不等關(guān)系與比較大小 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

不等關(guān)系與比較大小

安徽淮南第四中學(xué)2024.6教學(xué)目標(biāo)素養(yǎng)目標(biāo)1.通過具體情景，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量不等關(guān)系，理解不等式（組）的實(shí)際背景，掌握作差法比較大小.數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2.通過解決具體問題，學(xué)會依據(jù)具體問題的實(shí)際背景分析問題、解決問題的方法.3.通過解決具體問題，體會數(shù)學(xué)在生活中的重要作用，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.重點(diǎn)：理解不等式（組）的實(shí)際背景，掌握作差法比較大小.難點(diǎn)：理解不等式（組）的實(shí)際背景，掌握作差法比較大小.本章，我們將在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過具體的實(shí)例理解不等式，認(rèn)識不等關(guān)系與不等式的意義與價值；在梳理等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過類比，研究不等式的性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)研究一類重要不等式--基本不等式；通過從實(shí)際情景中抽象一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義，理解一元二次不等式的概念，并利用二次函數(shù)、方程和不等式的關(guān)系解決一元二次不等式相關(guān)的問題，從而進(jìn)一步體會函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)一方程和不等式的數(shù)學(xué)思想方法。

情

境

導(dǎo)

入在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中,大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系快與慢問題1：你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？60≤v≤120(1)某段高速公路限速(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)含量p應(yīng)不少于2.3%；(3)三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊ABCabca+b＞ca-b＜c(4)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.CD＜CE

以上我們根據(jù)實(shí)際問題所蘊(yùn)含的不等關(guān)系抽象出了不等式.接著，就可以用不等式研究相應(yīng)問題了.CABDE┏知識點(diǎn)一

不等關(guān)系與不等式在數(shù)學(xué)中，我們用不等式來表示不等關(guān)系.文字語言數(shù)學(xué)符號文字語言大于＞大于，高于，超過小于＜

小于，低于，少于大于或等于≥至少，不少于，不低于小于或等于≤至多,不多于,不超過不等式a≥b或a≤b的含義(1)不等式a≥b含義是指“a>b,或者a=b”,等價于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一個正確,則a≥b正確.(2)不等式a≤b含義是指“a<b,或者a=b”,等價于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一個正確,則a≤b正確.

某礦山車隊(duì)有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，且有9名駕駛員，此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛知識點(diǎn)二實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí)關(guān)于實(shí)數(shù)a,b的大小，有以下基本事實(shí)：如果a-b是正數(shù)，那么a＞b;如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a＜b.基本事實(shí)也可以表示為：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.

提醒

(1)利用作差法比較大小,只需判斷差的符號,至于差的值是多少無關(guān)緊要,通常將差化為完全平方的形式或多個因式的積的形式;(2)對于兩個正值,也可采用作商的方法,比較商與1的大小;(3)對于某些問題也可采用取中間值的方法比較大小.作差法比較兩數(shù)(式)的大小的最基本和首選的方法例１比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)作差=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)整理=2＞0判定符號所以(x+2)(x+3)＞(x+1)(x+4)．例2已知方程x2+4x+m=0兩個實(shí)根為x1，x2，將A=x12+x22，B=x1x2(x1+x2)表示為m的代數(shù)式，并比較A與B的大小由題意得x1+x2=-4，x1x2=m，且△=16-4m≥0，即m≤4A=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-2m，B=x1x2(x1+x2)=-4m，A-B=16+2m，當(dāng)-8＜m≤4時，16+2m＞0，A＞Bm=-8時，16+2m=0，A=Bm＜-8時，16+2m＜0，A＜B知識點(diǎn)三重要不等式一般地,?a,b∈R,有a2＋b2≥

2ab

?,當(dāng)且僅當(dāng)

a＝b

?時,等號成立.2ab

a＝b

題型一用不等式(組)表示不等關(guān)系1.（2023·全國·高一專題練習(xí)）完成一項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則請工人滿足的關(guān)系式是()A.5x+4y＜200B.5x+4y≥200C.5x+4y=200

D.5x+4y≤200

依題意滿足50x+40y≤2000

2.某汽車公司因發(fā)展需要,需購進(jìn)一批汽車,計劃使用不超過1000萬元的資金購買單價分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車,根據(jù)需要,A型汽車至少買5輛,B型汽車至少買6輛,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式(組).設(shè)購買A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛,則題型二作差法比較兩數(shù)(式)的大小（2023·全國·高一專題練習(xí)）(1)已知x＜1，比較x3-1與2x2-2x的大小(2)已知a＞0，試比較a與

的大小解析：(1)

(x3-1)-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2-x+1)因?yàn)閤＜1，x2-x+1＞0，所以x3-1＜2x2-2x又a＞0，a+1＞0，若a＞1，則a-1＞0，a＞若a=1，則a-1=0，a=若a＜1，則a-1＜0，a＜若a＜0,b＜0,則p