYPD.得AFL平面PBC.

于是，AF即為點A到平面PBC的距離.

33

因為VdnZPBC=—所以，sin/PBD

2^3'

又PD=PBsinZPBD=>/26x-J==372

V13

在Rtft4￡>中，AF4=PD=晅.

22

故所求的最大值為述.

2

故答案為逃

2

4.（2019?全國?高三競賽）在三棱柱4BC-ABG中，底面邊長和側(cè)棱長均相等,

ZBAA=^CAA=60°.則異面直線AB｝與BC,所成的角為.

【答案】arccos—-

6

【詳解】在平面8BCC中，將8a平移至。則NA8Q即為所求的角

設(shè)三棱柱底面邊長和側(cè)棱長均為1.

在AA與。中，ABl=43,B\D=&AD=43,

34利=做&河-3=2?-3邁

2AB]?BQ2x^3x5/26

J是，NAB]D-arccos?

故答案為arccos

6

5.（2018?全國?高三競賽）已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形,

且SA=SB=SC=AB=2.則三棱錐S-ABC外接球表面積為.

【答案】等

【詳解】如圖，設(shè)三棱錐S-ABC外接球球心為0,半徑為R

由SA=SB=SC=AB=2,知S在平面ABC內(nèi)的投影為AABC的外心，即AB的中點H.

由OA=OB=OC,知O在平面ABC內(nèi)的投影也為AB的中點H.

于是，S、O、H三點共線.

又由OA=OB=OS,知。為ASAB的外心.

因此,R=OA=,x冬2=苧

16萬

故所求為4〃x

T

6.（2020?江蘇?高三競賽）在長方體ABCO-AAGe中，AB=4,BC=CC1=2日M

是BG的中點，N是MG的中點.若異面直線AN與CM所成的角為0,距離為d,則

2020dsin8=.

【詳解】因為CM_L8G，故，=90。.

過點加作W"14V于點E,則ME_LCN,故d=ME.

4

因為45=4,BN=3,所以AN=5,則d=ME=MNsinNANB=餐,從而可得

2020Jsin^=1616.

D\GDiG

故答案為：1616.

7.（2021?浙江?高二競賽）在二MC中,ZB=ZC=3O°,BC=243,P,。分別在線

段A3和AC上，AP=\,AQ=y［2,直線AD/8c于O.現(xiàn)將三角形AfiC沿著40對

折，當(dāng)平面AD8與平面ADC的二面角為60。時，則線段P。的長度為.

［答案］,3—平

【分析】先根據(jù)二面角的定義，得到△BCD為等邊三角形，得到8C的長度，然后在折

后的立體圖形中，在4附。和△8AC中利用余弦定理即可求得線段PQ的長度.

【詳解】因為折疊前后，AQ與。8,CQ的垂直關(guān)系保持不變，

...NBDC為二面角B—AD—C的平面角，

依題意可知N8DC=60。，

在折疊前的圖形中N8=NC=30。，BC=20

.*?BD=CD=0

二在折疊后，AA8C為等邊二角形，.?.8C=G，

AP2+AQ2-PQ2AB2+AC2-BC2

所以cosNPAQ=

2APAQ2ABAC

又；4P=1,AQ=6,40=1,AB=AC=2,

.3-尸。

p解得PQ=

故答案為:

3-乎

8.（2022?浙江?高二競賽）在正四棱錐S-4JC。中，M在棱SC上且滿足SA/=2A/C.

過AM作截面將此四棱錐分成上，下兩部分，記上，下兩部分的體積分別為乂，匕，則

V,

立的最大值為.

【答案】:

O

【詳解】設(shè)過AM的平面交SB,SD于G,P,

將平面MGAP延伸，交BC,CD于E,F,則A,E,F共線.

..匹”2=1三上.2=1,

FDPSEBl-x

又生=0=0=CE

FDDABCCE-BE

BE_2XDP（BEy_\-3x

面怎.匚?,下一~~CE）2（\-x）

2-2x]1（43-5x4）

——H--------------1------------------

3-5xJ3（555（3-5x）J

85

XG0,-y-5xe*3.工

3V

乂匕以上一小

匕匕乂8.

7

故答案為：—.

8

9.（2022?廣西?高二統(tǒng)考競賽）若長方體的長、寬、高都是自然數(shù)，且所有棱長之和等

于它的體積，則稱此長方體為“完美長方體"，‘‘完美長方體”的體積的最大值為

【答案】120

【詳解】設(shè)長、寬、高分別為。、b、c,且。262c21,

貝|J4（a+b+c）=abc,a=:他+?,bc>4,b2>bc>4.

由。26得8。2（〃-4）。2從一4,

b>3,

故，（/7-4）2<20,AAl"j3-Z，-8,

因此，（a,此c）=（10,3,2）,（6,4,2）,（24,5,1）,（14,6,1）,（9,8,1）,

所求最大值為24x5x1=120.

故答案為：120.

10.（2022?福建?高二統(tǒng)考競賽）如圖，尸為長方體ABCO-ASGR的對角線BR上一

點，平面APC〃平面OAG，若A4,=2A。，則二面角尸-AB-C的正切值為.

【答案】2

【詳解】如圖，設(shè)。＞。分別為長方體上、下底面矩形對角線的交點,

因為平面APC〃平面,

平面D\DBBc平面APC=OP,

平面DQBBq平面D4C=，

所以O(shè)P〃OOi,

又0B、〃DO、,所以0、P、三點共線,

設(shè)。為HRB的交點，則Q為RP的中點，P為QB的中點，因此8尸=：8口，

作P”_L￡)8于，，HRLAB于一R,W'lPH±￥ffiABCD,PR_LAS，NPR”為二面角

P-A8-C的平面角，

112I

由例=24。，BP=-BDl,可得尸口=1A￡),RH=-AD1

所以tanNPR”=^=2,二面角P-AB-C的正切值為2.

故答案為：2.

11.(2022?新疆?高二競賽)已知二面角。-/一夕的平面角為60。，A,。為直線/上的兩

點，射線￡>3在平面a內(nèi)，射線OC在平面夕內(nèi)，已知NBD4=45o,/CD4=30。，則

cosNBDC等于.

【答案】"產(chǎn)

【詳解】在。平面中，過點A作D4的垂線，交射線DB于點B,交射線DC于點C,

設(shè)04=1,則A8=1,O8=0,AC=3,r)C=^^

33

則"4C=60。是湎角WN的平面角:

在,3。。中，利用余弦定理得BC2=—~巫cos/BDC,

33

同理在二84C中，3c2=匕電，

3

所以cosZ.BDC=2瓜+6.

8

2灰+&

故答案為:

8'

12.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）在棱長為6的正四面體ABC。中，/為面BCD上

一點，且|AM|=5,設(shè)異面直線AM與BC所成的角為%則|cosa|的最大值為

【答案】|

【詳解】過A作底面8CD的垂線A"，”為垂足，則AH=2#，

由AM=5,可知AM是以A”為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐的母線，

且M所在的底面圓周半徑r=l,

由最小角定理知，A例與8c所成角"的最小值為4M與面BCD所成線面角，

即當(dāng)a最小時，（cosa）max=g.

故答案為：—.

13.（2019?全國?高三競賽）E、尸分別是正四面體458的棱8。、CD的中點，則平

面ABC和平面AEF所成二面角的余弦值是.

【答案】生叵

33

【詳解】設(shè)正四面體的棱長為1,平面48c與平面AEF所成二面角的大小為夕，易知

EFBC,過點A作BC的平行線AP,則EFBCAP,且4P就是平面ABC和平面

戶所成二面角的棱，易知，ZPAC=ZACB=60°,ZC4F=3O°,ZPAF=ZAFE,

AE=AF咚,EF=；BC=；,故cosNAFE=+，由三面角余弦定理得

cosZGAF=cosZPAC-cosZPAF+sinNPAC?sinZPAF-cos0

1^A/3VH5而

—=_X-=H----X--=cos0=>cos0=-----?

222622G33

14.（2018?全國?高三競賽）在三棱錐P-ABC中，已知PA_L底面ABC.若ZBPC=/BAC,

且AB>AC,則NBC4-N尸BC=.

【答案】

【詳解】如圖，作AD_LBC于點。，聯(lián)結(jié)PD.

顯然，PE>>AT).故可在線段尸￡>上取一點E,使得￡)E=D4,聯(lián)結(jié)BE、CE.

易證^MRC—^AfiBC?

從而，ZBEC=NBAC=NBPC.

故尸、B、C、￡1四點共圓.

這表明，點E在A4BC外.

由A8>AC,知NAC3為鈍角.

從而，ZCED=ZPBC.

TT7T

故NBCA-NPBC=-+ZCAD-ZCED=-.

22

15.(2019?全國?高三競賽)在空間四邊形ABC。中，AC=“，BD=b，E、F分別是A3、

CF

CD上的點，使得有—=2012Jlj￡F=.(用。、。表示).

EBFD

Q+2012/7

【答案】

2013

【詳解】如圖，EF=EB+BC+CF.

—=空=L=CF=LCD

FDCD2+1X+1

^EF=EB+BC+CF=-^-AB+-^-BC+-^—BC+-^—CD

A+14+1A+1A+1

=—!—++—!—AC+^-BD=AC+ABD

2+lv)X+N)2+12+12+1

。+2012b

將4=2012,AC=a〃代入即得打

2013

16.（2019?全國?高三競賽）在邊長為1的正方體ABC。-ABC"中，點E、F、G分

別為棱AA、GA、BC的中點.則四面體BfFG的體積為.

3

【答案】4

16

【詳解】如圖，過點E作BC的平行線，與交于點E,.

則%面體時尸G=%面體8￡卬=嗡面體GE冉二不.卜港,BB1.

由題設(shè)得AE'=；.

AT-EL-C5A11511.9

在正方體底面上，有S,WF8=71+---x-x7-^x^xl=77-

2V4J2242216

3

故%q面體匹附心=布?

17.(2018?全國?高三競賽)己知三棱錐尸-ABC的底面AA8C是邊長為6的正三角形，

平面ABC,PA=4,若點。滿足PQ=g(PA+P8+PC),則三棱錐Q-A8C的體

積為.

【答案】6^3

【詳解】記AABC的中心點為O.

則

OA+OB+OC=0=>PQ=-[PA+PB+PC^=^PO+OA)+[PO+OB]+[PO+Oc\\i=^PO^>PO=2OQ

故"y棱推O-ABC=5V三棱錐尸-ABC=/*§S（MBC,以=-X-X9>/5X4=6行.

18.（2018?全國?高三競賽）設(shè)正三棱柱ABC-ABC的體積為丫，點尸、。分別在棱

A4'、CC上，滿足AP=C'Q.則四面體BPQB'的體積為.

【答案】|v

【詳解】V四面體5P網(wǎng)=V三棱錐尸一3歲。=V三棱電=V三棱電一8&C=§"?

19.（2018?全國?高三競賽）在正四棱錐P-ABCD中，已知A、G,分別為以、PC中點.則

V

y三棱錐A-5CQ_

KE四棱錐

【答案】7

4

【詳解】注意到咚則”=耳卜淞錐。-八80=公匕￡四棱錐。-八★。?

同理，“三棱錐G-4叨=/匕I泗棱錐P-A8CQ?

乂“：核錐8-AGD=WV:棱錐AAC、。=[V淞儺P-4AC=Z丫三棱錐P-AHCQ

同現(xiàn)丫三棱銖。-AGP=W%E四枝錐P-48CD?

故.”棱兆3202.=i一）*2—]>2=」.

%四棱錐P-ABCO484

20.（2018?全國?高三競賽）一個糧倉大致可看做一個圓臺，其上底半徑為3米，下底半

徑為6米，高為J7米.一只吃飽了的老鼠在鍛煉身體，它打算從圓臺下底圓周上的點A

出發(fā)，繞圓臺側(cè)面慢跑一周，再回到點A.為了使路程最短，這只老鼠至少要跑

米.

【答案】+等

【詳解】將此圓臺的側(cè)面展開，得到一個圓環(huán)的一部分，如圖，在展開圖中，弧AZ）和

弧斯分別對應(yīng)圓臺的下底和上底，點4（。）是老鼠的出發(fā)點.

假設(shè)圓環(huán)的內(nèi)半徑為，外半徑為R，所對的圓心角為。，顯然,

ar=2兀乂3,aR=2萬x6,（6-3）~+（"）=（/?-?）'.

解得〃=4,R=8,a=—.

2

作AB與弧EF切于點B,0c與弧EF切于點C.由圖像，知AfBfCf。為最短路線,

其中，BfC這一段路線在弧歷■上.

計算得AB=CD\lR2-r2=4小

TTS77

且易知NAOB=NCOO=上，ZBOC=a-ZAOB-ZCOD=—.

36

..rF,??＞、,5/r.1OTT

故弧BC的長為二"X4=F-.

63

于是，最短路線長度為4劣+坐+46=8j5+W（米）.

33

21.（2019?全國?高三競賽）在四棱錐P-ABCZ）中，已知四邊形ABC。為矩形，且AB=4,

8c=3,PA=PB=PC=PD=5,4c與尸。交于點O,M為邊PC的中點.則（W與平

而PBC所成的角為______.

【答案】arcsin生反亙

91

【詳解】取邊2C的中點E,則OE_LBC,PE1.BC.從而,8C_L平面POE.

過點。作則OFJ■平面P8C.于是，為所求.

因為為RfAPOC斜邊的中線，所以，OM=2.

2

又OF=3邛,從而，sin/。心="=坐

PEV91OMV91

故OM與平面PBC所成的角為arcsin,也”.

91

22.（2018?全國?高三競賽）在正四棱錐P-ABCD中，已知AB=3,且側(cè)面R4￡＞側(cè)面CPD

所成二面角大小為技.該四棱錐外接球的體積為.

?2437c

【答案】

16

【詳解】分別過點。、A作PD的垂線，則垂線必交于。力上一點。，HZA0C=y,

AQ=CD.

因為4c=厲3=3夜，

也,、一八八八ACsinl80°-120°RI~;，

所以AQ=CQ=—-------------------=V6,DQ=ylCD2-CQ2=＞/r3.

由尸。2=PC2-CQ2,得尸c=地.

2

設(shè)。為正方形A8C￡）的中心，則四棱錐外接球的球心O'必在直線尸O上，尸。與球交于

另一點P'.

又CO=4AC=逑，則尸O='PC2_CO2=).

222

CCr1Q

由「，。=分=3,^R=-（PO+P'O）=~.

,,432437c

故1％7=”

3lo

23.（2018?全國?高三競賽）用一塊邊長為2的正方形紙片（頂點為A、B、C、D,

中心為。）折成一個正四棱錐O-A8CD.當(dāng)該四棱錐體積最大時，二面角A-O8—C的

平面角的大小為.

2兀

【答案】y

【詳解】如圖，作AEJ_O3于點E,連接CE.

則CE_LO3,NAEC為所求二面角的平面角.

設(shè)7/為底面中心.則平面A8CO.作，尸J_A8,連接。尸.

由三垂線定理得OFJ_4?.設(shè)AB=2x.則

BF=x,AH=HC=?x，OH=YJOB2-HB2=^2（l-x2）.

故七四枝徘。ABCD-~~=-J2（l-x2]x2x2<-Jf->l=-

H-KHBeW.O—ADCD3、\/3、\3]l\3J27

由均值不等式的等號成立條件，知當(dāng)且僅當(dāng)x=半時、/四棱WC”取最大值.

又OF=dOB。-BF?=年，OFAB=AEOB,則AE=—^―=§=CE.

而AC=6AB=生叵，故由余弦定理得cosNAEC=4.一+"-2=」.

32AEEC2

2兀

因為0<N4ECv7r,所以，ZAEC=—.

3

24.（2019?全國?高三競賽）已知四面體ABCD的四個面AD8C、ADC4,ADAB、AABC

的面積分別為12、21、28、37,頂點D到面AA3C的距離為11.則11=.

【答案】包逑

37

【詳解】注意到，122+2產(chǎn)+282=372.

因此，四面體ABCD為直角四面體.

_3DADBDC3724x42x56_504正

d乂h=--------------------=----------------------=-----------

S^BC3737

25.（2020?浙江?高三競賽）如圖所示，在單位正方體上有甲、乙兩個動點，甲從尸點勻

速朝尸'移動；乙從Q點勻速出發(fā)朝Q'移動，到達。'后速度保持不變并折返.現(xiàn)甲、乙同

時出發(fā)，當(dāng)甲到達P時，乙恰好在到達。后折返到Q,則在此過程中，甲、乙兩點的

最近距離為.

【答案】嚕

【詳解】設(shè)甲、乙的速度分別為耳、v2,在此過程中，且=2，即24=&%.

匕彩

不妨設(shè)匕=2，則總的時間為1.

設(shè)在時間為4末，甲、乙之間的距離最短，即此時P、。分別達到M、N點.

分兩種情況討論：路程前半程與路程后半程.

（1）路程前半程：4e0,1，則QN=2/0,PM=&,MH=t0,PH=圓,

QH-=\+2tl-2tQ,進而有MN2=3l_2%+l=3,o_g）+|>|,故MNW當(dāng)（當(dāng)且

僅當(dāng)時取等號）.

（2）路程后半程：toe1I,則QV=2（1-%）,PM=?o,MH=%,PH=a,

22

QH=l+-2to，進而有MN=lk（；-14/0+5=ll[一看）+Q卷，故MN2嚕（當(dāng)

且僅當(dāng)時取等號）.

因為逅>乂電，所以在此過程中，甲、乙兩點的最近距離為畫.

31111

前半程后半程

故答案為：華

26.（2018?河北?高二競賽）若△AA/j的三邊長分別為8、10、12,三條邊的中點分別

是B、C、D,將三個中點兩兩連結(jié)得到三條中位線，此時所得圖形是三棱錐A-BCD的

平面展開圖，則此三棱錐的外接球的表面積是.

【答案】節(jié)774

【詳解】由已知，四面體A-BCD的三組對棱的長分別是4、5、6.構(gòu)造長方體使其面對

角線長分別為4、5、6,設(shè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z,外接球半徑為R,則

X2+/=42

-X2+?=52,得（2R『=x2+y2+z2=[,故R2=],所以5=華.

22/2282

y+z'=6

TT

27.（2019?四川?高三校聯(lián)考競賽）已知正四棱錐「的高為3,側(cè)面與底面所成角為

先在廠內(nèi)放入一個內(nèi)切球。/,然后依次放入球U，。,，。,，，使得后放入的各球均與前

一個球及r的四個側(cè)面均相切，則放入所有球的體積之