浙江省臺州市2023-2024學年高二上學期1月期末質量評估數(shù)學試題

臺州市2023學年第一學期高二年級期末質量評估試題數(shù)學2024.01一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.直線的斜率等于（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由斜截式判定直線斜率即可.【詳解】由直線的斜截式可知的斜率為.故選：C2.若雙曲線的離心率為2，則實數(shù)（）A.2 B. C.4 D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)離心率表示出方程，計算即可求解.【詳解】由題意得,,解得.

又，則.

???????故選:A.3.若空間向量，則與的夾角的余弦值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量夾角的坐標表示即可求解.【詳解】由題意，得.故選:C.4.已知等差數(shù)列的前項和為.若，則其公差為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，通項公式列式計算求解.【詳解】由，所以，又，，解得.故選：D.5.如圖，在平行六面體中，記，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結合空間向量的線性運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：A.6.人們發(fā)現(xiàn)，任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復進行上述運算，必會得到1.這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關系如下：對于數(shù)列為正整數(shù)），若，則所有可能的取值的和為（）A.16 B.18 C.20 D.41【答案】B【解析】【分析】由已知數(shù)列的遞推式倒推得到m的值.【詳解】若，則由遞推關系只能有，，有或，當時，；當時，，所以所有可能的取值為或，.故選：B7.已知拋物線的焦點為,兩點在拋物線上，并滿足，過點作軸的垂線，垂足為，若，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】分過的直線斜率不存在和存在兩種情況，設出直線方程，聯(lián)立拋物線，得到兩根之積，根據(jù)向量比例關系得到方程，求出，，從而得到方程，求出答案.【詳解】由題意得，當過的直線斜率不存在時，，不合要求，舍去，當過的直線斜率存在時，設為，聯(lián)立得，，設，則，因為，所以，又，故，解得，故，解得，故，解得.故選：B8.在空間四邊形中，，則下列結論中不一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用向量線性運算判斷A；利用空間向量數(shù)量積的應用判斷B；利用給定等式結合垂直關系的向量表示推理判斷CD.【詳解】依題意，，A正確；顯然，即，因此，B正確；由，同理得，于是，由，得，由，得，取中點，連接并延長至，使，連接，取中點，連接，顯然四邊形為平行四邊形，則，，于是，即有，則，，而平面，則平面，又平面，因此，，而為公共邊，所以≌，C正確；顯然線段不一定相等，而，，即直角三角形的兩條直角邊不一定相等，與不一定垂直，又，所以不一定垂直，D錯誤.故選：D【點睛】結論點睛：首尾相接的若干個向量的和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．所以在求若干向量的和，可以通過平移將其轉化為首尾相接的向量求和．二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知數(shù)列和是等比數(shù)列，則下列結論中正確的是（）A.是等比數(shù)列B.一定不是等差數(shù)列C.是等比數(shù)列D.一定不是等比數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】AC可利用等比數(shù)列的定義進行判斷，CD選項，可舉出反例.【詳解】A選項，設數(shù)列的公比為，則，故，所以是等比數(shù)列，A正確；BD選項，設，滿足數(shù)列和是等比數(shù)列，所以，故此時是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，BD錯誤；C選項，設數(shù)列的公比為，數(shù)列的公比為，則，故是等比數(shù)列，C正確；故選：AC10.已知且，曲線，則下列結論中正確的是（）A.當時，曲線是橢圓B.當時，曲線是雙曲線C.當時，曲線的焦點坐標為D.當時，曲線的焦點坐標為【答案】ABD【解析】【分析】對于AC，若，則，從而可判斷；對于B，若，則，，從而可判斷；對于D，時，曲線是焦點在軸上的雙曲線，求出焦點坐標即可判斷.【詳解】對于A，若，則，故曲線是焦點在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則，，故曲線是焦點在軸上的雙曲線，故B正確；對于C，時，由A可得曲線是焦點在軸上的橢圓，故C錯誤；對于D，時，由B可得曲線是焦點在軸上的雙曲線，曲線，可化為曲線，雙曲線的半焦距為，故焦點坐標為，故D正確.故選:ABD.11.如圖，在四面體中，分別是的中點，相交于點，則下列結論中正確的是（）A.平面B.C.D.若分別為的中點，則為的中點【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷A；對于B，將與的位置關系轉化為與的關系進行判斷；根據(jù)空間向量的線性運算即可判斷C；通過分析得到，即可判斷D.【詳解】對于A，因為分別是的中點，所以.又因為平面，平面，所以平面，故A正確；由A可得，，因為分別是的中點，所以.由題中條件得不到與垂直，所以也得不到與垂直，故B錯誤；對于C，,故C正確；對于D，因為是的中點，所以.又因為是的中點，所以，所以,所以為的中點，故D正確.故選:ACD.12.已知，，則下列結論中正確的是（）A.當時，B.當時，有2個元素C.若有2個元素，則D.當時，有4個元素【答案】ABD【解析】【分析】A選項，畫出表示的部分圖形，求出與軸的交點坐標，得到A正確；B選項，得到此時為，由圓心到的距離小于半徑得到有兩個交點，求出答案；C選項，舉出反例；D選項，畫出表示的部分圖形，結合點到直線距離，數(shù)形結合得到答案.【詳解】A選項，時，表示圓心為，半徑為1的圓位于軸上方的部分（包括軸上的兩點），由得或，故，表示圓心為，半徑為1的圓位于軸上方的部分（包括軸上的兩點），由，解得或，同理可得，故表示的部分如圖所示，表示軸，故，A正確；B選項，當時，，由于圓心到軸的距離等于2，大于1，整個圓位于軸上方，，由于圓心到軸的距離等于2，大于1，整個圓位于軸下方，故表示的部分如圖所示，由于圓心到的距離，故直線與圓有兩個交點，有2個元素，B正確；C選項，當時，此時兩圓圓心相同，半徑相等，此時表示部分如圖所示，此時直線與有兩個交點，而，C錯誤；D選項，當時，，由于圓心到的距離為，，由于圓心到的距離為，畫出表示的部分如圖所示，此時直線分別與兩圓交于兩點，共4個交點，所以有4個元素，D正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：有關直線與圓的位置關系判斷，可利用代數(shù)法或幾何法進行求解，代數(shù)法即聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)根的判別式進行判斷；幾何法則使用點到直線距離，數(shù)形結合進行求解.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.點到直線的距離為______．【答案】1【解析】【分析】直接利用點到直線的距離公式計算可得.【詳解】點到直線的距離.故答案為：14.已知橢圓的左右焦點分別為，為橢圓上的點，若，，則橢圓的離心率等于______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義求出，由余弦定理求出方程，求出離心率.【詳解】由橢圓定義可得，又，故，由余弦定理得，故，故，解得，故離心率為故答案為：15.已知數(shù)列的前項和為.當時，的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】將化為，利用裂項求和法求出，再結合數(shù)列的單調性，求解不等式，即可得答案.【詳解】由于，故，由，可得，即，由于的值隨n的增大而增大，且時，，時，，故n的最小值為：4，故答案為：416.已知拋物線和.點在上（點與原點不重合），過點作的兩條切線，切點分別為，直線交于兩點，則的值為______.【答案】【解析】【分析】設出直線方程，分別與拋物線，聯(lián)立，結合判別式，韋達定理及弦長公式即可求解.【詳解】依題知直線的斜率存在且不為0，設直線，，聯(lián)立，得，則，，設過點的切線方程為，則，得，由，得，故過點的切線方程為，即，同理過點的切線方程為，聯(lián)立得，則點，則，得，設，聯(lián)立，得，，，.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知圓經(jīng)過原點及點.（1）求圓的標準方程；（2）過原點的直線與圓相交于兩點，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由，可知線段的中點為圓心，線段的長為圓的直徑，得解；（2）分直線的斜率是否存在進行討論，在存在時，利用勾股定理求出弦心距，求解直線方程.【小問1詳解】設原點為，易知，線段的中點為圓心，圓心坐標為.線段的長為圓的直徑，，半徑.圓的標準方程為【小問2詳解】①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，令，代入圓的標準方程，解得或，則，不符合題意.②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，將其轉化為一般式方程，圓心到直線的距離為，則，得，化簡得或，即直線的方程為或.18.已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為.已知成等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應用等比數(shù)列的基本量運算及等差中項即可；（2）應用錯位相減法即可.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，由題意得：，即，，得，解得或.由于不符合題意，因此.由得，，即.所以.【小問2詳解】由題意得，，則，則，則，則，.19.在長方體中，.從①②這兩個條件中任選一個解答該題.①直線與平面所成角的正弦值為；②平面與平面的夾角的余弦值為.（1）求的長度；（2）是線段（不含端點）上的一點，若平面平面，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面的法向量，借助二面角或線面角的向量法求解即可;（2）設，求出平面的法向量與平面的法向量，利用法向量垂直，即可求出的值.【小問1詳解】在長方體中，易知兩兩垂直，如圖，以點為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.則，設，則，設平面的法向量.取，則.若選擇條件①，，設直線與平面所成角為，則，解得，或（舍去），即.若選擇條件②，易知平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，則，解得，或（舍去），即【小問2詳解】由題（1）得:.設，則.設平面的法向量所以，即取，則,又，設平面的法向量.令，則平面平面，即，解得，所以.20.如圖，圓的半徑為4，是圓內一個定點且是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，點在圓上運動.（1）求點的軌跡；（2）當時，證明：直線與點形成的軌跡相切.【答案】（1）點的軌跡是以為焦點，長軸長等于4的橢圓（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可得答案；（2）以線段的中點為坐標原點，以過點的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，求出橢圓的標準方程，當時，點的坐標為和，求出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立利用判別式可得答案.【小問1詳解】，因為，所以與兩個定點的距離的和等于常數(shù)（大于），由橢圓的定義得，點的軌跡是以為焦點，長軸長等于4的橢圓；【小問2詳解】以線段的中點為坐標原點，以過點的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，設橢圓的標準方程為，由橢圓的定義得：，即，即，則橢圓的標準方程為，當時，點的坐標為和.當點的坐標為時，已知點的坐標為，線段的中點坐標為，直線的斜率為，直線的方程，聯(lián)立方程，得，整理得，可得，所以直線與點形成的軌跡只有1個交點，即直線與點形成的軌跡相切.當點的坐標為時，已知點的坐標為，線段的中點坐標為，直線的斜率為，直線的方程，聯(lián)立方程，得，整理得，可得，所以直線與點形成的軌跡只有1個交點，即直線與點形成的軌跡相切.綜上，直線與點形成的軌跡相切.21.某游樂園中有一座摩天輪.如圖所示，摩天輪所在的平面與地面垂直，摩天輪為東西走向.地面上有一條北偏東為的筆直公路，其中.摩天輪近似為一個圓，其半徑為，圓心到地面的距離為，其最高點為點正下方的地面點與公路的距離為.甲在摩天輪上，乙在公路上.（為了計算方便，甲乙兩人的身高、摩天輪的座艙高度和公路寬度忽略不計）（1）如圖所示，甲位于摩天輪的點處時，從甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？（2）當甲隨著摩天輪轉動時，從乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設公路所在直線為，過點作的垂線，垂直為,由得答案;（2）設甲位于圓上的點處,直線垂直于且交圓于點，射線可以看成是射線繞著點按逆時針方向旋轉角度得到.過點正下方的地面點向作垂線，垂足為.取得最大值時，即為從乙看甲的最大仰角，,其中，表示點和點構成的直線的斜率，根據(jù)直線與圓的位置關系即可求解.【小問1詳解】如圖所示，設公路所在直線為，過點作的垂線，垂直為，m.因為圓的半徑為35m，圓心到地面的距離為40m，所以m.從甲看乙的最大俯角與相等，由題意得，則.【小問2詳解】如圖所示，設甲位于圓上的點處，直線垂直于且交圓于點，射線可以看成是射線繞著點按逆時針方向旋轉角度得到.過點正下方的地面點向作垂線，垂足為.當取得最大值時，即為從乙看甲的最大仰角.題意得：,其中，表示點和點構成的直線的斜率，當直