安徽省九師聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

New”2023-2024學(xué)年安徽省九師聯(lián)盟高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．2．集合，，則（）A． B． C． D．3．在數(shù)列中，p：；q：是以2為公比的等比數(shù)列，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知a，b，c為實(shí)數(shù)，則（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．由于我國(guó)與以美國(guó)為首的西方國(guó)家在科技領(lǐng)域內(nèi)的競(jìng)爭(zhēng)日益激烈，美國(guó)加大了對(duì)我國(guó)一些高科技公司的打壓，為突破西方的技術(shù)封鎖和打壓，我國(guó)的一些科技企業(yè)積極實(shí)施了獨(dú)立自主、自力更生的策略，在一些領(lǐng)域取得了驕人的成績(jī)．我國(guó)某科技公司為突破“芯片卡脖子”問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)芯片制造的國(guó)產(chǎn)化，加大了對(duì)相關(guān)產(chǎn)業(yè)的研發(fā)投入．若該公司2020年全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金為120億元，在此基礎(chǔ)上，計(jì)劃以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)9%，則該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200億元的年份是（）參考數(shù)據(jù)：，，．A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年6．已知，是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，則（）A．若，且，則B．若，且，，則C．若且，，則D．若，，，且a，b異面，則7．已知函數(shù)，，總有成立，且的最小值為．若，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）A． B． C． D．8．在等差數(shù)列中，，，，成公比不為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則（）A．1 B． C． D．二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．在等比數(shù)列中，，，，若為的前n項(xiàng)和，為的前n項(xiàng)積，則（）A．為單調(diào)遞增數(shù)列 B．C．為的最大項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)10．下列命題正確的是（）A．若，均為第一象限角且，則B．若為第一象限角，則C．在中，若，則為銳角三角形D．若為銳角三角形，則11．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，且x，y，．記EF與所成角為，EF與平面ABCD所成角為，則（）

A．若，三棱錐的體積為定值B．若，存在，使得平面C．，D．若，則在側(cè)面內(nèi)必存在一點(diǎn)P，使得12．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，，，分別是函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則（）A． B．C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，，，若，，則______．14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若與均為等差數(shù)列，稱數(shù)列具有性質(zhì)P．如時(shí)，其和，或時(shí)，其和，均是具有性質(zhì)P的數(shù)列．請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出一個(gè)除例子之外具有性質(zhì)P的數(shù)列的通項(xiàng)公式______．15．設(shè)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，若，，則不等式的解集為_(kāi)_____．16．印章是我國(guó)傳統(tǒng)文化之一，根據(jù)遺物和歷史記載，至少在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已出現(xiàn)，其形狀多為長(zhǎng)方體、圓柱體等，陜西歷史博物館收藏的“獨(dú)孤信多面體煤精組印”是一枚形狀奇特的印章（如圖1），該形狀稱為“半正多面體”（由兩種或兩種以上的正多邊形所圍成的多面體），每個(gè)正方形面上均刻有不同的印章（圖中為多面體的面上的部分印章）．圖2是一個(gè)由18個(gè)正方形和8個(gè)正三角形圍成的“半正多面體”（其各頂點(diǎn)均在一個(gè)正方體的面上），若該多面體的棱長(zhǎng)均為1，且各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17．（本小題10分）如圖1，“山”形圖是兩個(gè)全等的直角梯形ABCD和ABEF的組合圖，將直角梯形ABEF沿底邊AB翻折，得到圖2所示的幾何體．已知，，，點(diǎn)N在線段CE上，且在幾何體中，解決下面問(wèn)題．（1）證明：平面BND；（2）若平面平面ABCD，證明：．18．（本小題12分）已知是正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，，．（1）若，求正整數(shù)m的值；（2）若，在與之間插入中從開(kāi)始的連續(xù)k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，即為，，，，，，，求的前30項(xiàng)的和．19．（本小題12分)在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S，已知．（1）求角B；（2）若，的周長(zhǎng)為l，求的最大值．20．（本小題12分）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，，，，，為等邊三角形，且平面平面ABCD，O，E分別為AD，PA的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面POC；（2）求平面DOE與平面BOE夾角的余弦值．21．（本小題12分）已知數(shù)列中，，．（1）判斷是否為等比數(shù)列?并求的通項(xiàng)公式；（2）若求數(shù)列的前n項(xiàng)和．22．（本小題12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，既存在極大值，又存在極小值，求a的取值范圍；（3）當(dāng)，時(shí)，，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．答案和解析1．【答案】A【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模、屬于基礎(chǔ)題．首先根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)求法、除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再求復(fù)數(shù)．【解答】解：由，得，所以，故選A．2．【答案】B【解析】【分析】本題考查集合交集運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．先確定集合A中的元素，再由交集定義求解．【解答】解：由題意知，，-1，1，2，所以，0，2，3，故，所以，故選B．3．【答案】B【解析】【分析】本題考查充分、必要條件的判定，以及等比數(shù)列的判定，屬于基礎(chǔ)題．由等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行充分、必要性的判斷．【解答】解：若p成立，當(dāng)時(shí)，由，得，此時(shí)不是等比數(shù)列，故p不是q的充分條件，若q成立，則，，所以，則p是q的必要條件，所以p是q的必要不充分條件，故選B．4．【答案】C【解析】【分析】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．利用不等式的性質(zhì)與特殊值法，逐項(xiàng)分析即可．【解答】解：由不等式的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，A不正確；當(dāng)，，時(shí)，成立，但不成立，故B不正確；對(duì)于C，由條件知，，所以，在兩邊同乘以，得，故C正確；當(dāng)，時(shí)，滿足，但，故D不正確．故選C．5．【答案】C【解析】【分析】本題考查了等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用和對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題．由等比數(shù)列得，由，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果．【解答】解：由題意知，從2020年起，每年投入的研發(fā)資金數(shù)是以1.09為公比的等比數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，則；由，得，兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，所以，所以時(shí)，該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200億元，即研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200億元的年份為2026年．故選C．6．【答案】D【解析】【分析】本題考查空間中平面與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題．根據(jù)面面平行的判定定理及相關(guān)性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò)．【解答】解：對(duì)于A，若，且，則與平行或相交，所以A不正確；對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)a，b是相交直線時(shí)，，所以B不正確；對(duì)于C，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，，所以C不正確；對(duì)于D，若與不平行，則與相交，設(shè)，由，，得，同理可得，所以，與a，b是異面直線矛盾，故D正確．故選D．7．【答案】A【解析】【分析】本題考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．由題可得最小正周期為，求得，再求得，得，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，即可得出．【解答】解：由題意知，的最小正周期為，即，所以，；又，所以，又，所以，則，令，則，所以的圖象的對(duì)稱軸方程是，令，得，即的圖象的一條對(duì)稱軸方程是．故選A．8．【答案】C【解析】【分析】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和，數(shù)列的裂項(xiàng)相消法求和，屬于較難題．根據(jù)題意可得數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和，n分奇偶兩種情況討論可得數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和即可．【解答】解：設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得，解得（舍去0，所以，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則為偶數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則為奇數(shù)，所以，則，所以．故選C．9．【答案】BC【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．先由題設(shè)條件和等比數(shù)列的性質(zhì)得到，再逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證其正誤即可．【解答】解：設(shè)的公比為q，由，，得，顯然．若，由，得，與已知矛盾，故．若，由，得，與已知矛盾，故，又，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，且，故A錯(cuò)誤，B正確；由，及，得，所以為的最大項(xiàng)，故C正確，D錯(cuò)誤．故選BC．10．【答案】BCD【解析】【分析】本題考查象限角，二倍角余弦公式，三角函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題．結(jié)合三角恒等變換、象限角、三角函數(shù)性質(zhì)分析各選項(xiàng)可得答案．【解答】解：對(duì)于A，，，顯然，均為第一象限角且，但，，不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，所以，，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)锳，B為的內(nèi)角，且，所以A，B為銳角，又，所以C為銳角，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，又A，，所以，同理，所以，故D正確．故選BCD．11．【答案】ABC【解析】【分析】本題考查了向量的數(shù)量積，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積，線面平行的判定，異面直線所成角，直線與平面所成的角，屬于較難題．由三棱錐的體積公式判定A；由線面平行的判定判斷B；由線面垂直的判定與性質(zhì)判斷C；建系利用空間向量法判斷D．【解答】解：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，若，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，取AB中點(diǎn)S，CD中點(diǎn)T，連接ST，

根據(jù)平面向量基本定理知，則E在ST上，則，平面BCF，平面BCF，則平面BCF，則E到平面BCF的距離為定值，又的面積為定值，因此四面體的體積為定值，A正確；若，，則點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，過(guò)F作AC的平行線交于點(diǎn)G，設(shè)H為AC與BD的交點(diǎn)，連接GH，

當(dāng)點(diǎn)E在線段AH上，且時(shí)，易得，平面，平面，從而可得平面，故B正確；過(guò)F作，交AD于點(diǎn)M，連接EM，

則，，由平面ABCD，平面ABCD，得，所以，故C正確；若，則點(diǎn)F為的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)，所以，，若，則，即得，易知方程無(wú)解，不存在點(diǎn)P使得，故D錯(cuò)誤．故選ABC．12．【答案】ACD【解析】【分析】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性從而比較函數(shù)值大小，考查學(xué)生的邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化與化歸，綜合性強(qiáng)，是較難題．利用奇函數(shù)定義可得，兩邊求導(dǎo)可判斷A；推出，兩邊求導(dǎo)即可判斷B；推出，可判斷C；由對(duì)稱性可得，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得，恒成立，即有，再利用的單調(diào)性可判斷D．【解答】解：對(duì)于A，是奇函數(shù)，可推出，等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，即成立，故A正確；對(duì)于B，由，有，，∴，∴，故B錯(cuò)；對(duì)于C，，即關(guān)于對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，因的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，設(shè)，則，，又設(shè)，，則有，從而在上遞增，則，即，在上遞增，，故有，恒成立，則，又因在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，又，故，即：，故D正確．故選ACD．13．【答案】-2【解析】【分析】本題考查了平面向量垂直和平行的坐標(biāo)表示，屬于容易題．根據(jù)平面向量垂直和平行的坐標(biāo)表示，即可求出m、n的值，再求和即可．【解答】解：由，，，若，，得，，解得，，所以．14．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合性質(zhì)P，即可判斷．【解答】解：若為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，則，若也為等差數(shù)列，則，即，且，取，則，此時(shí)，具有性質(zhì)P．15．【答案】【解析】【分析】本題主要考查的是函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)解析式的求法，屬于中檔題．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得在R上存在唯一實(shí)數(shù)a使得，，則，從而得到，結(jié)合的單調(diào)性，可求得，即可得的解析式，再解不等式即可．【解答】解：因?yàn)槭嵌x在R上的單調(diào)函數(shù)，所以在R上存在唯一實(shí)數(shù)a，使得，所以，即，令，得，得；因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，且，所以．從而．由，得，解得，故不等式的解集為．16．【答案】【解析】【分析】本題主要考查的是多面體的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積，屬于中檔題．根據(jù)對(duì)稱性可知，多面體的頂點(diǎn)都在正方體表面上，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出外接球的半徑，得到外接球的表面積．【解答】解：由對(duì)稱性知該多面體的各頂點(diǎn)在棱長(zhǎng)為的正方體的表面上，如圖，設(shè)其外接球的球心為O，上面正方形ABCD的中心為，則點(diǎn)O到平面ABCD的距離，又，所以該多面體外接球的半徑，故該球的表面積為．故答案為．17．【答案】解：證明：連接AC交BD于點(diǎn)M，連接MN，因?yàn)?，，所以，又，所以，所以，所以．又平面BND，平面BND，所以平面BND．（2）過(guò)A在平面ABCD內(nèi)作，垂足為H，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平，平面ABCD，所以平面BDE．又平面BDE，所以．因?yàn)椋?，AB，平面ABCD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以．【解析】本題考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系，線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題．（1）先證明，然后由線面平行判定定理即可證明；（2）過(guò)A在平面ABCD內(nèi)作，垂足為H，由題意可推出平面BDE，從而可得，從而證明平面ABCD，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明．18．【答案】解：（1）因?yàn)榍?，所以，即，又，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以．（2）截止到，新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，令，則，所以在的前30項(xiàng)中含有的項(xiàng)有7項(xiàng)，含有的項(xiàng)有項(xiàng)，其中中的7項(xiàng)的和為，中的23項(xiàng)的和為，所以．【解析】本題考查求數(shù)列的遞推式，通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，屬于中檔題．（1）求出數(shù)列的遞推式，得出通項(xiàng)公式，，換底公式得出結(jié)果．

（2）求出新數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，求出，在的前30項(xiàng)中含有的項(xiàng)有7項(xiàng)，含有的項(xiàng)有項(xiàng)，分別求出各自和可得．19．【答案】解：（1）因?yàn)椋?，即，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，又，所以．?）由余弦定理，得，即，所以，即，因?yàn)?，，所以，所以，?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

即的最大值為．【解析】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．（1）根據(jù)的面積公式得，再利用正弦定理的應(yīng)用求出B的值；（2）余弦定理求得，再利用基本不等式可求的最大值．20．【答案】解：（1）證明：取BC的中點(diǎn)F，連接OF，則，又，，所以，所以，所以，即．因?yàn)闉榈冗吶切危c(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，因?yàn)?，，PO，平面POB，所以平面POB．

又平面POC，所以平面平面POC．（2）解：由（1）知，OB，OC，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，

因?yàn)椋現(xiàn)為BC的中點(diǎn)，且，，所以，，，則，，，，，所以，，，設(shè)平面DOE的一個(gè)法向量為，則，取，則，，故，設(shè)平面BOE的一個(gè)法向量為，則，取，則，，故，設(shè)平面DOE與平面BOE夾角為，由圖可知平面DOE與平面BOE夾角為銳角，所以，故平面DOE與平面BOE夾角的余弦值為．【解析】本題主要考查的是線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，面面垂直的判定，利用空間向量求二面角，屬于中檔題．（1）利用平面幾何的性質(zhì)可得，根據(jù)線面垂直的判定可得平面ABCD，得到平面POB，由面面垂直的判定即可證明．（2）以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)