高中數(shù)學(xué)必修一

必修1

1、集合的含義與表示

一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特

性：確定性、互異性、無序性。集合的表示有列舉法、描述法。

描述法格式為：{元素|元素的特征},例如{x|x<5,且xeN}

2、常用數(shù)集及其表示方法

（1）自然數(shù)集N（又稱非負(fù)整數(shù)集）：0、1、2、3、……

（2）正整數(shù)集N?或N+：1、2、3、...

（3）整數(shù)集Z：-2、-1、0、1、...

（4）有理數(shù)集Q：包含分?jǐn)?shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等

（5）實數(shù)集R：全體實數(shù)的集合

（6）空集中：不含任何元素的集合

3、元素與集合的關(guān)系：屬于C,不屬于￡

例如：a是集合A的元素，就說a屬于4記作

4、集合與集合的關(guān)系：子集、真子集、相等

（1）子集的概念

如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集（如圖1）,

記作A=8或8衛(wèi)A.

若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,

記作PaQ

（2）真子集的概念

若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個元素不屬于A,那么集合A叫做集合B

的真子集（如圖2）.A是B或B^A-

（圖2）

（3）集合相等：若集合A中的元素與集合B中的元素完全相同則稱集合A等于集合B,記作

A=B.

5、重要結(jié)論（1）傳遞性：若AgB,B三C,則AqC

（2）空中集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

6、含有〃個元素的集合，它的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1

個（即不計空集）;非空的真子集有2"-2個.

7、集合的運算：交集、并集、補集

（1）一般地，由所有屬于A又屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集.

記作AAB（讀作"A交B"即ACB={x|xGA,且x《B}.

（2）一般地，對于給定的兩個集合A,B把它們所有的元素并在一起所組成的集合，叫做A,B

的并集.記作AUB（讀作"A并B"）,即AUB={x|xGA,或xGB}.

（3）若A是全集U的子集，由U中不屬于A的元素構(gòu)成的集合，

叫做A在U中的補集，記作GA=A)

7/

注：討論集合的情況時，不要發(fā)遺忘了A=中的情況。

8、映射觀點下的函數(shù)概念

如果A,B都是非空的數(shù)集,那么A到B的映射f：A-B就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f(x),

其中xSA,yeB.原象的集合A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域，象的集合C(C[B)叫做函數(shù)

y=f(x)的值域.函數(shù)符號y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”，有時簡記作函數(shù)f(x).

2x+1x〉0

9、分段函數(shù)：在定義域的不同部分，有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)。如y=<

-X2-3x<0

10、求函數(shù)的定義域的原則：(解決任何函數(shù)問題，必須要考慮其定義域)

①分式的分母不為零；如：y=」一,貝卜一1h0

x-1

②偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零；如：y=后二,則5-x>0

③對數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1；如：y=loga(尤一2),貝布>0且。工1

④對數(shù)的真數(shù)大于0；如：y=log“(x-2),則％-2>0

⑤指數(shù)為0的底不能為零；如：y=(zn-l)A，則m―1#0

11、函數(shù)的奇偶性(在整個定義域內(nèi)考慮)

(1)奇函數(shù)滿足了(一幻=一/(幻，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；

(2)偶函數(shù)滿足/(—x)=./Xx),偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

注：①具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點對稱；②若奇函數(shù)在原點有定義，則

/(0)=0

③根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶

函數(shù)。

12、函數(shù)的單調(diào)性(在定義域的某個區(qū)間內(nèi)考慮)

當(dāng)當(dāng)</時，都有/(為)</。2)，則/(劃在該區(qū)間上是增函數(shù)，圖象從左到右上升;

當(dāng)當(dāng)時，都有/(辦)>/(/)，則/(幻在該區(qū)間上是減函數(shù)，圖象從左到右下降。

函數(shù)/(X)在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說/(X)在該區(qū)間具有單調(diào)性，該區(qū)間

叫做單調(diào)(增/減)區(qū)間

13、一元二次方程or?+〃x+c=0(a70)

(1)求根公式：$2二一.±一4”，(2)判別式：△=〃-4ac

,2a

(3)△>。時方程有兩個不等實根；A=。時方程有一個實根；AvO時方程無實根。

(4)根與系數(shù)的關(guān)系---韋達定理：玉+￡=1%|,x2=—

aa

14、二次函數(shù)：一般式y(tǒng)=ax?+/?x+c(QWO)；兩根式y(tǒng)=〃(天一七)(元一%)(。工。)

(1)頂點坐標(biāo)為(_2,"￡@)；(2)對稱軸方程為：x=-2；

2a4a2a

(3)當(dāng)。>0時:圖象是開口向上的拋物線，在x二一b二處取得最小值

2。

b—h~

當(dāng)。<0時，圖象是開口向下的拋物線，在x=-3處取得最大值

2a4-a

(4)二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)和判別式△的關(guān)系：

△>0時，有兩個交點；A=0時，有一個交點(即頂點)；A<0時，無交點。

15、函數(shù)的零點

2

使/(x)=0的實數(shù)x0叫做函數(shù)的零點。例如x0=-1是函數(shù)/(x)=x-l的一個零

點。

注：函數(shù)y=f(x)有零點O函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點=方程，(x)=0有實根

16、函數(shù)零點的判定：

如果函數(shù)丫=/(x)在區(qū)間［”,以上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

/(a)?/S)<0。那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a⑹內(nèi)有零點，即存在ce(a,使得/"(c)=0。

17、分?jǐn)?shù)指數(shù)募(.a>Q,m,n&N*,且〃>1)

m_______3

=獷.如而=

(1)tz"81；(2)麗)"=a；

(4)當(dāng)〃為奇數(shù)時，4/=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時，折7=|a

-a,a<0

18、有理指數(shù)嘉的運算性質(zhì)(a>0,r,seQ)

(1)ar-as=ar+s,⑵⑷)'="；(3)(ab)r=arbr

19、指數(shù)函數(shù)y=a*(a〉0且a/1),其中x是自變量，。叫做底數(shù)，定義域是R

20、若。&=N,則8叫做以a為底N的對數(shù)。記作：log“N=〃(a>0,awl,N>0)

其中，。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做對數(shù)的真數(shù)。

注：指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式：log“N=bo/=N(a>0,awl,N>0)

21、對數(shù)的性質(zhì)

(1)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即log〃N中N>0；

(2)1的對數(shù)等于0,即bg“1=0.底數(shù)的對數(shù)等于1,g|Jlog?a=1

22、常用對數(shù)IgN：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記為：log1°N=lgN

自然對數(shù)InN：以e(e=2.71828…)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記為：log,N=InN

23、對數(shù)恒等式：產(chǎn)/=N

24、對數(shù)的運算性質(zhì)(a>0,aWl,M>0,N>0)

M

⑴loga(MN)=log“M+k>g“N；(2)log,—=log?M-log?N;

(N

(3)log“AT=〃log“M(〃eR)(注意公式的逆用)

logN

25、對數(shù)的換底公式