微專題提優(yōu)講義8 余弦定理的奧秘答案

微專題提優(yōu)講義8余弦定理的奧秘余弦定理對(duì)于已知兩邊及其夾角、已知三邊或已知兩角及一對(duì)邊求解三角形的問(wèn)題起著很重要的作用，定理豐富的內(nèi)涵也是命題者命制試題的來(lái)源.下面以三角形中角A的余弦公式cosA＝b2＋c2一、乘法公式價(jià)值高，模型構(gòu)造威力顯觀察角A的余弦公式，發(fā)現(xiàn)分子為b2＋c2－a2，變形可得（b＋c）2－a2－2bc.由此可利用乘法公式設(shè)計(jì)構(gòu)造出平方差公式，再變形構(gòu)造出余弦公式.【例1】在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且（b－c）·（sinB＋sinC）＝（a－3c）·sinA，則角B的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.120°解析：A由正弦定理得（b－c）·（sinB＋sinC）＝（a－3c）·sinA可化為（b－c）（b＋c）＝（a－3c）a，化簡(jiǎn)得到b2－c2＝a2－3ac，即a2＋c2－b2＝3ac，可以得到a2＋c2－b22二、平方關(guān)系真給力，夾角范圍確定易觀察角A的余弦公式，發(fā)現(xiàn)分子為b2＋c2－a2，比較分子與0的大小，可得：當(dāng)b2＋c2＞a2時(shí)，cosA＞0，此時(shí)角A為銳角；當(dāng)b2＋c2＝a2時(shí)，cosA＝0，此時(shí)角A為直角；當(dāng)b2＋c2＜a2時(shí)，cosA＜0，此時(shí)角A為鈍角.【例2】在非等邊△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a為最大邊，如果sin2（B＋C）＜sin2B＋sin2C，則角A的取值范圍為（π3，π2）解析：由于sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sinA，所以sin2（B＋C）＜sin2B＋sin2C可轉(zhuǎn)化為sin2A＜sin2B＋sin2C，由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＞0，即0＜A＜π2.又因?yàn)椤鰽BC非等邊，且a為最大邊，所以A＞π3，則有π3＜三、周長(zhǎng)面積“影子”現(xiàn)，相互依存和諧見(jiàn)余弦公式通過(guò)變形可得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝（b＋c）2－a2－2bc2bc，從公式中我們可以找到【例3】已知△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cosB＝1517，a＋c＝6，三角形的面積為2，則b＝2解析：因?yàn)閏osB＝1517得sinB＝817，又因?yàn)槿切蔚拿娣e為2，即S＝12acsinB＝2，ac＝2SsinB＝4817＝172，又a＋c＝6，所以有cosB＝a2＋四、和、積合作有情意，兩根關(guān)系來(lái)設(shè)計(jì)余弦公式通過(guò)變形可得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝（b【例4】△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知三角形的兩邊a，b為一元二次方程x2－3x＋1＝0的兩個(gè)根且?jiàn)A角C為60°，則三角形的周長(zhǎng)為3＋6.解析：由a，b為一元二次方程x2－3x＋1＝0的兩個(gè)根，可得a＋b＝3，ab＝1.又由cosC＝a2＋b2－c22ab＝（a＋b）2－c2－2五、加法、乘法巧聯(lián)系，最值獲取最省力由于cosA＝b2＋c2－a22bc＝（b＋c）2－a2－2bc2bc，公式中含有bc與b＋【例5】△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，c＝3，求當(dāng)ab取得最大值時(shí)，三角形的面積.解：由（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，得（a＋b）2－c2＝ab，則有a2＋b2－3＝－ab，即3－ab＝a2＋b2，由基本不等式可得，3－ab＝a2＋b2≥2ab，得ab≤1（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)）.又由a2＋b2－c2＝－ab，得cosC＝a2＋b2－c所以sinC＝32當(dāng)ab取得最大值1時(shí)，S△ABC＝12absinC＝12×1×32練習(xí)1.已知△ABC的外接圓半徑為4，sinB+sinC=34A．558 B．C．215564 詳解：由sinB+sinC=解得sinB=由正弦定理可得b=2RsinB=3，所以B=C，sinA=∴S2.（多選）在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知cosBcosC=A．cosB=12C．a(chǎn)+c=23 D．詳解：∵cos由正弦定理可得cosB整理可得sinB所以sinB∵A為三角形內(nèi)角，sinA≠0∴cosB=12，∵B∈(0,∵S△ABC=3∴334由余弦定理b2=a解得a+c=23或a+c=?23.（多選）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B的值為（）A． B． C． D．詳解：根據(jù)余弦定理可知，代入，可得，即，因?yàn)?，所以?4.分別為內(nèi)角的對(duì)邊．已知，則的最小值為．詳解：由余弦定理得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為5．已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，