2025版新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.1直線的傾斜角與斜率2.1.1傾斜角與斜率素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊

A組·基礎(chǔ)自測一、選擇題1．下圖中，α能表示直線l的傾斜角大小的是(C)A．① B．①②C．①③ D．②④[解析]①③中直線的傾斜角為α，故選C.2．若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(D)A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2[解析]直線l2，l3的傾斜角為銳角，且直線l2的傾斜角大于直線l3的傾斜角，所以0<k3<k2.直線l1的傾斜角為鈍角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.3．已知直線過A(3，m＋1)，B(4,2m＋1)，且傾斜角為eq\f(5π,6)，則m的值為(C)A．－eq\r(3) B．eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),3)[解析]依據(jù)題意，直線AB的傾斜角為eq\f(5π,6)，則其斜率k＝taneq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),3).又點(diǎn)A(3，m＋1)，B(4,2m＋1)，則直線AB的斜率k＝eq\f(2m＋1－m＋1,4－3)＝m，所以m＝－eq\f(\r(3),3).故選C.4．已知點(diǎn)A(2，－1)，B(3，m)，若m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，則直線AB的傾斜角的取值范圍為(B)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))[解析]設(shè)直線AB的傾斜角為α，則直線AB的斜率k＝eq\f(m＋1,3－2)＝m＋1，又m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，則k的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\r(3)))，即tanα的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\r(3)))，又0≤α<π，則α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).5．(多選題)下列說法中，正確的是(CD)A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanαB．一條直線的傾斜角為－30°C．若直線的傾斜角為α，則sinα≥0D．隨意直線都有傾斜角α，且α≠90°時，斜率為tanα[解析]依據(jù)題意，依次分析選項：對于A，直線的傾斜角為α，當(dāng)α＝90°時，斜率不存在，A錯誤；對于B，直線的傾斜角的范圍為[0°，180°)，B錯誤；對于C，直線的傾斜角的范圍為[0°，180°)，則有sinα≥0，C正確；對于D，隨意直線都有傾斜角α，且α≠90°時，斜率為tanα，D正確．二、填空題6．已知點(diǎn)A(n，－n－3)，B(2，n－1)，C(－1,4)，若直線AC的斜率是直線BC的斜率的3倍，則實(shí)數(shù)n的值為_1或2__.[解析]由題意知n≠－1，直線AC的斜率為eq\f(4＋n＋3,－1－n)，直線BC的斜率為eq\f(4－n－1,－1－2)，所以eq\f(n＋7,－1－n)＝3×eq\f(5－n,－3)，整理得n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2.7．已知A(2,4)，B(1,1)兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)C(0,2)且與線段AB相交，直線l的斜率k的取值范圍是_[－1,1]__.[解析]依據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示．∵直線AC的斜率kAC＝eq\f(4－2,2－0)＝1，直線BC的斜率kBC＝eq\f(1－2,1－0)＝－1，∴當(dāng)kBC≤k≤kAC時，直線l與線段AB相交．∴斜率k的取值范圍是[－1,1]．8．直線l經(jīng)過點(diǎn)(－1,0)，傾斜角為150°，若將直線l繞點(diǎn)(－1,0)逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到直線l′，則直線l′的傾斜角為_30°__，斜率為eq\f(\r(3),3).[解析]如圖所示，因為直線l的傾斜角為150°，所以繞點(diǎn)(－1,0)逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，所得直線l′的傾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°，斜率k＝tanα＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).三、解答題9．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動時，求直線AD的斜率的變更范圍．[解析](1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7).直線AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3).故直線AB的斜率為eq\f(1,7)，直線AC的斜率為eq\f(5,3).(2)如圖所示，當(dāng)D由B運(yùn)動到C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直線AD的斜率的變更范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)若兩直線l1，l2的傾斜角分別為α1，α2，則下列四個命題中錯誤的是(ABC)A．若α1＜α2，則兩直線的斜率：k1＜k2B．若α1＝α2，則兩直線的斜率：k1＝k2C．若兩直線的斜率：k1＜k2，則α1＜α2D．若兩直線的斜率：k1＝k2，則α1＝α2[解析]當(dāng)α1＝30°，α2＝120°，滿足α1＜α2，但是兩直線的斜率k1＞k2，選項A說法錯誤；當(dāng)α1＝α2＝90°時，直線的斜率不存在，無法滿足k1＝k2，選項B說法錯誤；若直線的斜率k1＝－1，k2＝1，滿足k1＜k2，但是α1＝135°，α2＝45°，不滿足α1＜α2，選項C說法錯誤；若k1＝k2說明斜率確定存在，則必有α1＝α2，選項D正確．2．若直線經(jīng)過A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角α的取值范圍是(D)A．0°≤α＜180°B．45°≤α＜90°或90°＜α＜180°C．0°≤α≤45°D．0°≤α≤45°或90°＜α＜180°[解析]過A(2,1)，B(1，m2)兩點(diǎn)直線l的斜率k＝tanα＝eq\f(m2－1,1－2)＝1－m2，因為m2≥0，所以1－m2≤1，因為0°≤α＜180°，所以0°≤α≤45°或90°＜α＜180°，故選D.3．將直線l向右平移4個單位，再向下平移5個單位后仍回到原來的位置，則此直線的斜率為(C)A.eq\f(5,4) B．eq\f(4,5)C．－eq\f(5,4) D．－eq\f(4,5)[解析]設(shè)點(diǎn)P(a，b)是直線l上的隨意一點(diǎn)，當(dāng)直線l按題中要求平移后，點(diǎn)P也做同樣的平移，平移后的坐標(biāo)為(a＋4，b－5)，由題意知，這兩點(diǎn)都在直線l上，∴直線l的斜率為k＝eq\f(b－5－b,a＋4－a)＝－eq\f(5,4).二、填空題4．已知某直線l的傾斜角α＝45°，又P1(2，y1)、P2(x2,5)、P3(3,1)是此直線上的三點(diǎn)，則x2＋y1＝_7__.[解析]∵α＝45°，∴直線l的斜率k＝tan45°＝1，又P1，P2，P3都在此直線上，故kP1P3＝kP2P3＝k，即eq\f(1－y1,3－2)＝eq\f(1－5,3－x2)＝1，解得x2＝7，y1＝0.∴x2＋y1＝7.5．光線從點(diǎn)A(－2，eq\r(3))射到x軸上的B點(diǎn)后，被x軸反射，這時反射光線恰好過點(diǎn)C(1,2eq\r(3))，則光線BC所在直線的傾斜角為_60°__.[解析]點(diǎn)A(－2，eq\r(3))關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(－2，－eq\r(3))由物理學(xué)問知kBC＝kA′C＝eq\f(2\r(3)－－\r(3),1－－2)＝eq\r(3)，所以所求傾斜角為60°.三、解答題6．過點(diǎn)A(2,1)，B(m,3)的直線的傾斜角α的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]由直線的傾斜角α的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))得，直線的斜率存在時，有k≤－1或k≥1又kAB＝eq\f(3－1,m－2)＝eq\f(2,m－2)，所以eq\f(2,m－2)≤－1或eq\f(2,m－2)≥1，解得0≤m＜2或2＜m≤4.當(dāng)直線的斜率不存在時，m＝2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0,4]．C組·實(shí)力拓展點(diǎn)M(x，y)在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上，當(dāng)x∈[2,5]時，求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍．[解析]eq\f(y＋1,x＋1)＝eq\f(y－－1,x－－1)的幾何意義是過M(x，y)，N