2023-2024學(xué)年黑龍江省雞西市密山市第四中學(xué)高二上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省雞西市密山市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．書寫要規(guī)范，不要亂涂亂改.2．答題卡要涂滿，避免漏涂、涂串行等類似錯(cuò)誤的發(fā)生.3．注意考試時(shí)間，合理安排答題順序.4．有印刷不清晰看不清圖的及時(shí)舉手報(bào)告.試卷分值：120分考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題（共8題，每題5分，滿分40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由補(bǔ)集的定義可知，，故選：A．2.已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，可得因?yàn)?，所以解得，所?故選：A.3.已知R，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則，則成立．而當(dāng)且時(shí)，滿足，但不成立；“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計(jì)算?各種等差數(shù)列問題的解決?某些不定方程問題求解等.書中記載如下問題：“今有女子善織，日增等尺，初日織五尺，三十日共織390尺，問日增幾何？”那么此女子每日織布增長(zhǎng)（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺〖答案〗C〖解析〗設(shè)每日織布增長(zhǎng)x尺，則，即，解得.故選：C.5.甲、乙為完全相同的兩個(gè)不透明袋子，袋內(nèi)均裝有除顏色外完全相同的球．甲袋中裝有5個(gè)白球，7個(gè)紅球，乙袋中裝有4個(gè)白球，2個(gè)紅球．從兩個(gè)袋中隨機(jī)抽取一袋，然后從所抽取的袋中隨機(jī)摸出1球，則摸出的球是紅球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件為“取出甲袋”,事件為“取出紅球”,分兩種情況進(jìn)行討論.若取出的是甲袋,則,依題意可得,所以，若取出的是乙袋,則,依題意可得,，所以，綜上所述,摸出的球是紅球的概率為.故選：B.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且記，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，，，，若，則，即，解得，與已知矛盾，故A不成立；B選項(xiàng)，，，，，所以B成立；

C選項(xiàng)，若成立，則，，，滿足條件，故C可能成立．

D選項(xiàng)，，若，則，

，，，，與題設(shè)矛盾，故D不可能成立．故選：BC．7.已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.，，則B.，，，，則C.，，，則D.，，，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，，，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，，則或相交，只有加上條件相交，結(jié)論才成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，無法得到，只有加上條件才能得出結(jié)論，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，又因?yàn)?，所以，D正確.故選:D.8.設(shè)a，b為正數(shù)，若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則最小值為（）A.9 B.8 C.6 D.10〖答案〗A〖解析〗圓，即，所以圓心為，所以，即，因?yàn)?、，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題（答對(duì)1個(gè)得1.5分，全答對(duì)得3分，答錯(cuò)不得分，滿分12分）9.已知平面與平面平行，若是平面的一個(gè)法向量，則平面的法向量可能為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗設(shè)平面的法向量可能為，則由題意可得，對(duì)于選項(xiàng)，，滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)，無解，所以不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)，無解，所以不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，，滿足題意．故選：AD．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.的最小正周期為B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.當(dāng)時(shí)，的最大值為1D.在區(qū)間上有且僅有7個(gè)零點(diǎn)〖答案〗BC〖解析〗由題可知，，，，即，，，故，，，的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；，即，故B正確；，當(dāng)時(shí)，，故C正確；令，，零點(diǎn)可取值為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；故在區(qū)間上有且僅有8個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，公差，且記，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，，，，若，則，即，解得，與已知矛盾，故A不成立；B選項(xiàng)，，，，，所以B成立；

C選項(xiàng)，若成立，則，，，滿足條件，故C可能成立．

D選項(xiàng)，，若，則，

，，，，與題設(shè)矛盾，故D不可能成立．故選：BC．12.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，是的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接PB，PC，F(xiàn)是線段PB的中點(diǎn)，在翻折到的過程中，下列說法正確的是（）A.存在某個(gè)位置，使得 B.的長(zhǎng)度為定值C.四棱錐的體積的最大值為 D.直線與平面所成角的正切值的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，假設(shè)，又，平面，所以平面，又平面，所以．在中，，所以與不可能垂直，故A錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示，因?yàn)镕是線段PB的中點(diǎn)，G是PA的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，故B正確；當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積最大，過作的垂線，垂足為，所以，，，，所以，因平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即是四棱錐的高，所以，故C正確；當(dāng)平面平面時(shí)，直線與平面所成角的正切值取得最大值，此時(shí)，所以，故D正確．故選：BCD．三、填空題（共4題，每空3分，滿分12分）13.已知：，，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，的最小值是故〖答案〗為：14.10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法有______種〖答案〗420〖解析〗先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排有種選法，調(diào)整后前排有5個(gè)人，把2人在5個(gè)位置選2個(gè)進(jìn)行排列由種站法，其他3人的相對(duì)順序不變站到剩余3個(gè)位置，按照乘法計(jì)數(shù)原理得總共有種方法.故〖答案〗為：42015.在三棱錐中，平面，則二面角的正切值為___________.〖答案〗2〖解析〗因?yàn)槠矫妫矫?、平?所以，.在中：;在中：;在中：.在中：.所以二面角的余弦值.正弦值.所以二面角的正切值.故〖答案〗為：2.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，有，

所以，即，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，?/p>

得，因此．由恒成立得恒成立，

因?yàn)?，所以，即，所以．故〖答案〗為：．四、解答題（滿分56分）17.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，平分線交于點(diǎn)，且．求的面積．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，即，所以，又，所以，所以，則，又，所以.（2）由題意，得，又，所以，即，由余弦定理得，即，于是，解得或（舍），所以．18.如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的一點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)B到平面DFE距離.解：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得，，，.，.因?yàn)椋?（2），設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所?由題設(shè)，可得，所以.點(diǎn)B到DFE平面距離.19.某市工業(yè)部門計(jì)劃對(duì)所轄中小型企業(yè)推行節(jié)能降耗技術(shù)改造，下面是對(duì)所轄的400家企業(yè)是否支持技術(shù)改造進(jìn)行的問卷調(diào)查的結(jié)果：支持不支持合計(jì)中型企業(yè)602080小型企業(yè)180140320合計(jì)240160400（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)模”有關(guān)；（2）從上述支持技術(shù)改造的中小型企業(yè)中，按分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12家企業(yè)，然后從這12家企業(yè)中隨機(jī)選出9家進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，中型企業(yè)每家獎(jiǎng)勵(lì)60萬元，小型企業(yè)每家獎(jiǎng)勵(lì)20萬元．設(shè)為所發(fā)獎(jiǎng)勵(lì)的總金額（單位：萬元），求的分布列和均值．附：，．解：（1）零假設(shè)為：“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)模”無關(guān)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為“支持節(jié)能降耗技術(shù)改造”與“企業(yè)規(guī)模”有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于．（2）由（1）可知支持節(jié)能降耗技術(shù)改造的企業(yè)中，中型企業(yè)與小型企業(yè)的數(shù)量比為．所以按分層隨機(jī)抽樣的方法抽出的12家企業(yè)中有3家中型企業(yè)，9家小型企業(yè)．選出的9家企業(yè)的樣本點(diǎn)是，，，（前者為中型企業(yè)家數(shù)，后者為小型企業(yè)家數(shù)）．故的所有可能取值為180，220，260，300．，，，，故的分布列為180220260300的均值為．20.已知拋物線，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)的橫坐標(biāo)不為0），過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為．（1）證明：直線過定點(diǎn)；（2）若以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求四邊形的面積．解：（1）設(shè)，，，因?yàn)椋瑒t，所以，則切線的斜率為，故，整理得，同理可得，故直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).（2）由（1）知直線的方程為，，，由整理得，于是，，，則，故．設(shè)，分別為點(diǎn)，到直線的距離，則，，四邊形的面積，設(shè)為線段的中點(diǎn)，則．由，得，解得，將代入式解得，故四邊形的面積為．黑龍江省雞西市密山市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．書寫要規(guī)范，不要亂涂亂改.2．答題卡要涂滿，避免漏涂、涂串行等類似錯(cuò)誤的發(fā)生.3．注意考試時(shí)間，合理安排答題順序.4．有印刷不清晰看不清圖的及時(shí)舉手報(bào)告.試卷分值：120分考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題（共8題，每題5分，滿分40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由補(bǔ)集的定義可知，，故選：A．2.已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，可得因?yàn)椋越獾?，所?故選：A.3.已知R，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則，則成立．而當(dāng)且時(shí)，滿足，但不成立；“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計(jì)算?各種等差數(shù)列問題的解決?某些不定方程問題求解等.書中記載如下問題：“今有女子善織，日增等尺，初日織五尺，三十日共織390尺，問日增幾何？”那么此女子每日織布增長(zhǎng)（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺〖答案〗C〖解析〗設(shè)每日織布增長(zhǎng)x尺，則，即，解得.故選：C.5.甲、乙為完全相同的兩個(gè)不透明袋子，袋內(nèi)均裝有除顏色外完全相同的球．甲袋中裝有5個(gè)白球，7個(gè)紅球，乙袋中裝有4個(gè)白球，2個(gè)紅球．從兩個(gè)袋中隨機(jī)抽取一袋，然后從所抽取的袋中隨機(jī)摸出1球，則摸出的球是紅球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)事件為“取出甲袋”,事件為“取出紅球”,分兩種情況進(jìn)行討論.若取出的是甲袋,則,依題意可得,所以，若取出的是乙袋,則,依題意可得,，所以，綜上所述,摸出的球是紅球的概率為.故選：B.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且記，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，，，，若，則，即，解得，與已知矛盾，故A不成立；B選項(xiàng)，，，，，所以B成立；

C選項(xiàng)，若成立，則，，，滿足條件，故C可能成立．

D選項(xiàng)，，若，則，

，，，，與題設(shè)矛盾，故D不可能成立．故選：BC．7.已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.，，則B.，，，，則C.，，，則D.，，，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，，，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，，則或相交，只有加上條件相交，結(jié)論才成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，無法得到，只有加上條件才能得出結(jié)論，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，又因?yàn)椋?，D正確.故選:D.8.設(shè)a，b為正數(shù)，若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則最小值為（）A.9 B.8 C.6 D.10〖答案〗A〖解析〗圓，即，所以圓心為，所以，即，因?yàn)椤?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題（答對(duì)1個(gè)得1.5分，全答對(duì)得3分，答錯(cuò)不得分，滿分12分）9.已知平面與平面平行，若是平面的一個(gè)法向量，則平面的法向量可能為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗設(shè)平面的法向量可能為，則由題意可得，對(duì)于選項(xiàng)，，滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)，無解，所以不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)，無解，所以不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，，滿足題意．故選：AD．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.的最小正周期為B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.當(dāng)時(shí)，的最大值為1D.在區(qū)間上有且僅有7個(gè)零點(diǎn)〖答案〗BC〖解析〗由題可知，，，，即，，，故，，，的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；，即，故B正確；，當(dāng)時(shí)，，故C正確；令，，零點(diǎn)可取值為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；故在區(qū)間上有且僅有8個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，公差，且記，，，下列等式可能成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，，，，若，則，即，解得，與已知矛盾，故A不成立；B選項(xiàng)，，，，，所以B成立；

C選項(xiàng)，若成立，則，，，滿足條件，故C可能成立．

D選項(xiàng)，，若，則，

，，，，與題設(shè)矛盾，故D不可能成立．故選：BC．12.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，是的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接PB，PC，F(xiàn)是線段PB的中點(diǎn)，在翻折到的過程中，下列說法正確的是（）A.存在某個(gè)位置，使得 B.的長(zhǎng)度為定值C.四棱錐的體積的最大值為 D.直線與平面所成角的正切值的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，假設(shè)，又，平面，所以平面，又平面，所以．在中，，所以與不可能垂直，故A錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示，因?yàn)镕是線段PB的中點(diǎn)，G是PA的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，故B正確；當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積最大，過作的垂線，垂足為，所以，，，，所以，因平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即是四棱錐的高，所以，故C正確；當(dāng)平面平面時(shí)，直線與平面所成角的正切值取得最大值，此時(shí)，所以，故D正確．故選：BCD．三、填空題（共4題，每空3分，滿分12分）13.已知：，，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，的最小值是故〖答案〗為：14.10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法有______種〖答案〗420〖解析〗先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排有種選法，調(diào)整后前排有5個(gè)人，把2人在5個(gè)位置選2個(gè)進(jìn)行排列由種站法，其他3人的相對(duì)順序不變站到剩余3個(gè)位置，按照乘法計(jì)數(shù)原理得總共有種方法.故〖答案〗為：42015.在三棱錐中，平面，則二面角的正切值為___________.〖答案〗2〖解析〗因?yàn)槠矫妫矫?、平?所以，.在中：;在中：;在中：.在中：.所以二面角的余弦值.正弦值.所以二面角的正切值.故〖答案〗為：2.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，有，

所以，即，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，因?yàn)椋?，?/p>

得，因此．由恒成立得恒成立，

因?yàn)椋?，即，所以．故〖答案〗為：．四、解答題（滿分56分）17.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，平分線交于點(diǎn)，且．求的面積．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，即，所以，又，所以，所以，則，又，所以.（2）由題意，得，又，所以，即，由余弦定理得，即，于是，解得或（舍），所以．18.如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的一點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)B到平面DFE距離.解：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得，，，.，.因?yàn)?，所?（2），設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?由題設(shè)，可得，所以.點(diǎn)B到