高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (53)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（53）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.體積為史至的三棱錐4-BCD中，BC=AC=BD=AD=3,CD=2V5.AB<2五,則該三棱

3

錐外接球的表面積為（）

A.207rB.C.D.

31212

2.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD中，下列數(shù)學(xué)命題不正

確的是（）

A.平面4cBi〃平面&GD,且兩平面的距離為日

B.點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則四面體PAiBiG的體積不變

C.M是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點(diǎn)，N是4481C外接圓的

圓周上任意一點(diǎn)，則|MN|的最小值是第

D.與所有12條棱都相切的球的體積為在兀

3

3.已知正方體ABC。-&B1GD1的棱長(zhǎng)為1,P是空間中任意一點(diǎn)，下列正確命題的個(gè)數(shù)是（）

①若P為棱CG中點(diǎn)，則異面直線AP與CD所成角的正切值為苧；

②若P在線段上運(yùn)動(dòng)，則AP+PD】的最小值為竽；

③若尸在半圓弧心上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐P-4BC體積最大時(shí),三棱錐P-ABC外接球的表面積為2兀；

④若過點(diǎn)P的平面a與正方體每條棱所成角相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為

3V3

4

Di

4.在正四面體ABC。中，P,。分別是棱ASCO的中點(diǎn)，E,F分別是直線A8,CZ）上的動(dòng)點(diǎn),

例是EF的中點(diǎn)，則能使點(diǎn)M的軌跡是圓的條件是（）

A.PE+QF=2B.PEQF=2

C.PE=2QFD.PE2+QF2=2

5.二面角a-I一口中，P€l,射線P4PB分別在平面a1內(nèi)，點(diǎn)4

在平面0內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)B,設(shè)二面角a-I-，PA與平面0所

成的角、PB與平面a所成的角的大小分別為6,3,0,則（）

A.9>8>(pB.<p>8>6C.8>(p>0D.8>6><p

6.己知點(diǎn)P,A,B,C在同一個(gè)球的球面上，P4_L平面ABC,ABLAC,PA=y[5,BC=遮,則

該球的表面積為

A.4兀B.87rC.167rD.32兀

7.如圖，正方體4BCD的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)〃在棱A8上，

且AM=號(hào)點(diǎn)P是平面ABC。上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)尸到直線4必的

距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）

A.圓

B.拋物線

C.雙曲線

D.直線

8.如圖，在正方體48。。一4$16。1中，E、尸分別為BC、CD的中點(diǎn)，/-------------7^

則異面直線AF和所成角的大小為（）./y

A.30°

'1/1

C.600*1

D.90°

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共16.0分）

9.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCC-4出（:也中，P為線段BCi上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）

S

B

A.對(duì)任意點(diǎn)P,DP〃平面481D1

B.三棱錐P-&DZ）i的體積為:

C.線段分長(zhǎng)度的最小值為當(dāng)

D.存在點(diǎn)尸，使得。尸與平面所成角的大小為W

10.如圖，在正四棱柱48C。一4當(dāng)。［。］中，AB=E,尸分別是棱A8,BC的中點(diǎn)，異面

直線AB1與GF所成角的余弦值為，小則（）

A.m=-B.直線&E與直線GF共面

3

C.m=-D.直線&E與直線B1F異面

3

11.已知正方體ABCD—4BiGDi棱長(zhǎng)為2,如圖，M為CCi上的動(dòng)點(diǎn)，AM1平面a.下面說法正確的

是（）

A.直線AB與平面a所成角的正弦值范圍為口叵，心.

32

B.點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時(shí)，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大

C.點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)時(shí)，若平面a經(jīng)過點(diǎn)B,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.己知N為。么中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN的和最小時(shí)，M為CG的中點(diǎn)

12.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體4BC0-A'B'C'D'中，”為BC邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）

A.AM與。夕所成角的余弦值為回

10

B.過三點(diǎn)A、M、D'的正方體4BCD-4'B'C'D’的截面面積為這

4

C.四面體AC'BD的內(nèi)切球的表面積為合

D.正方體ABCD—A'B'C'。中，點(diǎn)尸在底面AB'C'C'（所在的平面）上運(yùn)動(dòng)并且使4cAe'=

/.PAC,那么點(diǎn)P的軌跡是拋物線.

三、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

13.已知體積為72的長(zhǎng)方體力BCD-4/iGDi的底面ABC。為正方形，且BC=3Ba,點(diǎn)M是線段

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在矩形DCGDi內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界)，且滿足NANC=NCNM,則點(diǎn)N的軌跡的長(zhǎng)

度為.

14.如圖所示，正方體ABCD-A/iCiDi的棱長(zhǎng)為1,E、尸分別是棱441、CQ的中點(diǎn)，過直線EF

的平面分別與棱BBi，DC1交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)BM=x,xe[0,1],給出以下五個(gè)命題：

①截面用EN尸一定是平行四邊形；

②平面MENF_L平面

③四邊形MENF的周長(zhǎng)L=/(x),xe[0,1]是單調(diào)函數(shù)；

④四邊形MENF的面積S=g(x),x6[0,1]是單調(diào)函數(shù)；

⑤四棱錐的一MENF的體積U=h(x),xG[0,1]是常數(shù)函數(shù)。

其中真命題的編號(hào)為.

15.(1)設(shè)a,h是平面加外兩條直線，且a〃M,那么a〃匕是b〃M的條件.

(2)已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cvn,側(cè)面積為24cm2,則該四棱錐的體積是cm3.

(3)如圖，在正四面體ABC。中，E是棱A。上靠近點(diǎn)。的一個(gè)三等分點(diǎn)，則異面直線AB和CE

所成角的余弦值為.

A

(4)以下四個(gè)命題：①設(shè)a,beR*,貝lja>b>1是log2a>log2Z)>0的充要條件；②已知命題

p、小r滿足“p或q”真,"-1P或r”也真，則“或r"假;③若a6[—1,1],則使

得x2+(a-4)%+4-2a>。恒成立的x的取值范圍為｛x|x>3<1｝；④將邊長(zhǎng)為a的正

方形ABC。沿對(duì)角線AC折起，使得8。=a,則三棱錐D-48C的體積為立a3.其中真命題的序

12

號(hào)為.

16.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載，斜解立方為“塹堵”，即底面是直角三角形的直三棱

柱(直三棱柱為側(cè)棱垂直于底面的三棱柱).如圖，棱柱ABC-AiBiQ為一個(gè)“塹堵”,底面ABC

的三邊中的最長(zhǎng)邊與最短邊分別為AB,AC,且AB=5,AC=3,點(diǎn)P在棱上，且PC_LPG，則

當(dāng)回4PG的面積取最小值時(shí)，異面直線441與PG所成的角的余弦值為.

17.正方體4BCD-&B1C1D1棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在邊BC上，且滿足BE=2EC,動(dòng)點(diǎn)"在正方體表面

上運(yùn)動(dòng)，并且總保持ME_LBD]，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的周長(zhǎng)為.

18.在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,-1,2),其中心M的坐標(biāo)

為(0,1,2),則該正方體的棱長(zhǎng)等于.

四、解答題(本大題共11小題，共132.0分)

19.如圖，已知三棱錐。一ABC的側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直，且04=1,OB=OC=2,E是OC

的中點(diǎn).

(1)求異面直線EB與AC所成角的余弦值；

(2)求直線EB和平面ABC的所成角的正弦值；

⑶求點(diǎn)E到面A8C的距離.

20.如圖所示，四棱錐P-ABC。的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2g.點(diǎn)G,E,F,

H分別是棱PB，AB,CD,PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH1平面ABC。，BC〃平面GEFH.

(1)證明：GHUEF-,

(2)若EB=2,求四邊形GEF”的面積.

21.如圖，在RtUlAOB中，Z-OAB=^,斜邊AB=4.Rtm40C可以通過Rt團(tuán)40B以直線A。為軸旋

O

轉(zhuǎn)得到，且二面角8-4?！狢是直二面角.動(dòng)點(diǎn)。在斜邊AB上.

(1)求證：平面CODJ?平面AO8；

(2)當(dāng)。為A8的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線4。與CD所成角的正弦;

(3)求CD與平面AOB所成角最大時(shí)的正弦值.

22.如圖，四棱錐P-ABCD中，P4IJKglABCD,AB//CD,AD=CD=1,^BAD=120°,PA=V3?

乙ACB=90°,M是線段P。上的一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).

(I)求證：BC1平面PAC；

(II)求二面角D-PC-A的正切值；

(ID)試確定點(diǎn)M的位置，使直線MA與平面PCQ所成角。的正弦值為雷.

23.如圖，四棱錐P—4BC0的底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，乙4BC=60。，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn),

PA_L平面ABCD.

(1)證明：PA〃平面BMD.

(2)當(dāng)PA長(zhǎng)度為多少時(shí)，二面角。-PC-B的正弦值為手?

24.如圖，在直三棱柱中BC中，ABLAC,AB=AC=2,AAr=4,點(diǎn)。是BC的中

(1)求異面直線為B與GD所成角的余弦值;

(2)求平面ADG與4B&所成二面角的正弦值.

25.如圖1,在平面四邊形ABAC中，AB=2,AC=1,CD=V5.=90。，cos^BCD=

圖1圖2

⑴求sinO；

（2）將團(tuán)BCO沿BC折起，形成如圖2所示的三棱錐。一ABC,AD=2.

（回）三棱錐。-力BC中，證明：點(diǎn)。在平面ABC上的正投影為點(diǎn)4；

（助三棱錐D—4BC中，點(diǎn)E,F,G分別為線段AB,BC,AC的中點(diǎn)，設(shè)平面。EF與平面D4c

的交線為/,。為/上的點(diǎn).求QE與平面QFG所成角的正弦值的取值范圍.

26.如圖，在半圓柱W中分別為該半圓柱的上、下底面直徑，E、尸分別為半圓弧AB、CO上的

點(diǎn)，AD.BC、E尸均為該半圓柱的母線，AB^AD=2.

(1)證明：平面。平面CEF；

(2)設(shè)NCOF：),若二面角E—CD-尸的余弦值為，，求。的值.

27.如圖，在三棱錐P-ABC中，PALAB,PA1BC,AB=BC,E為尸C的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段AC

上運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)BD_LPC,試確定。的位置;

(2)若PB與45c夾角為全乙48。=拳試求二面角E-BA-P的余弦值.

28.如圖，四棱錐尸-ABC。的底面為正方形，PZXL底面ABCD設(shè)平面PA。與平面PBC的交線為/.

(1)證明：/J■平面PQC；

(2)已知PO=AD=1,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

29.如圖⑴所示，在RM4BC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,分別是4c,48上的點(diǎn)，且

DE//BC.DE=2,將A4DE沿。E折起到4A1OE的位置，使ACLCD,如圖(2)所示.

(1)⑵

(1)求證：&。，平面8口)民

(2)若M是&D的中點(diǎn)，求CM與平面&BE所成角的大?。?/p>

(3)線段BC(不包括端點(diǎn))上是否存在點(diǎn)P,使平面4DP與平面&BE垂直？說明理由.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查三棱錐的體積，考查球的表面積，考查錐體的外接球問題，屬于難題.

求出AB的長(zhǎng)，確定出三棱錐，建立空間直角坐標(biāo)系，求出半徑即可.

解：考慮極限情況，在長(zhǎng)方體中，如圖所示（AB分別為長(zhǎng)方體棱上的中點(diǎn)）,

BC=AC=BD=AD=3,CD=2遮，則4CBDSACAD,

設(shè)。為CO中點(diǎn)，易得。。=。0=遍，OB=0A=^32-（V5）2=2-

則在Rt△04B中，AB=V22+22=2企，

而根據(jù)題干信息4B<2vL則點(diǎn)8在上圖中的Q（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)運(yùn)動(dòng)到三棱錐A-BCO的體積為卓時(shí)，此時(shí)的三棱錐如圖所示（O'B為三棱錐的高）:

由幾何關(guān)系可得△4CD的面積為S-co=1\CD\\OA\=2V5,

故以-BCD=1x2V5x\B0'\=竽,解得|BO|=痘,

則在RtZ\OBO'中，B0=2,\B0'\=V3>則0。'=1,

而。4=2,則力。'=1,則8為MN中點(diǎn)（M,N分別為對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體棱上的中點(diǎn)），

而在△2CD中，AD=AC,。為CD中點(diǎn)，sin^DAO=―，cos^DAO=

33

由二倍角公式可得sin/ZMC=延，

9

設(shè)44CD的外接圓半徑為r,則利用正弦定理可得2r=

s\nz.DAO

解得r=

4

而4￡>=4C,。為CQ中點(diǎn)，所以A/ICD的外接圓圓心一定在0A所在的直線上，

而r=：>04=2,故外接圓圓心在0A的延長(zhǎng)線上，

4

設(shè)該三棱錐的外接球的球心為P,。1為△ACD的外接圓圓心，則OIA=￡

則POi1底面。1C4D,

而0送u底面01C4D,故POi1OXA,

而CD140「

設(shè)三棱錐外接球的半徑為R,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（。1為原點(diǎn)，為y軸，POi為z軸，8的平行線為x軸）:

設(shè)P(0,0,z)則力(0,3,0),

貝”PB|=\PA\=R,

則交+(z—V3)2=—+z2=/?>

16v716

解得Z=-*(說明P在上圖所示的z軸的負(fù)半軸上),

則R2=^,

故外接球的表面積S=4nR2=y7T.

故選B.

2.答案：C

解析：

本題主要考查的真假斷，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)，面平行的判斷，的內(nèi)切問，涉的識(shí)點(diǎn)較多，綜性

較，度較大.

所有12條棱都相切球直徑R于的對(duì)角線B1C的長(zhǎng)度出球半徑進(jìn)行計(jì)即可.據(jù)方體內(nèi)切球和角形外

接圓的關(guān)進(jìn)判斷即可.

解：解：?.?AB"。［。］,且4CD4B1=2,

所以平面ACB"/平面&GD,

長(zhǎng)方體的對(duì)線BO】=V3,

設(shè)8到平面4cBi的距離為/2,

則=-x—xxlxl=—x—xy/2xV2xh,h-

則平面4cBi與平面&C1。的距離d=V3-2/i=V3-2Xy=y,

故4正確，

點(diǎn)戶在線段4B上運(yùn)動(dòng)，則四面體P4&G的高為1,底面積不變，則體積不變，故B正確；

設(shè)與正方體的內(nèi)切球心為。正的外接球?yàn)?',

???正方體4C0-4當(dāng)6。1的棱長(zhǎng)1,

???線段M長(zhǎng)度最小值是3-三故C錯(cuò)誤，

22

???線段長(zhǎng)度的最值是正方體的外的半徑方的內(nèi)切球切的球的半徑，

則球的積V=±n7?3=2x兀（底）3=四兀，故。正確，

故選C.

3.答案：C

解析：

本題主要考查立體幾何的綜合問題，涉及異面直線所成的角，最短距離問題，外接球的表面積計(jì)算

和截面的最大面積，屬于較難題.

畫出正確的圖示是解題的關(guān)鍵，依據(jù)圖示和相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)判斷，即可得出正確命題的個(gè)數(shù).

解：對(duì)于①，如圖，

必

由4B//C。，可知/BAP即為異面直線AP與CD所成的角.

由正方體的棱長(zhǎng)為1,連接BP,

貝U在Rt/MBP中，AB=1,CP=號(hào)

BP=-VBC2+CP2=Ji?+G)2—

tan/BAP=黑=苧，①正確；

對(duì)于②，如圖，

將三角形與四邊形為BCD1沿展開到同一個(gè)平面上，如圖所示,

由圖可知，線段AD1的長(zhǎng)度即為4P+PD］的最小值.

在△力A】Di中，441=1,4=4I。1=135°,

利用余弦定理可得

ADX=JAA：+ArDl-2AAX-A1Dicosz.AA1D1

=Jl2+I2-2x1x1x(-y)=72+V2>②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，如圖，

當(dāng)尸為已中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-4BC體積最大,

此時(shí)，三棱錐P-4BC的外接球球心是AC中點(diǎn)0,半徑為苧，其表面積為2兀，故③正確;

對(duì)于④，如圖，

平面a與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，只需與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即可,

由圖可知4P=AR=AQ,則平面PQR與正方體過點(diǎn)A的三條棱所成的角相等.

若點(diǎn)E,F,G,H,M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，可得平面EFGHMN平行于平面PQR,且六邊形

EFGHMN為正六邊形.

正方體棱長(zhǎng)為1,所以正六邊形EFG4MN的邊長(zhǎng)為它，可得此正六邊形的面積為6x更x（立＞=越,

24v274

為截面最大面積，故④正確.

故正確的命題為①③④，有3個(gè).

故選c.

4.答案：D

解析：解：如圖所示，

正四面體ABCO中，取BC、BD、AD.AC的中點(diǎn)G、H、K、L,

因?yàn)镻、。分別是棱AB,CZ）的中點(diǎn)，所以P。的中點(diǎn)。也為定點(diǎn);

由對(duì)稱性知，尸。和EF的中點(diǎn)都在中截面GHKL上：

由而'=OP+PE+EM=OQ+QF+FM，

所以兩=*屈+而）；

又在正四面體中，對(duì)棱垂直，所以而?評(píng)=0；

所以4而2=兩2+評(píng)2,^]4OM2=pE2+QF2.

若點(diǎn)M的軌跡是以。為圓心的圓，則P片+QF2為定值.

故選：D.

先由對(duì)稱性找到PQ.EF的中點(diǎn)在中截面GHLK上運(yùn)動(dòng)，

利用向量的加減運(yùn)算，得到兩=*而+而），

結(jié)合正四面體的特征將等式兩邊平方，得到4兩2=萬片+評(píng)2,

由圓的定義得出結(jié)論.

本題考查了正四面體的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，也考查了空間向量的計(jì)算問題，是難題.

5.答案:C

解析：

本題考查線面角，面面角及其求法，明確平面的斜線與平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角是線面角

是關(guān)鍵，是中檔題.

由題意畫出圖形，分別找出二面角及線面角，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性及平面的斜線與平面內(nèi)所有直

線所成角中的最小角是線面角進(jìn)行大小比較.

解：當(dāng)PAI/,PB11時(shí)，8=（p=3；

當(dāng)PA,PB與/均不垂直時(shí)，如圖:

由已知AB1口，可得48JU,過A作4。IE,連接08,則。BJU,

可得乙40B為5,乙4PB=(p,

在平面A0B內(nèi)，過B作B/140,則B/JLa,連接P/,則4BP/=6>,

在RtAAB。與RtZ^ZBP中，可得tanb=/OB,tancp=PB由力B=4B,PB>0B,

可得tan6>tan<p,則6><p；

PB為平面a的一條斜線，PB與a內(nèi)所有直線所成角的最小角為。，即尹>0.

8>(p>9.

綜上，8><p>6.

故選C.

6.答案：B

解析：

本題考查了三棱錐外接球的表面積，屬于基礎(chǔ)題.

本題使用還原長(zhǎng)方體的方法求半徑，為本題關(guān)鍵.

解：由PA1平面ABC,AB1AC,

可知PA、AB.AC兩兩垂直，即三棱錐P—ABC為長(zhǎng)方體的一個(gè)角,

由P4=V51BC=V3，即一條側(cè)棱為石，一條面對(duì)角線為百，

則體對(duì)角線為50=2VL

即外接球的直徑為2低，半徑為迎，

則該球的表面積為4兀(或『=8兀，

故選反

7.答案：B

解析:

本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，拋物線的定義，求點(diǎn)的軌跡方程的方法，屬于中檔題.

作PQ1AD,作QR1PR即為點(diǎn)P到直線4山1的距離，由勾股定理得PR?-PQ2=RQ2=1,

又已知PR2—PM2=i,故PQ=PM,即P到點(diǎn)M的距離等于P到的距離，由此可得點(diǎn)P的軌

跡是拋物線.

解：如圖所示：正方體ABCD—AiaGDi中，

作PQLAO,。為垂足，則PQJ■平面4DD1人,

又4也u平面4。。出，所以PQ_L&Oi，

過點(diǎn)Q作QR1D14，因?yàn)镼RnPQ=Q,PQ,QRu平面尸0?,

所以Di41平面PQR,

PRu平面PQR,

D"i1PR,PR即為點(diǎn)P到直線的距離,

由題意可得PR2_PQ2=RQ2=L

又已知PR2-PM2=1,

???PM=PQ,

即P到點(diǎn)M的距離等于P到AD的距離，

根據(jù)拋物線的定義可得，點(diǎn)尸的軌跡是拋物線,

故選B.

8.答案：D

解析：

本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)

行等價(jià)轉(zhuǎn)化.取AB的中點(diǎn)H,再取的中點(diǎn)G,故得到/GED1是異面直線A尸和ED1所成的角，

由此能求出異面直線AF和ED1所成的角的大小.

解：取4B的中點(diǎn)H,再取的中點(diǎn)G,連接GE,

因?yàn)镋、尸分別為BC、CD的中點(diǎn)，

所以GE//HC//AF,

故NGEA是異面直線AF和ED1所成的角，

設(shè)正方體力BCD-4B1C1D1邊長(zhǎng)為4,

故可得。出2=+ED2=42+42+22=36,

2

D^G=。戶+DG2=42+42+32=41,

GE2=BG2+BE2=1+4=5,

故可得。盧2+6￡2=。儼，

所以異面直線A尸和D1E所成角的大小為90。，

故選。.

9.答案:ABC

解析：

本題考查正方體的性質(zhì)，三棱錐的體積，直線與平面所成角，屬中檔題.

對(duì)于A：由平面GOB〃平面力占劣，且。Pu平面JOB,正確；對(duì)于以無論點(diǎn)P在哪個(gè)位置，三棱

錐P-4的高均為1,底面的面積為;，三棱錐1的體積為:x；x1=g正確；

2oZo

對(duì)于C：當(dāng)點(diǎn)P為BG的中點(diǎn)時(shí)，0P最小，此時(shí)DPJ.BC1，解得QP的最小值為當(dāng)，正確；對(duì)于。：

設(shè)點(diǎn)P的投影為點(diǎn)Q，貝iJ/PDQ為。尸與平面ADD14所成角，OP與平面所成角的正弦值的

范圍為憐斗不存在點(diǎn)P,DP與平面4叫公所成角為;，錯(cuò)誤.

解：由題可知正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為企，

對(duì)于A：分別連接GD,BD,BIDI，4BQ4DI，

因?yàn)椤?〃。1當(dāng)，。1當(dāng)在平面4當(dāng)以內(nèi)，08不在平面內(nèi)，

所以DB〃平面AB15，同理可得BC"/平面力/。1，

又DB、BG為平面GDB內(nèi)兩條相交直線，

所以平面GOB//平面AB15，

。Pu平面Cl。B,故對(duì)任意點(diǎn)P,DP〃平面故正確；

對(duì)于8：分別連接尸4PDi，無論點(diǎn)P在哪個(gè)位置，三棱錐P-AiDDi的高均為1,底面為。。1的面

積為5

所以三棱錐P-的體積為！X；X1=i故正確；

5Lo

對(duì)于C：線段DP在4GBD中，當(dāng)點(diǎn)P為BG的中點(diǎn)時(shí)，OP最小，此時(shí)DP1BC1，

此時(shí)在RtZXZ5/7。中，DP=y/DB2-PB22_(0=導(dǎo)故DP的最小值為唱故正確;

對(duì)于D：點(diǎn)尸在平面上的投影在線段ADi上，設(shè)點(diǎn)尸的投影為點(diǎn)Q,則NPDQ為。尸與平面

4DD14所成角，sin乙PDQ=黑PQ=1,

而當(dāng)《PD(V2,所以QP與平面ADDMi所成角的正弦值的范圍為惇闿，

而疝=所以不存在點(diǎn)尸，OP與平面4DD14所成角為;，故錯(cuò)誤.

故選A8C.

10.答案：BCD

解析:

本題考查命題真假的判斷和兩直線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

以。為原點(diǎn)，OA為x軸，CC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面

直線4%與C/所成角的余弦值；由E,尸分別是棱AB,8C的中點(diǎn)，^AC//EF,從而Aig〃EF,

再得到直線&E與直線GF共面；由異面直線判定定理得，直線&E與直線&F異面.

解：在正四棱柱4BC0-4B1C1D1中，AB=y[2AAr,E,尸分別是棱AB,BC的中點(diǎn),

以。為原點(diǎn)，D4為x軸，DC為)，軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)力4=1,則力(企,0,0),^(72,72,1),

^(0,72,1)>F*，也0)，麗=(0,企,1),守=(^,0,-1),

???異面直線與小尸所成角的余弦值為：

UAB1-CjF\1V2

771=---------=-----=-

所卜面后孚3,

故A錯(cuò)誤，C正確；

vE,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn)，4C〃EF,

?.?A1G//4C,&G//EF,.?.四邊形EFG&是梯形，

直線4E與直線GF共面，故B正確；

AXEu平面力BBi&,B]Fn平面4BB1&=當(dāng)，

當(dāng)任直線&E,.?.由異面直線判定定理得，直線&E與直線&F異面，故。正確.

故選BCD.

11.答案：AC

解析：

本題考查了立體幾何的綜合問題，考查學(xué)生的分析推導(dǎo)能力，計(jì)算求解能力，屬于困難題.

對(duì)于A,建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)M(0,2,a)(04aW2),求出|cos＜南，而＞|從而即可求解.

對(duì)于8,結(jié)合題意連接40、BD、&B、AC,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可求解.

對(duì)于C,設(shè)平面a交棱于點(diǎn)E(80,2),從而利用空間向量即可求解.

對(duì)于D,將矩形4CG4與矩形CGDiD延展為一個(gè)平面即可推導(dǎo)求解.

解：對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

D4、OC、0歷所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,

則點(diǎn)4(2,0,0)、B(2,2,0)、

設(shè)點(diǎn)M(0,2,a)(0SaS2),

AM1平面a,

則我為平面a的一個(gè)法向量，且薪=(-2,2,a)，AB=(0,2,0)-

\AB-AM\

|cos<AB,AM>|—

\AB\-\AM\

4_2e停凈，

2xVa2+8Va2+8

所以，直線A8與平面a所成角的正弦值范圍為手小

故月選項(xiàng)正確;

對(duì)于8選項(xiàng)，當(dāng)M與CQ重合時(shí)，連接&D、BD、48、AC,

在正方體ABCO-48道1/中，CCi，平面ABCD,

???BDu平面ABCD,

:.BD1CC],

?.?四邊形ABC。是正方形，

則BD>C,

cciciAC=c,cci，acu平面ace1，

???BDJ"平面ACC1，

VACXu平面acq,

???ACT1BD,

同理可證4G-LAAD,

AXDC\BD=D,&D,BDu平面&BD,

ACX_L平面&B0,

易知團(tuán)4/0是邊長(zhǎng)為2a的等邊三角形，

其面積為SA^BD=Tx(2V2)2=2V3'

周長(zhǎng)為2/x3=6V2.

設(shè)E、F、Q、N、G、H分別為棱45、AB[、BB】、BC、CD、的中點(diǎn),

易知六邊形EFQNGH是邊長(zhǎng)為近的正六邊形，且平面EPQNG，〃平面&BD,

正六邊形EFQNGH的周長(zhǎng)為6丘,面積為6xgx(&j=38，

則團(tuán)4津。的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長(zhǎng)相等，8選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面a交棱4也于點(diǎn)E(b,0,2),點(diǎn)M(0,2,l),AM=(-2,2,1)-

vAM_L平面a,DEu平面a,

???AM1DE,

即京-DE=-2b+2=0，得b=1,

E(l,0,2),

所以，點(diǎn)E為棱久劣的中點(diǎn)，

同理可知，點(diǎn)尸為棱的中點(diǎn)，

則F(2,l,2),EF=(1,1,0)>

而法=(2,2,0),

T1T，

EF=-2DB

：.EF"DBaEF豐DB,

由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得DE=V224-024-I2=V5-

BF=J(2—29+(1-2<+(2—0(=后

DE=BF,

所以，四邊形BCEF為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于。選項(xiàng)，將矩形4CG4與矩形CGDiD延展為一個(gè)平面，如下圖所示:

若ZM+MN最短，則4、M,N三點(diǎn)共線,

-,-CCiZ/DDr，

MCAC2y[2、p:

??—=—=---------=Z-7乙,

DNAD2V2+2

???MC=2-近吟CC\,

所以，點(diǎn)M不是棱CG的中點(diǎn)，。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選AC.

12.答案：ACD

解析：

本題考查空間向量的應(yīng)用，考查截面問題，考查線面角以及四面體的內(nèi)切球問題，軌跡問題，屬于

較難題.

建立空間坐標(biāo)系，利用向量計(jì)算AM與D'B'所成角的余弦值判斷A,利用面面平行性質(zhì)作出過A,M,

D'的截面，再計(jì)算截面面積判斷8,根據(jù)等體積法計(jì)算棱錐的內(nèi)切求半徑，計(jì)算球的表面積

判斷C,計(jì)算4C'與平面4'B'C'D'的夾角a,根據(jù)a與/M4C'的大小關(guān)系判斷。.

解：以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以4'。'，A'B',44為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)'-xyz,

則4(0,0,1),1),0),0),

?1?AM=(|,1,0),FB7=(-1,1,0).

的麗珂=靠=票

???4M與D'B'所成角的余弦值為叵，故A正確；

10

取CC'的中點(diǎn)N,則MN〃8c7/4。'，故梯形MND'A為過4、M、D'的正方體的截面，

「MN=y.AD'=V2.AM=D'N=爭(zhēng)二梯形MND%的高為夠_凈2=表

.??梯形MNDN的面積為:x（魚+亨）x嘉=￡故B錯(cuò)誤；

四面體AC'BD的體積為吃防然一4力7心。，=l-4x|x|xlxlxl=|,

又四面體A'C'BD的所有棱長(zhǎng)均為迎，四面體AC'BD的表面積為4x^x（V2）2=2痘,

設(shè)四面體4CBD的內(nèi)切球半徑為r,則打26xr=/解得r=/,

四面體AC'BD的內(nèi)切球的表面積為4兀"=；，故C正確；

4SC'=NPAC',二P點(diǎn)在以AC'為軸，以AC為母線的圓錐的側(cè)面上，

P點(diǎn)在平面AB'C'。'上的軌跡是拋物線，故。正確.

故選ACD.

13.答案：y

解析：

本題考查了點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度的求法，考查了圓有關(guān)的軌跡問題，由以。C所在直線為x軸，0c的垂

直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)N的軌跡是以"5,0）為圓心，4為半徑的圓，

故可求得點(diǎn)N的軌跡的長(zhǎng)度

解：依題意，AB=BC=6,BB]=2；因?yàn)?。JL平面。CCi%,CM1平面。?？诹?，4AND=乙CNM；在

Rt回NDA與Rt團(tuán)NCM中，因?yàn)?。=6,則MC=3,故tan〃ND=黑=蕓，則白=工即ND=2NC；

NDNCNDNC

在平面DCGDi中，以0c所在直線為x軸，DC的垂直平分線為)，軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則。(一3,0),C(3,0),N(x,y),由ND=2NC得，+3)2+y2=2^/(%-3)2+y2,整理可得：

x2+y2-10x+9=0,即(x-5)2+y2=16,故點(diǎn)N的軌跡是以"5,0)為圓心，4為半徑的圓，設(shè)

圓與G5的交點(diǎn)為E,

作EK_Lx軸于K,￡(5-2V3,2),K(5-2V3,0),則EK=2,KF=2遍,EF=4,

則sinz_EFK=g=:故Z_E尸K=>

EF2o

故點(diǎn)N的軌跡的長(zhǎng)度為ar=7x4=V-

63

故答案為與

14.答案：①②⑤

解析：

本題主要考查立體幾何相關(guān)知識(shí)，結(jié)合每個(gè)命題依據(jù)定理逐一判斷即可，屬中檔題.

①利用面面平行的性質(zhì)定理判斷即可；

②利用面面垂直的判定定理去證明EF1平面

③判斷周長(zhǎng)的變化情況即可.

④四邊形MEN尸的對(duì)角線EF是固定的，則只需的長(zhǎng)度變化即可.

⑤求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷.

解：

①?.?平面2DDW〃平面BCC?,

截面MENFn平面=EN,截面MENFC平面BCC'B'=MF,

EN//MF,

同理：FN//EM,

.??四邊形EM/W為平行四邊形，故①正確；

②連結(jié)BO,DR,則由正方體的性質(zhì)可知，EFL平面BDDiBi，

所以平面MENF_L平面所以②正確.

③因?yàn)镋F1MN,所以四邊形MENF是菱形，

當(dāng)尤G［0,1］時(shí)，EM的長(zhǎng)度由大變小，

當(dāng)xegl］時(shí)，成的長(zhǎng)度由小變大.所以函數(shù)L=/(x)不單調(diào).所以③錯(cuò)誤.

④連結(jié)MM因?yàn)镋F1平面8DD$i，所以EFJLMN,四邊形MEN尸的對(duì)角線E尸是固定的，所以

x€［。9，削的長(zhǎng)度由大變小,x6已1］時(shí)，"N的長(zhǎng)度由小變大.所以S=g(x),不單調(diào).所以④錯(cuò)誤.

⑤連結(jié)GE,GM,GN,則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以GE尸為底，

以M,N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐.因?yàn)槿切蜧EF的面積是個(gè)常數(shù)，M,N到

平面GEF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐G-MENF的體積V=h(x)為常函數(shù)，

所以⑤正確.

故答案為①②⑤.

15.答案：(1)充分不必要；

⑵嗜

⑶多

(4)①③④.

解析:

(1)本題主要考查了充分條件，必要條件的判斷，涉及線面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

判斷由a〃匕能否得到8〃“，再判斷由b〃"能否得到a〃b即可.

解：證明充分性：

若a〃兒結(jié)合a〃M,且b在平面M外，可得b〃M,即充分性成立；

證明必要性：

若匕〃M,結(jié)合a〃M,且a,匕是平面M外，則m匕可以平行，也可以相交或者異面，所以不是

必要條件必要性不成立，

故a〃b是b//M的充分不必要條件.

故答案為充分不必要.

(2)本題主要考查了棱錐體積的求法，涉及正四棱錐結(jié)構(gòu)特征的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

作出正四棱錐的結(jié)構(gòu)圖形，推導(dǎo)出側(cè)面斜高SE=：X24X2+4=3,設(shè)正四棱錐的高為SO,則

0E=2,SO=y/SE2-OE2=V5;由此能求出該四棱錐的體積.

解：由題意，正四棱錐S—ABCD的結(jié)構(gòu)圖如下，

取BC的中點(diǎn)E,底面ABC。的中心為0,連接SE,SO,則SE1BC,SOABCD,

???正四棱錐S-力BCD的底面A8C￡＞邊長(zhǎng)為4cm,側(cè)面積為24cm2,

?,?側(cè)面斜高SE=^x24x2+4=3cm,

4

設(shè)正四棱錐的高為SO,則OE=2cm,

：.SO=VSF2-OE2=V32-22=V5cm,

23

二該正四棱錐的體積是V=^SABCD-SO=Ix4xV5=-^^cm,

故答案為鰥.

3

(3)本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識(shí)以及余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題.

取棱8。上靠近點(diǎn)。的一個(gè)三等分點(diǎn)凡EF//AB,從而NCEF是異面直線AB和CE所成的角，由此

能求出異面直線和CE所成的角的余弦值.

解：如圖，取棱8。上靠近點(diǎn)。的一個(gè)三等分點(diǎn)F,人

???E是棱AD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)三等分點(diǎn)，

EF//AB,

.3CEF是異面直線AB和CE所成的角(或其補(bǔ)角),

設(shè)正四面體4-BCO的棱長(zhǎng)為3,

則DE守D=l,EF=^AB=1,DF^BD=1,

在ACDE中，由余弦定理得:

CE2=DE2+CD2-2OE.e.cos〃OE=M+32-2xlx3x：=7,

???CE=6

同理，在ACOE中，由余弦定理得CF=V7,

在△的中，由余弦定理得：cECEF=空蓑#=年空4

故答案為今

(4)本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了分析和運(yùn)用能力，屬于中檔題.

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷①；根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法可判斷②；設(shè)f(a)=(x-2)a+x2-

4x+4,ae[-1,1],轉(zhuǎn)化為f(a)>0在ae[—1,1]上恒成立，建立不等式組求出x取值范圍即可判斷

③；根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征和三棱錐體積公式即可判斷④.

解：對(duì)于①，當(dāng)a>b>1時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知log2a>log2b>0,若log2a>log2b>0,再

由單調(diào)性可知a>b>1,則a>b>1是log2a>log2b>。的充要條件故①正確；

對(duì)于②，“p或q”真，貝Up,q至少有一個(gè)為真，“"或廠”也真，則"、/?至少有一個(gè)為真，則

有可能q為真，則為或r”真，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，設(shè)/(a)=(x-2)a+--4x+4,aG[-1,1].要使/'(a)>0在a€上恒成立，則

/(-I)=x2-5x+6>0

解得％<1或x>3,

./(I)=x2-3x+2>0

故③正確;

對(duì)于④，由題意，取AC的中點(diǎn)0,連接O。，0B,如圖:

D

易知△ACD^hABC均為等腰直角三角形，

且?！?gt;=OB=-AC，BD=a,

2=—2a

■■■BD2=BO2+DO2,

BOD也為等腰直角三角形，

OB1OD,OD1AC,

又4cn8。=0,AC,BOU平面ABC,

OD1平面ABC,

????！辏槿忮F。-ABC的高，且S/ABC=

23

三棱錐。-ABC的體積為V=—SAABC-OD=-ax—a=—a

36212

故④正確；

故答案為①③④.

16.答案：|

解析：

本題考查異面直線所成角的問題，考查線面垂直的判定，考查基本不等式在求最值方面的應(yīng)用，題

目較難.

設(shè)直三棱柱的高為x,BP=y,則BiP=x-y,由PC1PC.,可得x=號(hào)"，再證明QP，平面ACP,

從而得到4P_LPCi，可得SAAPQ=：X,25+y2xJi6+(x-y)2,將芯=亨代入，利用基本不

等式可求得當(dāng)A4PC1的面積取最小值時(shí)，y=2遮，由所以4。/占(或其補(bǔ)角)為異面直

線44與PG所成的角，從而可求得答案.

解：設(shè)直三棱柱的高為x,BP=y,則8$=無—y,

因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，且AB=5,AC=3,則BC=4.

所以PC?=BC2+BP2=16+y2,PCI=BiC：+BiP2=16+(x-y)2,

由PCIPCi，則PC2+PC/=CC/,BP16+y2+16+(x-y)2=x2,整理得工=北手.

由棱柱為一個(gè)“塹堵”，則側(cè)棱垂直于底面，且底面是直