人教版 九年級上數學 第23章-24章同步測試題含答案

人教版九年級上數學第23章測試題含答案

23.1圖形的旋轉

一、選擇題

1.如圖，將△OAB繞點0逆時針旋轉得到4045,使點8恰好落在邊AB上.已

知45=4cm,（9B=1cm,ZB'=60°,那么48的長是（）

個

A.4cmB.3cm

C?2小cmD.（4—、/5）cm

2.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,將△ABC繞點A逆時針旋轉,

使點。落在線段AB上的點E處，點8落在點。處，則&。兩點間的距離為（）

D

C

A.V10B.2加

C.3D.2小

3.2018?綿陽在平面直角坐標系中，以原點為旋轉中心，把點43,4）逆時針旋

轉90。，得到點8,則點8的坐標為（）

A.（4,-3）B.（-4,3）

C.（一3,4）D.（一3,—4）

4.如圖，將線段AB先向右平移5個單位長度，再將所得線段繞原點順時針旋轉

90°,得到線段AE,則點3的對應點9的坐標是（）

A.（-4,1）（T，2）

C.（4,-1）（1，-2）

5.在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1,木）,以原點為中心，將點A順時針

旋轉30。得到點4,則點4的坐標為（）

A.（小，1）B.（小，-1）C.（2,1）D.（0,2）

6.如圖，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，ZAO

B=NB=30°,OA=2,將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，點B的對應點B，

的坐標是（）

H/B

Ax

A.（-1,2+?。〣.（一小，3）

C.（一小，2+?。〥.（-3,?。?/p>

7.如圖，RSOCB的斜邊在y軸上，OC=?含30。角的頂點與原點重合，直

角頂點C在第二象限，將RtAOCB繞原點順時針旋轉120。后得到△OCE,則

點B的對應點方的坐標是（）

A.（小，-1）B.（1,一小）

C.（2,0）D.胞0）

8.如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把^ADE繞點A順時針旋轉90°

到的位置，若四邊形AECF的面積為20,DE=2,則AE的長為（）

B.2小

D.2#

9.如圖，將△ABC繞點8逆時針旋轉a,得到△EB。，若點A恰好在研>的延長

線上，則NC4。的度數為（）

A.90°-a180°-aD.2a

10.如圖，在RtXABC中，ZACB=90°,將^ABC繞頂點C逆時針旋轉得到

△A'B'C,M是BC的中點，P是A，B，的中點，連接PM.若BC=2,NA=30。，

則線段PM的最大值是（）

二、填空題

11.在平面直角坐標系中，將點44,2）繞原點按逆時針方向旋轉90。后，其對應

點的坐標為.

12.一副三角尺如圖放置，將三角尺ADE繞點A逆時針旋轉a（0°<a<90°）,使

得三角尺ADE的一邊所在的直線與BC垂直，則a的度數為.

13.把二次函數y=(x—1)2+2的圖象繞原點旋轉180。后得到的圖象的解析式為

14.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°,連接AC.若

AC=6,則四邊形ABCD的面積為.

15.2018?陜西如圖，點O是平行四邊形ABCD的對稱中心，AD>AB,E,F

是AB邊上的點，且EF=^AB；G,H是BC邊上的點，且GH=^BC.若Si,S2

分別表示^EOF和^GOH的面積，則Si與S2之間的等量關系是患=.

三、解答題

16.如圖，將一個鈍角三角形ABC(其中/ABC=120。)繞點B順時針旋轉得到

△AiBG,使得點C落在AB的延長線上的點G處，連接A41.

⑴寫出旋轉角的度數；

(2)求證：ZAiAC=ZCi.

Ay

AG

B

17.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直

角坐標系內，△ABC的三個頂點坐標分別為4),B(l,1),C(3,1).

(1)畫出△ABC關于x軸對稱的△AiBCi；

(2)畫出△ABC繞點。逆時針旋轉90。后得到的4A282c2；

(3)在(2)的條件下，求點A所經過的路徑長(結果保留K).

18.如圖，在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,D,E是BC邊上的點，WAABD

繞點A逆時針旋轉得到^ACO.

(1)求的度數；

⑵當ND4E=45。時，求證：DE=D'E.

19.如圖，等腰直角三角形OEE的直角頂點。為正方形A8CO的中心，點C,D

分別在OE和。尸上，現(xiàn)將△。所繞點。逆時針旋轉角a(0°<a<90°),連接AF,

。風如圖②).

(1)在圖②中，ZAOF=；(用含a的式子表示)

⑵猜想圖②中AF與OE的數量關系，并證明你的結論.

20.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ZADC=60°,NABC=30。，AD=CD.

求證：BD2=AB2+BC2.

人教版九年級數學23.1圖形的旋轉針對訓

練-答案

一'選擇題

1.【答案】B［解析］?.?旋轉前、后的兩個圖形是全等圖形，AB=4cm,OB=lcm,

.,.A,B,=AB=4cm,OB,=OB=1cm.

在ZkOBB中,"：ZB'=6Q°,OB'=OB,

...△OBB是等邊三角形，/.BB,=OB=1cm,

A'B=A'B'—BB'=4—1=3(cm).

2.【答案】A［解析］?.?在RtaABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,/.AB=5.

?.?將△ABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點

D處，

/.AE=4,DE=3,.*.BE=1.

在RtABED中，BD=A/BE2+DE2=?.故選A.

3.【答案】B［解析］如圖所示，建立平面直角坐標系，點B的坐標為(一4,3).

4.【答案】D

5.【答案】A［解析］如圖，過點A作AE_Ly軸于點E,過點A，作AT，x軸于

點F,

/.ZAEO=ZATO=90o.

???點A的坐標為（1,小），，AE=1,0E=V3,

，0A=2,ZAOE=30°,由旋轉可知NAOA，=30。，0Af=0A=2,/.ZAZOF

=90。-30。-30。=30。，.*.A,F=|oA,=l,0F=小，1）.

故選A.

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D［解析］由旋轉可得,S正方形ABCD=S四邊形AECF=20,即AD--20,

AD=2小.

VDE=2,.?.在RtZiADE中，AE=NAD2+DE2=2誣故選D.

9.【答案】C［解析］由題意可得NCBD=a,ZC=ZEDB.

VZEDB+ZADB=180°,

.,.ZC+ZADB=180°.

由四邊形的內角和定理，得NCAD+NCBD=180。.

，/CAD=180°—NCBD=1800-a.故選C.

10.【答案】B［解析］連接PC.

在RtAABC中，?；ZA=30°,BC=2,

，AB=4.

根據旋轉的性質可知，NA，CB，=90。，A,B,=AB=4.

?.?P是AB的中點，，PC=；AB=2.

TM是BC的中點，.,.CM=|BC=1.

又〈PMSPC+CM,

即PM<3,

；.PM的最大值為3(此時點P,C,M共線).

故選B.

二、填空題

11.【答案】(一2,4)

12.【答案】15?；?0。［解析］分情況討論：

①若DELBC,設此時直線AD與BC交于點F,則NBFA=9()o—45o=45。，

二/BAD=180。-60。-45°=75°,.*.a=90o-ZBAD=15°；

②若ADJ_BC,則NBAD=30°,.，.a=90°-ZBAD=60°.

故答案為15。或60°.

13.【答案】y=-x2-2x-3［解析］旋轉前二次項的系數a=l,拋物線的頂點坐

標是(1,2),旋轉后二次項的系數a=-l,拋物線的頂點坐標是(一1,—2),I.

新拋物線的解析式為y=—(x+l)2—2,即y=-x2—2x—3.

14.【答案】18［解析］如圖.VZBAD=ZBCD=90°,/.ZB+ZADC=180°.

又?.?AB=AD,.?.將△ABC繞點A逆時針旋轉90。后點B與點D重合，點C的

對應點E落在CD的延長線上，I.AE=AC=6,NCAE=90°，,S四邊形ABCD=SAACE

=；ACAE=gx6x6=18.

3［解析廣/52_GH_\

15.【答案】5

5ABOCBC3

，Si=]§△AO8,S2=~^S^BOC.

???點O是口ABC。的對稱中心,

?S]3

==：

??SAAOB=SABOC~^S平行四邊形ABCO,??^2,

三、解答題

16.【答案】

解：(1)旋轉角的度數為60。.

(2)證明：由旋轉的性質知NABC=NAiBCi=120。，ZC=ZCi,AB=AiB」.?點

A,B,A在同一直線上,ZABCi=180°,Z.ZABAi=ZCBCi=60°,AZ

AiBC=60°,

VAB=AiB,.?.△ABAi是等邊三角形，

.,.ZAAiB=ZAiBC=60°,

/.AAi/ZBC,.,.ZAiAC=ZC.

又Y/CnNCi,.*.ZAIAC=ZCI.

17.【答案】

解：⑴如圖.

(2)如圖.

(3)如圖，:AO=A2O=。42+12=行,NAOA2=90。，.?.點A所經過的路徑長

=1x27T\/n="^7l.

18.【答案】

解：(1)..?將△ABD繞點A逆時針旋轉，得到AACD，,

.,.ZDADZ=ZBAC,

VZBAC=90°,.,.ZDAD,=90°.

(2)證明：；AABD繞點A逆時針旋轉得到^ACD,

AD=AD\NDAD，=NBAC=90。.

■:NDAE=45。，

ZD,AE=ZDAD'—ZDAE=90°—45°=45°,

/.ZD,AE=ZDAE.

(AE=AE,

在^AED與^AED，中，｛ZDAE=ZD,AE,

IAD=AD,,

AAED^AAEDXSAS),

/.DE=D,E.

19.【答案】

解：(1)：Z\OEF繞點O逆時針旋轉角a,

/.ZDOF=ZCOE=a.

?.?四邊形ABCD為正方形，

.,.ZAOD=90°,

/.ZAOF=90o-a.

故答案為90°-a.

(2)猜想：AF=DE.

證明：???四邊形ABCD為正方形，

AZAOD=ZCOD=90°,OA=OD.

VZDOF=ZCOE=a,

/.ZAOF=ZDOE.

VAOEF為等腰直角三角形，

/.OF=OE.

在^AOF和^DOE中，

[OA=OD,

<ZAOF=ZDOE,

l0F=0E,

AAOF^ADOE（SAS）,

，AF=DE.

20.【答案】

證明：如圖，將△ADB繞點D順時針旋轉60。，得到4CDE,連接BE,

則NADB=NCDE,ZA=ZDCE,AB=CE,BD=DE.

又?.?NADC=60°,.,.ZBDE=60°,

.?.△DBE是等邊三角形，

，BD=BE.

又ZECB=360°-ZBCD-ZDCE=360°—NBCD—NA=360°一(360°-Z

ADC-ZABC)=90°,

.'.△ECB是直角三角形，

/.BE2=CE2+BC2,B|jBD2=AB2+BC2.

23.2中心對稱

一、選擇題

1.下面圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

C*用

2.如圖，AB//CD//EF,AF//ED//BC,若畫一條直線將這個圖開2分成面積相

等的兩個部分，則符合要求的直線可以畫（）

A.1條B.2條C.3條D.無數條

3.如圖，六邊形A8CDEF的內角都相等，z_DAB=6ff,AB=DE,則下列結論

①AB//DE;（2）EF//AD//BC;③AF=C。；④四邊開2AC。b是平彳亍四邊形；⑤

六邊形ABCDEF既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.

A.2B.3C.4D.5

4、下列命題中真命題是（）

A、兩個等腰三角形一定全等

B、正多邊形的每一個內角的度數隨邊數增多而減少

C、菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

D、兩直線平行，同旁內角相等

5.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

6.下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（)

AB.

7、下列圖形中是軸對稱而不是中心對稱圖形的是（）

A、平行四邊形B、線段

C、角D、正方形

8.若點A關于原點對稱點的坐標為（a,b）,則點A的坐標是（）

A.（a,b）-b}C.（-a,b}D.fa,-b}

9、X‘3'C’關于點o對稱，下列結論不正確的是（）.

A、AO=X'0

B、AB〃A'B'

C、CO=BO

D、NBAC=NB'A'C

10、等邊三角形與它本身重合，需繞著它的三邊中線的交點旋轉至少（）.

A、60°B、180°C、360°D、120°

11、關于成中心對稱的兩個圖形的性質，下列說法正確的是（）

A.連接對應點的線段都經過對稱中心，并且被對稱中心平分

B.成中心對稱的兩個圖形的對應線段不一定相等

C.對應點的連線不一定都經過對稱中心

D.以上說法都不對

12、如圖是一個以。為對稱中心的中心對稱圖形，若ZA=3O。，ZC=9O。，AC=1,則AB的

長為（）

A.4

2V3

c.—

二、填空題

13、如圖，在平面直角坐標系中，^ABC繞旋轉中心順時針旋轉90。后得到△A'B'C',則其

14.點A(-6,m)與點A，(n,3)關于原點中心對稱，則m+n的值是__.

15.在平面直角坐標系中，點(-3,2)關于原點對稱的點的坐標是______.

16、關于中心對稱的兩個圖形，對稱點的連線經過________并被平分.

三、解答題

18.如圖，有四張背面完全相同的卡片4B,C,。，小偉將這四張卡片背面朝上

洗勻后摸出一張，放回洗勻后再摸一張.

(1)用樹狀圖(或列表法)表示兩次摸出卡片所有可能出現(xiàn)的結果(卡片可用

A,B,C,。表示)；

(2)求摸出兩張卡片所表示的幾何圖形是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的概

率.

ABCD

口□△O

平行四正方形正三角形園

邂

19、請你把下面這個圖形補畫成中心對稱圖形，并且用點0表示對稱中心(最少畫三個).

20.在平面直角坐標系中，ZXABC三個頂點的坐標分別是A(-3,1),8(-1,4),

C(0,l).

(1)將△ABC繞點。旋轉180。，請畫出旋轉后對應的AAiBiC；

(2)將aAiBiC沿著某個方向平移一定的距離后得到△&4C2,已知點A的對應

點4的坐標為(3,-1),請畫出平移后的AA282G;

(3)若△ABC與△4&G關于某一點中心對稱，則對稱中心的坐標為.

21、已知點A的坐標為(6，0),把點A繞著坐標原點順時針旋轉135。到點

B,求點B的坐標.

22.如圖所示，^ABC中，M、N是邊BC的三等分點，BE是AC邊上的中線，連

接AM、AN,分別交BE于F、G,求BF：FG：CE的值.

23、如圖，在中，/。必=9伊，OA=OB,將AQ"繞點。沿逆時

針方向旋轉90。得到A°4星,連結以匕，求證：四邊形°如圈是平行四邊形.

答案

1.D

2.D

3.D

4、C

5.D

6.C

7、C

8.B

9、C

10、D

11、A

12、D

13、(1,-1)

14.3

15.(3,-2)

16、對稱中心；對稱中心

三、解答題

17、如圖所示,

c

A'

18.(1)畫樹狀圖得:

第一次ABcD

第）A^B^D/TV.

ABCDABCDABCD

則共有16種等可能的結果;

(2)■.,是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形情況數C、C,

二是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的概率=2.

19、

20.（1）ZkAiBiC］如圖所示；

（2）AAZB2c2,如圖所示;

（3）VA（-3,1）,8（-1,4）,C（0,l）,A（3,-1）,B2（l,-4）,C2（0,-l）

...△ABC與2c2關于原點對，對稱中心坐標為（0,0）,

21、解：把A(淄，0)繞坐標原點順時針旋轉135。到點B,則點B在第三

象限且與y軸夾角為45。，所以點B的坐標為(-1,-1).

22.解：如答圖所示.

作已知圖形的中心對稱圖形，以E為對稱中心.令BF=a,FG=b,GE=c.

因為M'C〃AM,N'C〃AN所以a：(2b+2c)=BM：MC=1：2

S3

所以a=b+c,而(a+b)：2c=BN：NC=2：1所以：a+b=4c,所以a=—c,b=—c.

22

所以BF：FG：GE=5：3：2.

23、證明：：在&AQS中，NCU8=90°,OA=OBf：.ZJ05=NB=45°,

結合圖形旋轉的性質可知：0A=.4B=AxBlf乙4。4=90’,

s=s

=ABOA=45=Z5=45...AAOBX+=180

‘4星,...四邊形0蟲1及是平行四邊形.

人教版九年級數學上冊24章測試題含答案

24.1圓的有關性質

一、選擇題

1.M,N是。0上的兩點，己知0M=3cm,那么一定有（）

A.MN>6cmB.MN=6cm

C.0cm<MN<6cmD.0cm<MN<6cm

2.如圖，四邊形ABCD內接于GD,F是而上一點，且笳=R,連接CF并延長交AD的延長線

于點E,連接AC,若ZABC=1O5°,/BAC=25°,則ZE的度數為()

A.45°B.50°C.55°D.60°

3.如圖，A5是。。的直徑，弦CO_L48于點E,則下列結論正確的是（）

A.OE=BEB.BC=BD

C.△8。。是等邊三角形D.四邊形ODBC是菱形

4.如圖，4?是。。的直徑,CO是。。的弦，NABD=59°,則NC等于（)

A.29°B.31°C.59°D.62°

5.如圖，在。0中，已知/0AB=22.5°,則/C的度數為（)

A.135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°

6.如圖，直線以直線11上的點A為圓心、適當長為半徑畫弧，分別交直線11,

12于點B,C,連接AC,BC.若/ABC=54°,則/I等于（）

A.36°B.54°C.72°D.73°

7.如圖，是。。的半徑，8為OA上一點（不與點。，A重合），過點8作04

的垂線交。。于點C.以08,為邊作矩形08CD,連接BD若80=10,BC=

8,則A3的長為（）

8.如圖，以。為圓心的兩個同心圓中，小圓的弦A3的延長線交大圓于點C若

AB=4,BC=\,則下列整數與圓環(huán)面積最接近的是（）

9.如圖，已知09的半徑為5,弦修所對的圓心角分別是/COD,若〃0B與"0D

互補，弦切=6,則弦的長為（）

10.如圖，在△ABC中，/ACB=90°,NA=40。，以點C為圓心，CB的長為半徑的圓交AB

于點D,連接CD,則/ACD的度數為（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

二、填空題

11.2019?隨州如圖，點A,B,C在。0上，點C在施上.若N0BA=50°,則NC的度數為

12.如圖，圓內接四邊形ABCD中兩組對邊的延長線分別相交于點E,F,且NA=55。，ZE

13.如圖，在。0的內接五邊形ABCDE中，ZCAD=35°,則/B+/E=

14.如圖，點A,B,C都在。0上，0C10B,點A在R上，且OA=AB,貝lJ/ABC=

15.在RtaABC中，/C=90。，BC=3,AC=4,點P在以點C為圓心，5為半徑的圓上，連

接PA,PB.若PB=4,則PA的長為.

三、解答題

16.如圖，已知。。上依次有A,B,C,D四個點，AD=BC,連接AB,AD,BD,延長AB到

點E,使BE=AB,連接EC,F是EC的中點，連接BF.求證：BF=3D.

?o

17.如圖，在。0中，B是。0上的一點，ZABC=120°,弦AC=2，§,弦BM平分NABC交

AC于點D連接MA,MC.

(1)求。。的半徑；

(2)求證:AB+BC=BM.

18.如圖為一拱形公路橋，圓弧形橋拱的水面跨度AB=80米，橋拱到水面的最大高度為20

米.

(1)求橋拱的半徑；

(2)現(xiàn)有一艘寬60米，船艙頂部為長方形并高出水面9米的輪船要經過這里，這艘輪船能順

利通過這座拱橋嗎？請說明理由.

AB

19.如圖，ZXABC和aABD都是直角三角形，且/C=ND=90°.求證：A,B,C,D四點在

同一個圓上.

D

C

AR

20.如圖，點E是△ABC的內心，線段AE的延長線交8C于點F(NAFCW90。)，

交△ABC的外接圓于點D

(1)求點/與^ABC的內切圓。E的位置關系；

(2)求證：ED=BD；

(3)若N84C=90。，△ABC的外接圓的直徑是6,求3。的長；

(4)8,C,E三點可以確定一個圓嗎？若可以，則它們確定的圓的圓心和半徑分

別是什么？若不可以，請說明理由.

人教版九年級數學24.1圓的有關性質針對

訓練-答案

一、選擇題

1.【答案】D［解析］；0M=3cm,二。。的半徑為3cm,二。。的直徑為6cm,

即。0中最長的弦的長度為6cm,

；.MN最長為6cm>0cm<MN^6cm.

2.【答案】B【解析】???四邊形四⑶是圓內接四邊形，乙4a'=105。，.?./4%=75°,：

DF=BC,胡C=〃g25°,；.NE=4ADC-HCF=500.

3.【答案】B［解析］A3是。。的直徑，弦于點E,由垂徑定理可以得

到CE=DE,BC=BD,忿=。.但并不一定能得到OE=BE,OC=BC,從而A,

C,D選項都是錯誤的.

故選B.

4.【答案】B

5.【答案】D［解析］；OA=OB,；

ZA0B=180°-22.50-22.5°=135°

.??ZC=180°-1xi35o=112.5°.

6.【答案】c

7.【答案】C

8.【答案】C［解析］如圖，連接OA,0C,過點。作OO_LAB,垂足為￡>,則

AD=BD=2,

?,.￡>C=2+1=3.5圜環(huán)=n0C2~n。價=n(OD2+DC2-OZ)2-/1Z)2)=n(32-22)

=5Ji215.7.

@c

9.【答案】B［解析］如圖，延長A。交。。于點E,連接BE,

D

在

則ZAOB+ZBOE=180°.

又,?ZAOB+ZCOD=180°,

：.ZBOE=ZCOD,

：.BE=CD=6.

為。。的直徑，AZABE=9Q°,

；.AB=7AE2—BE2=8.

10.【答案】A［解析］：/人05=90°,ZA=40°,

.".ZB=50°.

VCD=CB,；./BDC=NB=50°,

/BCD=180°—2x50°=80°,

ZACD=90o-80°=10°.

二、填空題

11.【答案】40°

12.【答案】40［解析］：/1^口=180°—NA=125°,/CBF=/A+NE=85°,，/F=N

BCD—/CBF=125°—85°=40°.

13.【答案】215［解析］連接CE,則NB+/AEC=180°,/DEC=NCAD=35°,AZB+

/AED=(NB+NAEC)+NDEC=180°+35°=215°.

14.【答案】15［解析］：OC_LOB,.*.ZC0B=90°.

又?..OC=OB,.,.△COB是等腰直角三角形，

；.N0BC=45°.

：OA=AB,OA=OB,，OA=AB=OB,

.?.△AOB是等邊三角形，AZ0BA=60°,

.".ZABC=Z0BA-Z0BC=15°.

15.【答案】3或班［解析］如圖，連接CP,PB的延長線交。C于點P，.

：PC=5,BC=3,PB=4,

；.BC2+PB2=PC2,

...△CPB為直角三角形，且/CBP=90°,

即CB_LPB,；.PB=P，B=4.

VZACB=90°,APB//AC.

又：PB=AC=4,

四邊形ACBP為平行四邊形.

又；ZACB=90°,.*.°ACBP為矩形,

.\PA=BC=3.

在Rt/XAPP，中，VPA=3,PP，=8,

；.P，A=、82+32=班.

綜上所述，PA的長為3或小5.

三、解答題

16.【答案】

證明：連接AC.

VAB=BE,F是EC的中點,

ABF^AEAC的中位線，

1

.,.BF=-AC.

VAD=BC,

.\AD4-AB=BC+AB,即第=R,

；.BD=AC,.\BF=-BD.

17.【答案】

解：⑴連接OA,0C,過點。作0HLAC于點H,如圖①.

圖①

VZABC=120°,

AZAMC=180°-ZABC=60°,

.\ZA0C=2ZAMC=120°.

V0H1AC,

???AH=CH=；AC=/,ZA0H=|zA0C=60°,

.\Z0AH=30°,AOH=|oA.

在RtZkAOH中,由勾股定理，得OH2+AH2=OA2,即6)A)2+(/)2=0A2,

解得0A=2(負值已舍去)，

故。。的半徑為2.

(2)證明：在BM上截取BE=BC,連接CE,如圖②.

圖②

VZABC=120°,BM平分NABC,

ZMBC=ZABM=|ZABC=60°.

XVBE=BC,

???△EBC是等邊三角形，

.\EC=BC=BE,ZBCE=60°,

/.ZBCD+ZDCE=60°.

???ZACM=ZABM=60°,

/.ZECM+ZDCE=60°,

AZECM=ZBCD.

VZMAC=ZMBC=60°,ZAMC=60°,

AZMAC=ZAMC=ZACM,

??.△ACM是等邊三角形，

，AC=MC.

AC=MC,

在AACB和中，＜NBCA=NECM,

BC=EC,

/.△ACB^AMCE,

AAB=ME.

???ME+BE=BM,

.,.AB+BC=BM.

18.【答案】

解：(1)如圖①，設點E是橋拱所在圓的圓心，連接AE,過點E作EFLAB于點F,延長EF

交癥于點D.

根據垂徑定理知F是AB的中點，D是點的中點，DF的長是橋拱到水面的最大高度，

.,.AF=FB=1AB=40米，EF=DE-DF=AE-DF.

由勾股定理，知AE2=AF2+EF2=AF2+(AE-DF)2.

設橋拱的半徑為r米,則r2=402+(r—20)2,

解得r=50.

答：橋拱的半徑為50米.

、、「

EE

圖①圖②

(2)這艘輪船能順利通過這座拱橋.理由如下：

如圖②，由題意，知DEJ_MN,PM=$N=30米，EF=50—20=30(米).

在RtAPEM中，PE=^EM2-PM2=40米，

PF=PE—EF=40—30=10(米).

V10米＞9米，.?.這艘輪船能順利通過這座拱橋.

19.【答案】

證明：如圖，取AB的中點0,連接OC,0D.

「△ABC和aABD都是直角三角形，且/ACB=/ADB=90°,

；.0C,0D分另lj為RtAABC和RtAABD斜邊上的中線，

；.OC=OA=OB,OD=OA=OB,

.,.OA=OB=OC=OD,

:.A,B,C,D四點在同一個圓上.

20.【答案】

解：(1)設。E切3c于點M,連接EM,則EM_L3C又線段AE的延長線交8C

于點凡NAF*90。，：.EF>EM,點尸在△ABC的內切圓。E外.

(2)證明：?.?點E是△ABC的內心，

/.ZBAD=ZCAD,ZABE=ZCBE.

■:ZCBD=ZCAD,:.NBAD=ZCBD.

VZBED=ZABE+ABAD,ZEBD=ZCBE+

ZCBD,

：.NBED=NEBD,：.ED=BD.

(3)如圖①，連接CD

設△ABC的外接圓為。O.

'：ZBAC=90°,...BC是。。的直徑，

：.ZBDC=90°.

的直徑是6,...BC=6.

,:E為4ABC的內切圓的圓心，

:./BAD=NCAD,：.BD=CD.

又?.?8。2+。。2=8。2,:.BD=CD=3y[2.

圖②

(4)B,C,E三點可以確定一個圓.

如圖②，連接CD

?.?點E是△ABC的內心,

：.ZBAD=ZCAD,

：.BD=CD.

又由(2)可知ED=BD,

：.BD=CD=ED,

：.B,C,E三點確定的圓的圓心為點O,半徑為8。(或ED,CD)的長度.

24.2點和圓、直線和圓的位置關系

1.如圖I,AB和。0相切于點B,ZAOB=60°,則NA的大小為（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

2如圖，△ABC是。。的內接三角形，ZA=119°,過點C的圓的切線交80的

延長線于點P,則NP的度數為（）

A.32°D.61°

3.在數軸上，點A所表示的實數為5,點8所表示的實數為a,。4的半徑為3,

要使點3在。A內，則實數a的取值范圍是（）

A.a>2B.?>8

C.2<a<8D.aV2或a>8

4.在公園的。處附近有E,F,G,H四棵樹，位置如圖所示（圖中小正方形的邊

長均相等）.現(xiàn)計劃修建一座以。為圓心，OA長為半徑的圓形水池，要求池中

不留樹木，則E,F,G,"四棵樹中需要被移除的為（）

A.E,F,GB.F,G,H

C.G,H,ED.H,E,F

5.如圖，在矩形A8CD中，AB=3,A￡>=4.若以點A為圓心，4為半徑作。A,

則下列各點中在。A外的是（）

4\D

B1--------

A.點AB.點B

C.點CD.點D

6.如圖，AC,BE是。。的直徑，弦AD與BE交于點F,下列三角形中，外心

不是點0的是（）

A.△ABEB.△AC/

C.AABDD.△ADE

7.如圖，邊長為2行的等邊△ABC的內切圓的半徑為

B.6

C.2D.2百

8.如圖，在網格中（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）選取9個格點（格線的

交點稱為格點）.如果以點A為圓心，「為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰

好有3個在圓內，則/■的取值范圍為（）

圖

A.2V2<r<V17B，Vn<r<3V2

C.V17<r<5D.5</<729

二、填空題

9.如圖，在平面直角坐標系中，已知C(3,4),以點C為圓心的圓與y軸相切.點

A,B在x軸上，且OA=OB.P為。C上的動點，ZAPB=90°,則AB長的最大

值為________

10.如圖，為。。的直徑，圓周角NA8C=40。，當NBCD=。時，CD

為。。的切線.

11.如圖，PA、PB是。的切線，A、B為切點，NOAB=38。，則NP=

12.如圖，是。。的直徑，。。交8c于點。，DE_LAC,垂足為E,要使DE

是。0的切線，則圖中的線段應滿足的條件是.

13.如圖，正方形ABC。的邊長為8,M是AB的中點，尸是8c邊上的動點，連接PM,以

點P為圓心，PM長為半徑作。P.當OP與正方形ABC。的邊相切時，3尸的長為.

14.如圖，半圓的圓心。與坐標原點重合，半圓的半徑為1,直線/的解析式

為丁=》+九若直線/與半圓只有一個公共點，則，的取值范圍是

三、解答題

15.如圖，點0在NAP3的平分線上，。。與鞏相切于點C.求證：直線PB與

。。相切.

16.如圖所示，是。。的直徑，C為。。上一點，過點8作垂足為

D,連接8C,平分NABD

求證：CD為。。的切線.

17.如圖，的直徑AB=10cm,弦BC=6cm,NACB的平分線交。。于點

D,交AB于點￡,P是AB延長線上一點，且PC=PE.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)求AC,AO的長.

D

18.如圖，已知AB是。。的直徑，弦CD與48相交，/BAC=38。.

(1)如圖①，若。為傘的中點，求N48C和NA8O的大??；

(2)如圖②，過點。作。。的切線，與A8的延長線交于點P,DP//AC,求NOCO的大

19.如圖，正方形ABCD的邊長是5,OD的半徑是3,在OD上任取一點P,連接AP,將

AP繞點A順時針旋轉90。到AP，的位置，連接BP1

發(fā)現(xiàn)：不論點P在。D上的什么位置，BP，的長度不變，BP，的長是.

思考：(1)求AAPD的最大面積；

(2)求點P與點P，之間的最小距離；

(3)當點P與點B之間的距離最大時，求NCBP，的度數.

探究：當AP與。D相切時，求^CDP，的面積.

人教版九年級數學24.2點和圓、直線和圓的

位置關系課后訓練?答案

—v選擇題

1.【答案】B【解析】〈AB和。。相切于點3,...OBLAB,.../45。=90。,

ZAOB=60°,：.ZA=90°-Z=90°-60°=30°.

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】A［解析］設小正方形的邊長為1個單位長度,

所以OA='\/l2+22=V5.

因為OE=2<04,所以點E在。。內；

OF=2<OA,所以點尸在。。內；

OG=l<OA,所以點G在。。內;

OW=^/22+22=2\［2>OA,

所以點”在。。外.

故選A.

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

【解析】設△ABC的內心為。，連接AO、BO,CO的延長線交AB于H,如圖,

???ZXABC為等邊三角形，

，CH平分NBC4,AO平分ZBC4,：△4BC為等邊三角形，

AZC4JB=60°,CH±AB,：.ZOAH=30°,AH=BH=>AB=/

2

在RtAAO〃中，,?tanZOAH=-=tan30°,/.OH=—x^=l,

AH3

即ZXABC內切圓的半徑為1.故選A.

8.【答案】B［解析］如圖，'：AD=2也，AE=AF=\［ii,AB=3市,

：.AB>AE=AF>AD,

當板VrV36時，以點A為圓心，「為半徑畫圓，選取的格點中除點A外

恰好有3個在圓內.

二、填空題

9.【答案】16

10.【答案】50［解析］連接0c.

VOC=OB,：.ZOCB=ZABC=4Qa.

VZBCD=50°,：.ZOCD=90°,

...CD為。。的切線.

11.【答案】76

【解析】VPA、PB是。的切線，

PA=PB,PALOA,

NPAB=NPBA,ZOAP=90°,

ZPBA=ZPAB=900-ZOAB=90°-38°=52°,

/.ZP=180°-52°-52°=76°,故答案為：76.

12.【答案】8O=CO或AB=AC(答案不唯一)

［解析］(1)連接0D要使DE是。。的切線，結合OE_LAC,只需OD〃AC,根據

。是A8的中點，只需即可；

(2)根據(1)中探求的條件，要使8。=。。，則連接A。，由于NAO3=90°,只需

AB=AC,根據等腰三角形的三線合一即可.

13.【答案】3或4?。劢馕觯萑鐖D①，當。P與。。邊相切時,

設PC=PM=x.

在RtAPBM中，

PM2=BM2+BP2,

.'.x2=42+(8—%)2,

；.x=5,：.PC=5,

：.BP=BC~PC=8-5=3.

如圖②，當。尸與AO邊相切時.設切點為K,連接尸K,則PKLA。，四邊形

PKQC是矩形,

：.PM=PK=CD=2BM,

：.BM=4,PM=8,

在RtAPBM中,BP=y/82-42=4小.

綜上所述，BP的長為3或44.

14.【答案】r=6或一13<1［解析］若直線與半圓只有一個公共點，則有兩種

情況：直線和半圓相切于點C或從直線過點A開始到直線過點B結束(不包括直

線過點A).

直線y=x+r與x軸所形成的銳角是45°.

當點。到直線/的距離OC=1時，直線/與半圓。相切，設直線/與y軸交

于點D,則0D=也,即t=6.

當直線過點A時，把A(—1,0)代入直線/的解析式，得/=y—x=l.

當直線過點8時，把3(1,0)代入直線/的解析式，得/=y—x=-1.

即當『=讓或一13V1時，直線和半圓只有一個公共點.

故答案為t=巾或-13V1.

三、解答題

15.【答案】

證明：如圖，連接OC,過點O作OD上PB于點D.

與膽相切于點C,

：.OC1PA.

?.?點。在NAPB的平分線上，OC，%,ODLPB,

：.OD=OC,二直線與。。相切.

16.【答案】

證明：連接。C.：3C平分乙鉆D,

：.ZOBC=ZDBC.

VOB=OC,：.4OBC=/OCB,

：.ZOCB=ZDBC,

：.OC//BD.

VBD1CD,AOC1CD,為。。的切線.

17.【答案］

解：(1)證明：連接OC,如圖所示.

'：AB是。O的直徑，

：.ZACB=90°.

?.?CD平分NACB,

：.ZACD=ZBCD=45°.

,:PC=PE,

：./PCE=NPEC.

"：NPEC=ZEAC+ZACE=ZEAC+45°,

而NE4c=90°-ZABC,ZABC=ZOCB,

；.NPCE=90°-ZOCB+450=90°-(ZOCE+450)+45°,

：.ZOCE+ZPCE=90°,

即NPCO=90°,

：.OC±PC,

...PC為。0的切線.

(2)連接80,如圖所示.

在Rt^ACB中，AB=10cm,BC=6cm,

：.AC=y)AB2-BC2=y]\02-62=8(cm).

VZACD=ZBCD=45°,

：.ZDAB=ZDBA=45°,

.".△ADB為等腰直角三角形,

:.AD=*AB=5巾(cm).

18.【答案】

解：(1)如圖①，連接0D

?.?A8是。。的直徑，

，ZACB=90°,

oo

：.ZABC=90-ZJBAC=90°-38=52°.

為檢的中點，ZAOB=180°,

：.NAO。=90。，

/.ZABD=^ZAOD=45°.

(2)如圖②，連接0D

切。。于點。，

：.OD±DP,即NOOP=90°.

'."DP//AC,NBAC=38°,

.?.NP=N8AC=38。.

,/ZAOD是^ODP的一個外角，

ZAOD=NP+NODP=128°,

ZACD=64°.

VOC=OA,ZBAC=38°,

AZOCA=ZBAC=38°,

.?.ZOCD=ZACD-ZOCA=64°-38°=26°.

19.【答案】

解：發(fā)現(xiàn)：3

思考：⑴如圖①所示，當POUD時，的面積最大，最大值為m5x3=

7.5.

(2)當點尸在AO上時，PP最小,此時點P，在4?上，AP'=AP=5~3=2.

'：ZR\P'=90°,

：.PP'=y]^+2^=2yj2.

(3)如圖②所示