高中數(shù)學(xué)必修4教案

1.1.1任意角

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

理解任意角的概念（包括正角、負(fù)角、零角）與區(qū)間角的概念.

（-）過程與能力目標(biāo)

會建立直角坐標(biāo)系討論任意角，能判斷象限角，會書寫終邊相同角的集合；掌握區(qū)間角

的集合的書寫.

（三）情感與態(tài)度目標(biāo)

1.提高學(xué)生的推理能力;2.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識.

教學(xué)重點(diǎn)

任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書寫.

教學(xué)難點(diǎn)

終邊相同角的集合的表示：區(qū)間角的集合的書寫.

教學(xué)過程

一、引入：

1.回顧角的定義

①角的第一種定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.

②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所

形成的圖形.

二、新課：

1.角的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

②角的名稱：

③角的分類:

「正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)引

O.......6任何旋轉(zhuǎn)開

負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角”或”可以簡化成

a“Na“a圖4-3

⑵零角的終邊與始邊重合，如果a是零角a=0。；

⑶角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角.

⑤練習(xí)：請說出角a、6、Y各是多少度？

2.象限角的概念：

①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊（端點(diǎn)除

外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角.

例1.如圖⑴⑵中的角分別屬于第幾象限角？

例2.在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角.

(1)60°；(2)120°；⑶240°；(4)300°；(5)420°；(6)480°；

答：分別為1、2、3、4、1、2象限角.

3.探究：教材P3面

終邊相同的角的表示：

所有與角a終邊相同的角，連同a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={B|B=a+

k?360°,

kGZ),即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整個(gè)周角的和.

注意：

(1)k￡Z

⑵a是任一角；

⑶終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無限個(gè)，它們

相差

360°的整數(shù)倍；

(4)角a+k-7200與角a終邊相同，但不能表示與角a終邊相同的所有角.

例3.在0。到360。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角.

(1)-120°；(2)640°；(3)-950°12,.

答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角;(3)129°48',第二象限角;

例4.寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360。的角表示).

解：{a|a=90°+n?180°,nGZ}.

例5.寫出終邊在y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式一360°WB<720。的元素B

寫出來.

4.課堂小結(jié)

①角的定義；

②角的分類：

「正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

-零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

I負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

③象限角；

④終邊相同的角的表示法.

5.課后作業(yè)：

①閱讀教材P2-P5;②教材Ps練習(xí)第1-5題；③教材P.9習(xí)題1.1第1、2、3題

思考題：已知a角是第三象限角，則2a,色各是第幾象限角？

2

解：「a角屬于第三象限，

k?360°+180°<a<k?360°+270°(keZ)

因此，2k?360°+360°<2a<2k?360°+540°(kGZ)

即(2k+1)360°<2a<(2k+1)360°+180°(k￡Z)

故2a是第一、二象限或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角.

(y

又k?180°+90°<—<k?180°+135°(keZ).

2

a

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k=2n(nWZ),則n?360°+90°<—<n?360°+135°(nGZ),

2

此時(shí)，區(qū)屬于第二象限角

2

a

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),令k=2n+1(nWZ),則n?360°+270°<—<n?360°+315°(nSZ)，

2

此時(shí)，區(qū)屬于第四象限角

2

因此巴a屬于第二或第四象限角.

2

1.1.2弧度制（-）

教學(xué)目標(biāo)

（四）知識與技能目標(biāo)

理解弧度的意義：了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的可建立起一一對應(yīng)的關(guān)系：熟記特

殊角的弧度數(shù).

（五）過程與能力目標(biāo)

能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，能推導(dǎo)弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式,

并能運(yùn)用公式解決一些實(shí)際問題

（六）情感與態(tài)度目標(biāo)

通過新的度量角的單位制（弧度制）的引進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的精神；通過對弧度制

與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比，讓學(xué)生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下

的簡潔美.

教學(xué)重點(diǎn)

弧度的概念.弧長公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明.

教學(xué)難點(diǎn)

“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)角度制：

初中所學(xué)的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的？

規(guī)定把周角的上作為1度的角，用度做單位來度量角的制度叫做角度制.

360

二、新課：

1.引入：

由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的，角度制的度量是60進(jìn)制的,運(yùn)用起來

不太方便.在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度一弧度制，它是

如何定義呢？

2.定義

我們規(guī)定，長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制

叫做弧度制.在弧度制下，1弧度記做1rad.在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略.

3.思考：

（1）一定大小的圓心角a所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)

嗎？

（2）引導(dǎo)學(xué)生完成P6的探究并歸納：

弧度制的性質(zhì)：

jrr2勿

①半圓所對的圓心角為色=肛②整圓所對的圓心角為十=2五

r

③正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù).④負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù).

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的弧度數(shù)的絕對值|a|=-.

r

4.角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換:

①將角度化為弧度：

71riTT

360°=2萬；180。=萬；1°=---a0.01745ratZ；if^—rad.

180180

②將弧度化為角度:

2〃=360?；/?=180?；\rad=(―)^57.30?57?180；n=()?.

PP

5.常規(guī)寫法：

①用弧度數(shù)表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少n的形式，不必寫成小數(shù).

②弧度與角度不能混用.

6.特殊角的弧度

一

角030456090120135150180270360

度OOOOOOOOOOO

弧7t乃717127345萬3萬

0兀2萬

度~6~4JTT~6T

7.弧長公式

弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積.

例1.把67°30'化成弧度.

3

例2.把一萬rad化成度.

5

例3.計(jì)算：

7T

(l)sin—；(2)tan1.5.

4

例4.將下列各角化成0到2n的角加上2kn(keZ)的形式：

197r

(1)—；(2)-315°.

例5.將下列各角化成2k”+Q(k￡Z,0WaV2兀)的形式，并確定其所在的象限.

“\19乃3LT

(1)—；(2)--.

56

.小19萬,7乃

解n：(1)---=2萬+—,

36

而？王是第三象限的角，\氏是第三象限角.

63

(2)-~0=-6p+—-—巳是第二象限角.

666

例6.利用弧度制證明扇形而只公式S=*其中/是扇形弧長碇圓的半徑

,1,

證法一：?.?圓的面積為成2,.?.圓心角為1「ad的扇形面積為一方?2,又扇形弧長為半徑為

24

R,

扇形的圓心角大小為'rad,.?.扇形面積S=--R2=~IR.

RR22

證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n,則在角度制下的扇形面積公式為S=2旦，又此時(shí)弧長

360

1=處，：.S，.辿R=LIR.

18021802

可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化,而弧度制下的扇形面積公式顯然要

簡潔得多.

扇形面積公式：s=；/R=；|即?2

7.課堂小結(jié)①什么叫1弧度角？②任意角的弧度的定義③“角度制”與“弧度制”的聯(lián)系

與區(qū)別.

8.課后作業(yè)：

①閱讀教材P6-%；

②教材P,練習(xí)第1、2、3、6題；

③教材P10面7、8題及B2、3題.

4T.2.1任意角的三角函數(shù)(三)

教學(xué)目的：

知識目標(biāo)：1.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、定義域與值域、符號、及誘導(dǎo)公式；

2.利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值；

3.利用三角函數(shù)線比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍。

能力目標(biāo)：掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對三角函數(shù)的定義域、

值域有更深的理解。

德育目標(biāo)：學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；

教學(xué)重點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的利用。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.三角函數(shù)的定義

2.誘導(dǎo)公式

sin(2kr+。)=sina(keZ)

cusQkTT+a)=cosa(女eZ)

tan(2^+a)=tana(kGZ)

練習(xí)1.tan600。的值是-------------D

A.--B.—C.-V3D.V3

33

若sin6cos。＞0,貝（

練習(xí)2.-,B

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第一、四象限D(zhuǎn).第二、四象限

結(jié)寸、若cos0>0,且sin2，<0則。的終邊在____「

A.第一象限B.第三象限C.第四象限D(zhuǎn).第二象限

二、講解新課：

當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足+=1時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的

幾何表示一一三角函數(shù)線。

1.有向線段：

坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)。

有向線段：帶有方向的線段。

2.三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。，始邊與X軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)

P(%y)，

過尸作X軸的垂線，垂足為M；過點(diǎn)A(1,O)作單位圓的切線，它與角a的終邊或其反向

當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段OM=x,MP=），，于是有

.yyxx.yMPAT._

sina=—=—=y=MP,cosa=—=—=%=OM,tana=—=---=---=AT

r1r1xOMOA

我們就分別稱有向線段MP,OM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

(1)三條有向線段的位置：正弦線為〃的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線

在x軸上；正切線在過單位圓與工軸正方向的交點(diǎn)的切線上，

三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。

(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指

向垂

足；正切線由切點(diǎn)指向與a的終邊的交點(diǎn)。

(3)三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與x軸或丁軸同向的為正值，與％軸或y軸反

向的

為負(fù)值。

(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。

4.例題分析：

例L作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。

，、兀/、5%，、2笈，、134

(1)一；(2)---；(3)-----；(4)------

3636

解：圖略。

式

例2.若0<a<—,證明sini+cosa>1.

2

例3.比較大?。?/p>

2424

(1)sin—4與sin—4(2)cos—乃與cos一?

3535

24

(3)tan—乃與tan一)

例4.在［0,2捫上滿足sinx^g的x的取值范圍越

)

712萬5萬

-9----D.71

636

例5.利用單位圓寫出符合下列條件的角X的范圍.

(1)sinx<——;(2)cosx>—.

答案：(1)---F2k兀<x<----1-2%萬，ZwZ；(2)----F2Z?r<x<—F2k兀,ZGZ；

6666

三、鞏固與練習(xí)：P17面練習(xí)

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.三角函數(shù)線的定義；

2.會畫任意角的三角函數(shù)線；

3.利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。

五、課后作業(yè)：作業(yè)4

參考資料

例1.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：

.2萬一.4萬2萬一4萬

1°sin-與sin——2°tan——與tan——

3535

解：如圖可知：

(7}

.2〃.442乃4萬

sin—>sin—tan—<tan—

3535

例2.利用單位圓尋找適合下列條件的0。到360。的角

30°<a<90°或210°<a<270°

補(bǔ)充：1.利用余弦線比較cos64,cos285的大小；

TT7T

2.若一<。<一,則比較sin。、cos。、tan。的大??；

42

3.分別根據(jù)下列條件，寫出角。的取值范圍：

（1）cos0<—；（2）tun0>—1；（3）sin0>----.

22

4-121任意角的三角函數(shù)（1）

教學(xué)目的：

知識目標(biāo)：1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

2.已知角a終邊上一點(diǎn)，會求角a的各三角函數(shù)值；

3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。

能力目標(biāo)：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

（2）樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)；

（3）通過對定義域，三角函數(shù)值的符號，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分

析、探究、解決問題的能力。

德育目標(biāo)：（1）使學(xué)生認(rèn)識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與

比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；

（2）學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；

教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各

象限的符號），以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重

點(diǎn)。

教學(xué)難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他

們的集合形式表示出來.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？

在Rt^ABC中，設(shè)A對邊為a,B對邊為b,C對邊為c,銳角A的正弦、余弦、正切依

次為sinA--,cosA--,tanA=—.

ccb

角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對三角函數(shù)重新定義。

二、講解新課：

1.三角函數(shù)定義

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一個(gè)任意角，a終邊上任意一點(diǎn)。(除了原點(diǎn))的坐標(biāo)為(x,y),

它與原點(diǎn)的距離為r(r=J|x『+|y|2+>0),那么

(1)比值￡叫做a的正弦，記作sine,即sine=上；

rr

xx

(2)比值二叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=—；

rr

(3)比值)叫做a的正切，記作tana,即tana=)；

XX

YY

(4)比值一叫做a的余切，記作cotcr,B|Jcota=—；

yy

說明：①a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，a的終邊沒有表明a一定是正角或負(fù)角，以及a

的大小，只表明與a的終邊相同的角所在的位置；

②根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角a,四個(gè)比值不以點(diǎn)P(X,y)在a的終邊上

的位置的改變而改變大??；

TT

③當(dāng)a=E+br(%eZ)時(shí)，a的終邊在y軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x都等

于0，

VX

所以tan。=—無意義；同理當(dāng)cc=ki(k￡Z)時(shí)，cota=—無意義；

%y

④除以上兩種情況外，對于確定的值a,比值上、土、上、土分別是一個(gè)確定的實(shí)

rrxy

數(shù)，

正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為

三角函數(shù)。

函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

71

y=tana{a\a^—+k7T,keZ}R

注意：

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合

(2)a是任意角，射線0P是角a的終邊，a的各三角函數(shù)值(或是否有意義)與。x轉(zhuǎn)了

幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到0P的位置無關(guān).

(3)sina是個(gè)整體符號，不能認(rèn)為是“sin”與“a”的積?其余五個(gè)符號也是這樣.

(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別：

銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似(直角)三角形

的性質(zhì)，“r”同為正值.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角

函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定

義.實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識和研

究過程.

(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角

坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們

熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.

3.例題分析

例1.求下列各角的四個(gè)三角函數(shù)值：(通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值)

,、3乃

(1)0;(2)萬；(3)—?

2

解：(1)因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，x=r,y=0,所以

sinO=O,cosO=l,tan0=0,cotO不存在。

(2)因?yàn)楫?dāng)a=;r時(shí)，x=-r,y=0,所以

sin;r=O,cos^=-l,tan7r=0,cot乃不存在,

37r

(3)因?yàn)楫?dāng)a=——時(shí)，x=0,y=-r,所以

2

3萬八

sin—=-1,cos—=0,tan—不存在,cot—=0,

2222

例2.己知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,-3),求a的四個(gè)函數(shù)值。

解：因?yàn)閤=2,y=—3,所以廠=j2?+(_3)2=岳,于是

sina=2.=3713x_2_2V13

rV1313r一岳一13

y3x2

tana=—=——；cota=—=——.

x2y3

例3.已知角a的終邊過點(diǎn)m,2a)(〃w0),求a的四個(gè)三角函數(shù)值。

解：因?yàn)檫^點(diǎn)（。,2。）（。工0）,所以r=石|。|,x=a,y=2a

文、mH*.y2。2a2石.

當(dāng)a>（X^],sina=—=—f=——=—^=-----cosa=-

r。51aly/5a5,

tana=2;cot（2=一；

2

&nuf?y2a_2a_26

當(dāng)a<O0j，sincc——=-產(chǎn)---=——-------

rV51?|-yjSa5

xa45a

cos?=—=—1=-=-------tana=2;cota=一；.

r-\!5a5

4.三角函數(shù)的符號

由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，我們可以得知:

①正弦值上對于第一、二象限為正(y〉0,r>0),對于第三、四象限為負(fù)(y<0,>0)；

X

②余弦值士對于第一、四象限為正(x>0,r>0),對于第二、三象限為負(fù)(x<0/>0)；

r

③正切值,對于第一、三象限為正(x,y同號)，對于第二、四象限為負(fù)(x,y異號).

X

說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。

10）

練習(xí)：確定下列三角函數(shù)值的符號：

711\jr

(1)cos250；(2)sin(--)；(3)tan(-672)；(4)tan-^-.

例4.求證：若sin。<0且tana>0,則角。是第三象限角，反之也成立。

5.誘導(dǎo)公式

由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：

sin(a+2《")=sina,

cos(a+2k7r)=cosa,其中攵cZ.

tan(cr+2ATF)=tana,

這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0?2n間角的三角函數(shù)值問題.

97r1

例5.求下列三角函數(shù)的值：(1)cos—，(2)tan(-------),

46

例6.求函數(shù),y=JI——cosxl1+產(chǎn)tan二x的值域

cosx|tanx|

解：定義域：cosxwO;?x的終邊不在x軸上又,.,tanxM...x的終邊不在y軸上

???當(dāng)x是第I象限角時(shí)，x>0,y>0cosx=|cosx|tanx=|tanx|；.y=2

..............II.................,x<0,y>0|cosx|=-cosx|tanx|-tanxy=-2

................HIIV............,x>u,y<uIcosx|=-cosx|tanx|=tanxy=0

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.任意角的三角函數(shù)的定義；2.三角函數(shù)的定義域、值域；3.三角函數(shù)的符號及誘

導(dǎo)公式。

五、鞏固與練習(xí)

1、教材P15面練習(xí);

2、作業(yè)P20面習(xí)題1.2A組第1、2、3(1)(2)(3)題及P21面第9題的(1)、(3)

題。

4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

教學(xué)目的：

知識目標(biāo)：1.能根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它們之間的聯(lián)

系；

2.熟練掌握已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值的方法。

能力目標(biāo)：牢固掌握同角三角函數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式，并能靈活運(yùn)用于解題，提高學(xué)生分

析、解決三角的思維能力；

教學(xué)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)值的符號的確定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.任意角的三角函數(shù)定義：

設(shè)角a是一個(gè)任意角，e終邊上任意一點(diǎn)尸(x,y),它與原點(diǎn)的距離為

11)

22

r(r=+|=y/x+y>0),那么：sina=—>cosa=—,tana=—,

2.當(dāng)角a分別在不同的象限時(shí)，Sina、cosa、tga的符號分別是怎樣的？

3

3.背景：如果sinA=三，A為第一象限的角，如何求角A的其它三角函數(shù)值；

5

4.問題：由于a的三角函數(shù)都是由x、y、r表示的，則角a的三個(gè)三角函數(shù)之間有什么關(guān)

系？

二、講解新課：

(-)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

(板書課題：同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系)

1.由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系:

eiriry

(1)商數(shù)關(guān)系：tana--------(2)平方關(guān)系：sin2a+con2a-1

cona

說明：

①注意“同角”，至于角的形式無關(guān)重要，如sir?4a+cos24a=1等；

②注意這些關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，如

k兀

tana-cota=l(aw——,keZ)；

2

③對這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用(正用、反用、變形用)，如：

r——.2sina

cosa=±yjl-sin~a，sin2~a=l-cos-a,cosa=------等。

tana

2.例題分析：

一、求值問題

12

例1.(1)已知sina=—，并且。是第二象限角，求cosa,tana,cota.

13

4

(2)已知cosa=一《，求sina,tana.

解：(l)?.?sin2e+cos2g=l,cos2a=1-sin2a=1-(—)2=(—)2

又「a是第二象限角，，cosavO,即有cosa=-----,從而

13

sina1215

tana=------=-----cota=------=-----

cosa5,tanor12

(2)Vsin26Z+cos2?=1sin2a=1-cos2a=l-

4

乂,**coscc——v0,???a在第二或三象限角。

5

3sina3

當(dāng)a在第二象限時(shí)，即有sina>0,從而sina=2,tana=叫上二一二；

5cosa4

3sinct3

當(dāng)a在第四象限時(shí)，即有sina<0,從而sina=——，tana=------=二.

5cosa4

總結(jié)：

1.已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值

中，確定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時(shí)，由于角的終邊位置的不確定，因此解

的情況不止一種。

{-)

2.解題時(shí)產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方

關(guān)系開平方時(shí)，漏掉了負(fù)的平方根

例2.已知tana為非零實(shí)數(shù)，用tan。表示sina,cosa.

...221sina

解：?sma+cos-a=l,tana=----

cosa

/.(cosez-tana)2+cos2a=cos2a(i+tan2?)=l,艮|J有cos2a=---―

I+tana

又;tana為非零實(shí)數(shù)，為象限角。

Vl+tan2a

當(dāng)a在第一、四象限時(shí)，即有cosa>0,從而cosa=

l+tan2a

.tanajl+tan，a

sina-tana?cosa=----------

l+tana

Vl+tan2a

當(dāng)a在第二、三象限時(shí)，即有cosavO,從而cos。

l+tan2cr

tanorvl+tan2a

sina-tana?cosa=一

1+tan2a

“ic「k?八_*xsina-4cosa

例3、已知sina=2cosa,求---------------

5sina+2cosa02sin?a+2sinacosa-cos2a.

解：sina=2cosa/.tana=2

,-s-i-n--a---4--c-o-s--a-=--t-a-n-a----4-=—-2=___I

5sina+2cosa5tana+2126

強(qiáng)調(diào)（指出）技巧：I。分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式

注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、分母同除以cosa,將分子、

分母轉(zhuǎn)化為tana的代數(shù)式；

2°“化I法”

可利用平方關(guān)系sii？a+cos2a=1,將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，再利用商數(shù)關(guān)

系化歸為tana的分式求值；

小結(jié)：化簡三角函數(shù)式，化簡的一般要求是：

（1）盡量使函數(shù)種類最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低；

（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；

（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；

（4）能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來，其次要注意在三角函數(shù)式變形時(shí)，常將式子中的“1”作巧

妙的變形，

二、化簡

練習(xí)1.化簡Jl-sin2440.

解：原式=4-60+80）=次—sin280.

練習(xí)2.化簡Jp嗯+乒”

V1+cos3V1-cos02

三、證明恒等式

13)

cosx_l+sinx

例4.求證:

1-sinxcosx

證法一：由題義知cosxwO,所以1+sinxwO,l-sinxwO.

._cosx(l4-sinx)_cosx(l+sinx)_1+sinx

(1-sinx)(l+sinx)cosxcosx

???原式成立.

證法二：由題義知cosxwO,所以1+sinxwO,l-sinxwO.

又V(1-sinx)(l+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx,

.cosx1+sinx

:.---；—=-------.

1-sinxcosx

證法三：由題義知cosxwO,所以l+sinx工0,1—sinxwO.

cosx1+sinxcosx-cosx-(1+sinx)(l-sinx)cos2x-l+sin2x.

----------------------=----------------------------------------=---------------------=(),

1-sinxcosx(1-sinx)cosx(1-sinx)cosx

.cosx1+sinx

..---；—=--------.

1-sinxcosx

總結(jié)：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時(shí)常

用的方法有：(D從一邊開始，證明它等于另一邊；

(2)證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子；

(3)證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立。

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及成立的條件；

2.根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值；

五、課后作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)第五課時(shí)

參考時(shí)_______________

化簡Jl—2sin40cos40.

解：原式=Jsin/O+coT40-2sin40cos40

=^/(sin40-cos40)2=|cos40-sin40|=cos40-sin40.

思考1.己知sina+cosa=g(0<0<K),求tan。及sin'B-cos?8的值。

]2/7C

解：1。由sinacosa=-----,0<0<n,得：cos0<0/.0e(—,K)

252

0497

由(sina-cosa)~=一,得：sin0-cos0=—聯(lián)立：

255

.c4

sin0+cosO=-sine=一

2§3=>tan04

sin0-cos9=—cosO=——3

55

2°sin3e-cos30=(1)3-(-1)3

2、已知sina=^~,cosa=—~a是第四象限角，求tana的值。

m+5，n+5

14

2/4—2機(jī)、2/〃?一3、2.

解：Vsm-2a+cos"a=1(--------/+(-------)-=1

771+5m+5

化簡，整理得：m(m-8)=0mx-0,m2=8

43

當(dāng)m=0時(shí)，sina=《，cosa=—g,(與a是第四象限角不合:

12512

當(dāng)m=8時(shí)，sina=-----,cosa=一，tana=-----

13135

1.3誘導(dǎo)公式(一)

教學(xué)目標(biāo)

(-)知識與技能目標(biāo)

⑴理解正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

⑵培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的能力.

(-)過程與能力目標(biāo)

(1)能運(yùn)用公式一、二、三的推導(dǎo)公式四、五.

(2)掌握誘導(dǎo)公式并運(yùn)用之進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明.

(三)情感與態(tài)度目標(biāo)

通過公式四、五的探究，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性與科學(xué)性等思維品質(zhì)以及孜孜以求的

探索精神等良好的個(gè)性品質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)

掌握;秀導(dǎo)公式四、五的推導(dǎo)，能觀察分析公式的特點(diǎn)，明確公式用途，熟練駕馭公式.

教學(xué)難點(diǎn)

運(yùn)用誘導(dǎo)公式對三角函數(shù)式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)：

誘導(dǎo)公式(一)

sin(360%+a)=sinacos(360%+a)=cosatan(360%+a)=tana

誘導(dǎo)公式(二)

sin(180°+a)=-sinacos(180°+a)=—cosatan(180°+<z)=tana;

誘導(dǎo)公式(三)

sin(-c)=—sinacos(-ar)=cosartan(-a)=-tana

誘導(dǎo)公式(四)

sin(180°-ar)=sin?cos(180°-a)--cosartan(180?！猘)=-tana

對于五組誘導(dǎo)公式的理解：

①公式中的夕可以是任意角；

②這四組誘導(dǎo)公式可以概括為：

lk7i+a{keZ),-a,%+a,?-a,的三角函數(shù)值，等于它的同名

三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號。

總結(jié)為一句話：函數(shù)名不變，符號看象限

練習(xí)1：P27面作業(yè)1、2、3、4。

2：P25面的例2：化簡

二、新課講授：

15)

1、誘導(dǎo)公式（五）sing-a)=cosacosa)=sina

7T、.

2、誘導(dǎo)公式（六）sin(]+a)=cos6ZcosZ,+a)=-sina

總結(jié)為一句話：函數(shù)正變余，符號看象限

例1.將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)：

(l)tan—,(2)sin^^,(3)cos519°,(4)sin(-—^).

5363

練習(xí)3：求下列函數(shù)值：

⑴cos也，(2)sin(-也)，(3)sin670。，(4)tan580°).

64

例2.證明：(1)sin(耳一。)=-cosa

(2)cosG^-?)=-sina

2

sin(2)-a)cos3+a)cos《+cz)cos(—-a)

例3.化簡：--------------------------工-----------------

9兀

cos3-a)sin(3%-a)sin(-a-^)sin(—+<z)

例4.已知tan(〃+a)=3,

求2cos(k-a)-3sin(^+a)的值

4cos(-a)+sin(2〃-a)

解：tan(〃-ha)=3,/.tana=3.

-2cosa+3sina-2+3tana-2+3x3_

原式=----------------=------------=----------=7.

4cosa-sin<24-tana4-3

小結(jié)：

①三角函數(shù)的簡化過程圖:

在看布佳的Q一*；、二尸.體音于存；的女,或9,n°~^fin°IH存I—no~QC。同佳i香志

八'!

②三角函數(shù)的簡化過程口訣：

負(fù)化正，正化小，化到銳角就行了.

練習(xí)4：教材P28頁7.

三.課堂小結(jié)

①熟記誘導(dǎo)公式五、六；

②公式一至四記憶口訣：函數(shù)名不變，正負(fù)看象限；

③運(yùn)用誘導(dǎo)公式可以將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).

四.課后作業(yè)：

①閱讀教材；

②《習(xí)案》作業(yè)七.

1.3誘導(dǎo)公式（二）

教學(xué)目標(biāo)

16)

(-)知識與技能目標(biāo)

⑴理解正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

⑵培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的能力.

(-)過程與能力目標(biāo)

(1)能運(yùn)用公式一、二、三的推導(dǎo)公式四、五.

(2)掌握誘導(dǎo)公式并運(yùn)用之進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明.

(三)情感與態(tài)度目標(biāo)

通過公式四、五的探究，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性與科學(xué)性等思維品質(zhì)以及孜孜以求的

探索精神等良好的個(gè)性品質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)

掌握誘導(dǎo)公式四、五的推導(dǎo)，能觀察分析公式的特點(diǎn)，明確公式用途，熟練駕馭公式.

教學(xué)難點(diǎn)

運(yùn)而誘導(dǎo)公式對三角函數(shù)式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)：

誘導(dǎo)公式(一)

sin(360%+?)=sin?cos(360%+?)=cosatan(360%+?)=tana

誘導(dǎo)公式(二)

sin(180°+?)=—sinotcos(180°+?)=-coscutan(180°+?)=tan?

誘導(dǎo)公式(三)

sin(-a)=-sin<zcos(-a)