高中數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)-題型歸納-解題方法

數(shù)列

典型例題分析

【題型1】等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

例1（2010陜西文16）已知｛an｝是公差不為零的等差數(shù)

列，a1=L且a”a3,析成等比數(shù)列.（I）求數(shù)列EJ的

通項(xiàng)；（II）求數(shù)列｛2喝的前n項(xiàng)和Sn.

解：（I）由題設(shè)知公差dWO,

由a1=l,ai,a3,成等比數(shù)列得*=筆，

解得d=l,d=0（舍去），故瓜｝的通項(xiàng)an=l+（n

—1）Xl=n.

（II）由（I）知2，=才，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得

S產(chǎn)2+22+2'+…+20二”二2s2.

小結(jié)與拓展：數(shù)列4是等差數(shù)列，則數(shù)列“｝是等比數(shù)列，

公比為川，其中a是常數(shù)，d是⑷的公差。（a此且aWl）.

【題型2]與“前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an”、常用求通項(xiàng)

公式的結(jié)合

例2已知數(shù)列EJ的前三項(xiàng)與數(shù)列｛bj的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相

2n_1

同，且ai+2a2+2a3HF2an=8n對(duì)隨意的n￡N*都成

立，數(shù)列數(shù)n+i—bj是等差數(shù)列.求數(shù)列列J與｛bj的通項(xiàng)

公式。

!

解：ai+2a2+22a3+…+2"an=8n(n￡N*)

①

2=

當(dāng)n12時(shí)，@i+2a2+2匕3+…+2"an-i8(n—1)(n￡N*)

②

①一②得2「a=8,求得an=2-n,

在①中令n=l,可得@1=8=2-1,

:?4=2“11(n￡N*).由題意知b=8,b2=4,b：3=2,62

—bi=-4,b3—b2=-2,

,數(shù)列｛bn+i—bn｝的公差為一2一(—4)=2,/.b?+i—bn=-4

+(n-l)X2=2n-6,

法一(迭代法)

--

bn=bi+(b2-bi)+(b3b2)T---卜(bnbn-i)=8+(-4)+

(—2)H——H2n—8)

=Y—7n+14(n￡N*).

法二(累加法)

即bn—bn-i=2n—8,

bn-1bn-2=2n-10,

ba-b2=—2,

b2—bi=-4,

bi=8,

相加得bn=8+(—4)+(—2)4---卜(2n—8)

(n-l)(-4+2n-8)

=8+-----------------=n2—7n+

14(n￡N*).

小結(jié)與拓展：1)在數(shù)列｛aj中，前n項(xiàng)和柞與通項(xiàng)4的關(guān)

系為：

凡=4個(gè)"是重要考點(diǎn)；2)韋達(dá)定理應(yīng)引起重視；3)

[S“-S“T(?>2,neN)

迭代法、累加法及累乘法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。

【題型3】中項(xiàng)公式與最值(數(shù)列具有函數(shù)的性質(zhì))

例3(2009汕頭一模)在等比數(shù)列｛aj中，a“>0(n.N

),公比Qe(0,1)j且+2a3a5+a2a8=25,@3與as的

等比中項(xiàng)為2o(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)整

=loga,數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和為Sn當(dāng)?shù)抖贰?邑最大時(shí),

2nI2n

求n的值。

解：(1)因?yàn)閍1^5+2a3a5+a2a8=25,所以,裙+2a3a5+屋

=25

又an>o,???a3+a5=5又@3與as的等比中項(xiàng)為

2,所以，a3a5=4

而qe(0,1),以，&3>@5,所以，a：3=4,@5=1,

=16,所以,

%=16x(J=2-

(2)bn=log2an=5—n,所以，bri+i—bn=—1,

所以，?｝是以4為首項(xiàng)，一1為公差的等差數(shù)列。所以，

°_〃(9一〃)Sn_9-n

sn二F~7F

所以，當(dāng)nW8時(shí)，^>0,當(dāng)n=9時(shí)，&=0,n>9時(shí)，盤(pán)

nnn

<0,

當(dāng)n=8或9時(shí)，工邑+…+2最大。

12n

小結(jié)與拓展：1)利用配方法、單調(diào)性法求數(shù)列的最值；2)

等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)。

二、數(shù)列的前n項(xiàng)和

L前n項(xiàng)和公式Sn的定義：

=,,e

Snai+a2+ano

2.數(shù)列求和的方法(1)

(1)公式法：1)等差數(shù)列求和公式；2)等比數(shù)列求和公

式；3)可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4)

常用公式：

三心_1+2+3+??,+〃=—n(n+1)?

乙&二7，

￡公=『+22+32+一.+〃2=ln(H+l)(2n+l).

*=16

/1+23+33+...+/=[〃(〃+1)了

我=12

2

Z(2k-1)=1+3+5+…+(2n-1)-no

(2)分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的

項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等

差、等比數(shù)列求和公式求解。

(3)倒序相加法：假如一個(gè)數(shù)列｛aj,與首末兩端等“距

離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的

前n項(xiàng)和即可用倒序相加法。如：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即

是用此法推導(dǎo)的。

(4)裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)

抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。

適用于其中｛/是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù);

J

部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1)

(其中｛叫等差)可裂項(xiàng)為：o

danan+tM+d*d

(根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消求

和)

常見(jiàn)裂項(xiàng)公式：

(1)?

n(n+1)n九+1，

(2)—1=

〃(〃+%)knn+k9

1l11

(3)------=—[-r----------].

1)5+1)2n(n+1)5+1)5+2)，

3.典型例題分析

【題型11公式法

例1等比數(shù)列團(tuán)的前n項(xiàng)和Sn=2-p,則

2222

%+。2+/+■??+%=?

解：1）當(dāng)n=l時(shí)，au2-p；

nnn

2）當(dāng)nA2時(shí)，an=Sn-Sn.1=（2-p）-（2-'-p）=2-'o

因?yàn)閿?shù)列?。秊榈缺葦?shù)列，所以一一p=2'np=l

從而等比數(shù)列&｝為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列。

故等比數(shù)列⑶為首項(xiàng)為1,公比為q、4的等比數(shù)列。

+a；+q；+…+a；=Wd）=l（4n-1）

123“1-43

小結(jié)與拓展：1）等差數(shù)列求和公式；2）等比數(shù)列求和公

式；3）可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4）

常用公式：（見(jiàn)學(xué)問(wèn)點(diǎn)部分）。5）等比數(shù)列的性

質(zhì)：若數(shù)列④為等比數(shù)列，則數(shù)列屆及也為

等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為小L公比分別為八io

a,q

【題型2】分組求和法

例2（2010年豐臺(tái)期末18）數(shù)列⑷中，—且點(diǎn)

3…）5eN,）在函數(shù)“3+2的圖象上.（I）求數(shù)列｛〃.｝的通項(xiàng)公

式；（II）在數(shù)列｛明｝中，依次抽取第3,4,6,2n-'+2,…

項(xiàng)，組成新數(shù)列R，試求數(shù)列間的通項(xiàng)勿及前〃項(xiàng)和S〃.

（I）.點(diǎn)（%,a.+j）在函數(shù)/（x）=x+2的圖象上，??%=a,+2o

???j--2,即數(shù)列｛%｝是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列,

??an=1+（n—1）x2=2H—1o

（II）依題意知：4=%叫2=2（2恒+2）—1=2〃+3

3=4+與+?+2二2（2'+3）=22'+3〃二^^-+3〃=2用+3〃一2.

/=i/=i112

小結(jié)與拓展：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)，再把數(shù)列的項(xiàng)

重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、

等比數(shù)列求和公式求解。

【題型3】裂項(xiàng)相消法

例3（2010年?yáng)|城二模19改編）已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和

為S〃,%=1，S"+i=4。"+1,設(shè)bn=an+x—2an.

（I）證明數(shù)列同是等比數(shù)列；

（IIU，

）數(shù)歹同滿意%=白下J（〃工）求

Un十

Tn=C&+C2c3+C3c4+-??+g%+lo

證明：（I）由于S-,①

當(dāng)〃22時(shí),S“=4%+1.②

①-②得%+i=4a“一.所以all+i-2a“=2gti-2a,一）?

又瓦,=an+｝-2a?,所以=2%?

因?yàn)?=1,且。［+=4。|+1，所以〃=3《+1=4?

所以2q=2.故數(shù)列同是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)

列.

解：（II）由（I）可知止2"，則（…，）.

log22+3〃+3

,111I

T=c,1c2+C2C33+C3C4++cc..=+++…+----------------

n2〃用4x55x66x7（〃+3）（〃+4）

_11_n

4n+44（〃+4）

小結(jié)與拓展：裂項(xiàng)相消法是把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使

其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。它適用于:［其中

LJ是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，C為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、

含階乘的數(shù)列等。如：1）>I（其中⑷等差）

可裂項(xiàng)為：」-=；（，—，）；2）『I（根式在分

%.%+idanan+l87%d

母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消求和）

（5）錯(cuò)位相減法：適用于差比數(shù)列（假如同等差，也｝等

比,那么｛他｝叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以⑻的公比-

向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。

如：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.

（6）累加（乘）法

（7）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求

解，則稱之為并項(xiàng)求和.

形如a「=（—l）Y（n）類型，可采納兩項(xiàng)合并求。

5.典型例題分析

【題型4】錯(cuò)位相減法

2462n

例4求數(shù)列于齊，聲…，正，…前n項(xiàng)的和.

解：由題可知停｝的通項(xiàng)是等差數(shù)列｛2n｝的通項(xiàng)與等比數(shù)

列￡｝的通項(xiàng)之積

、江c2462n

^^=2+F+F+'"+F

12462n

子=中+乎+夢(mèng)十…+耳〃+1②（設(shè)制錯(cuò)位）

22n

①一②得(1」電=2+3+2+4+???_|------（錯(cuò)位相減）

J7V?」222223242"2，，+1

12〃

=2——

77—1+1

2

n+2

【題型5】并項(xiàng)求和法

222222

例5^S1OO=1OO-99+98-97H——H2-l

222222

解：S,OO=1OO-99+98-97H——H2-l=(100+99)+

(98+97)H——1-(2+1)=5050.

【題型6】累加（乘）法及其它方法：歸納、猜想、證

明；周期數(shù)列的求和等等

例6求1+11+111+…+111…1之和.

解：由于yJ=：x絲3=：(0一1)(找通項(xiàng)及特征)

A個(gè)17小7

1+11+111+…+111…1--(IO1-l)+-(102-l)+-(103-l)+---+-(10n-1)(分組求和)

9999

=-(io'+io2+io3+---+io,,)--(i+i+i+---+i)=-10(1°-1---

99-----訪-----'910-19

=-(10,,+,-10-9/1)

81

6.歸納與總結(jié)

以上8種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要擅長(zhǎng)變

更原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能運(yùn)用等

差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和

公式來(lái)解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求

和化難為易，迎刃而解。

三、數(shù)列的通項(xiàng)公式

L數(shù)列的通項(xiàng)公式

一個(gè)數(shù)列｛/｝的與之間的函數(shù)關(guān)系，

假如可用一個(gè)公式4=f(n)來(lái)表示，我們就把這個(gè)公式叫

做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2.通項(xiàng)公式的求法(1)

(1)定義法與視察法(合情推理：不完全歸納法)：干脆

利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，

這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目；有的數(shù)列可以依據(jù)

前幾項(xiàng)視察出通項(xiàng)公式。

(2)公式法：在數(shù)列｛4｝中，前n項(xiàng)和樸與通項(xiàng)蜃的關(guān)系

為：

ciy—S](〃—1)

fS”—S“T(H>2,neN)(數(shù)列｛叫的前n項(xiàng)的和為

5“=%+%++??)?

(3)周期數(shù)列

由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，找尋周期。

(4)由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)

類型1遞推公式為―/⑺

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為利用累加法(逐差相

加法)求解。

類型2(1)遞推公式為(嘰

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為如"5),利用累乘法(逐商相乘

法)求解。

(2)由%=〃〃口和％確定的遞推數(shù)列口的通項(xiàng)可如下求得：

由已知遞推式有%=，a?,,=/(?-2)a吁2，???fa2=依次向

前代入，得%=/(〃—1)/(〃一2)…/⑴q，這就是疊(迭)代法的基本

模式。

類型3遞推公式為j二西+(其中p,q均為常數(shù)，

(pq(p-l)xO))o

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：其中U土，再利

1-P

用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。

3.典型例題分析

【題型1】周期數(shù)列

例1若數(shù)列｛%｝滿意*LI，若qj，則

24-7

答案：胃

小結(jié)與拓展：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，找尋周期。

【題型2】遞推公式為J/+小)，求通項(xiàng)

例2已知數(shù)列｛%｝滿意—,求明。

解：由條件知：%「%==二=7彳」―一

n+n〃(〃+1)nn+1

分別令〃=123,……,(…，代入上式得(I)個(gè)等式累加之,即

a

—Q])+(。3_〃2)+(〃4-〃3)+.............+(〃〃_n-\)

=(14)+(^4)+(14)+……+小+

所以…=」

n

1}_

va\=2l+i-l=2

，2n2n

小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累加法時(shí)，要特殊留意項(xiàng)數(shù)，計(jì)算時(shí)項(xiàng)

數(shù)簡(jiǎn)潔出錯(cuò).

【題型3】遞推公式為-="嘰,求通項(xiàng)

2

例3已知數(shù)列滿意/=石，%=匕％,求明。

J11IJL

解：由條件知箕=懸，分別令12,3,……,(?-1)，代入上式得(…

個(gè)等式累乘之，即—…………%9吟=：

%。2〃3，〃-1234a處幾

小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特殊留意項(xiàng)數(shù)，計(jì)算

時(shí)項(xiàng)數(shù)簡(jiǎn)潔出錯(cuò).

【題型4】遞推公式為%=P%+q(其中p,q均為常數(shù),

(pq(pT)wo)),求通項(xiàng)

例4在數(shù)列｛%｝中，4=1,當(dāng)心2時(shí),有%=3%一］+2,求應(yīng)｝

的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)a?+m=+加)，即有an=3an_x+2m，對(duì)比a“=3a,i+2,得加=1,于

是得a?+l=3(a?,i+l),數(shù)列以+D是以5=2為首項(xiàng),以3為公比的

等比數(shù)列，所以有￡7?=2-3,,_|-1O

(5)構(gòu)造法

,構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)條

件與結(jié)論的充分剖析，有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)膮f(xié)助模型,

如某種數(shù)量關(guān)系，某個(gè)直觀圖形，或者某一反例，以此促

成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就

是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)

列的通項(xiàng)公式，此類題通常較難，但運(yùn)用構(gòu)造法往往給人

耳目一新的感覺(jué).

1)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列

由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式明顯，對(duì)于一些遞

推數(shù)列問(wèn)題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種

行之有效的構(gòu)造方法.

2)構(gòu)造差式與和式

解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，

然后采納迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.

3)構(gòu)造商式與積式

構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公

式的一種簡(jiǎn)潔方法.

4)構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式

有些數(shù)列若通過(guò)取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由困

難變?yōu)楹?jiǎn)潔，使問(wèn)題得以解決.

(6)歸納猜想證明法

數(shù)學(xué)歸納法

(7)已知數(shù)列｛”前〃項(xiàng)之積Tn，一般可求Tn"則既=4(留

意：不能遺忘探討.1).

2

如：數(shù)列｛%｝中，對(duì)全部的〃N*都有axa2a3--an=n,則

%+%=?

四、典型例題分析

【題型5】構(gòu)造法：1)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列

例5設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列口的前n項(xiàng)和為s.，對(duì)于隨

意正整數(shù)D,都有等式：成立，求?｝的通項(xiàng)入

解：4+2%=n4T2+=4S,I,

??an~an-i+2a2a,I=4(S“-S”_])=4%

a—

)(“〃—n-\2)=0f.an+0,??an