七年級數(shù)學下冊-第09講 多項式乘多項式（6種題型+強化訓練）（解析版）

第09講多項式乘多項式理解多項式乘多項式運算的算理，會進行多項式乘多項式的運算（僅指一次式之間以及一次式與二次式之間相乘）；經(jīng)歷探究多項式乘多項式運算法則的過程，感悟數(shù)與形的關系，體驗轉化思想，知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性．多項式乘多項式法則:多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加用字母表示為(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn.2.多項式與多項式相乘的幾何解釋如圖大長方形的面積可以表示為(a+b)(m+n)，也可以將大長方形的面積視為四個小長方形的面積之和，am+an+bm+bn.所以(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.3.拓展:本法則也適用于多個多項式相乘，按順序先將前兩個多項式相乘，再把乘積和第三個多項式相乘，以此類推4.易錯警示:(1)在多項式的乘法運算中,容易漏乘項.(2)計算結果中還有同類項沒有合并題型一:利用多項式乘多項式法則計算1．（2023下·江蘇·七年級專題練習）計算：．【答案】【分析】根據(jù)多項式乘多項式的運算法則即可得．【詳解】．【點睛】本題考查了整式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．2．（2023下·江蘇·七年級專題練習）計算：．【答案】【分析】直接根據(jù)多項式乘以多項式的法則進行計算；先去括號，再合并同類項．【詳解】解：【點睛】本題考查了多項式乘以多項式；根據(jù)乘法分配律，去括號，再合并同類項是關鍵．題型二：先化簡再求值3．（2023下·江蘇·七年級專題練習）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】根據(jù)多項式的乘法進行化簡，然后將字母的值代入進行計算即可求解．【詳解】解：原式；當時，原式．【點睛】本題考查了多項式的乘法的化簡求值，正確的去括號是解題的關鍵．題型三：利用多項式乘多項式的積中項的特征求待定字母的值4．（2023下·江蘇·七年級專題練習）已知的展開式中不含項，項的系數(shù)為，求的值．【答案】【分析】根據(jù)多項式乘以多項式進行計算，根據(jù)展開式中不含項，得出，，進而即可求解．【詳解】解：∵展開式中不含項，項的系數(shù)為，∴，，整理得：，∴．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，掌握多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．5．（2023下·江蘇揚州·七年級校考階段練習）學習代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題“代數(shù)式的值與的取值無關，求的值”，通常的解題方法是：把、看作字母，看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與的取值無關，所以含項的系數(shù)為0，即原式，所以，則．【理解應用】(1)若關于的多項式的值與的取值無關，求值；(2)已知，，且的值與無關，求的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由題可知代數(shù)式的值與的取值無關，所以含項的系數(shù)為0，故將多項式整理為，令系數(shù)為0，即可求出；（2）根據(jù)整式的混合運算順序和法則化簡可得，根據(jù)其值與無關得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：，其值與的取值無關，，解得，，答：當時，多項式的值與的取值無關；（2），，，的值與無關，，即．【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式，整式的化簡求值，熟練掌握整式的混合運算順序和法則及由題意得出相關的方程是解題的關鍵．6．（2023下·江蘇·七年級期中）已知多項式與的乘積不含和兩項．求代數(shù)式的值．【答案】2【分析】先計算，根據(jù)乘積不含和兩項，求出的值，再代入代數(shù)式進行計算即可．【詳解】解：，；∵乘積不含和兩項，∴，∴，∴．【點睛】本題考查多項式乘積不含某項的問題．熟練掌握多項式乘多項式法則，是解題的關鍵．題型四：利用整式的乘法解方程7．（2023下·浙江·七年級專題練習）若，求的值．【答案】【分析】本題考查了多項式的乘法法則以及多項式相等的條件，理解多項式的乘法法則是關鍵．首先把利用多項式的乘法公式展開，然后根據(jù)多項式相等的條件：對應項的系數(shù)相同即可得到m、n的值，從而求解．【詳解】解：，則，解得：．．題型五：利用整式乘法解決看錯類問題8．（2023上·重慶·七年級校聯(lián)考期中）小馬虎做一道數(shù)學題“兩個多項式A，B，已知，試求的值”．小馬虎將看成，結果答案（計算正確）為．(1)當時，求多項式A的值；(2)若多項式，且滿足的結果不含項和x項，求m，n的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查整式的加減，解題的關鍵是掌握整式的加減法則．（1）將錯就錯，把與錯誤結果代入確定即可；（2）化簡，根據(jù)不含項和x項求出結果．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，當時，原式；（2）解：，，，結果不含x2項和x項，，．9．（2023下·江蘇·七年級期中）在計算時，甲把b錯看成了6，得到結果是：；乙錯把a看成了，得到結果：．(1)求出a，b的值；(2)在（1）的條件下，計算的結果．【答案】(1)，(2)【分析】(1)根據(jù)題意可得出，，求出a、b的值即可；(2)把a、b的值代入，再根據(jù)多項式乘以多項式法則計算即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，，所以，，，解得：，；（2）解：把，代入，得．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，等式的性質(zhì)，能正確運用多項式乘以多項式法則進行計算是解此題的關鍵．題型五：利用數(shù)形結合思想巧解整式的運算10．（2023下·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示．例如：就可以用圖（1）或圖（2）等圖形的面積表示．

(1)請寫出圖（3）所表示的代數(shù)恒等式：________；(2)試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示等式；(3)請仿照上述方法另寫一個含有的代數(shù)恒等式，并畫出與之對應的幾何圖形．【答案】(1)(2)見解析(3)，圖見解析【分析】（1）圖（3）中大長方形的長為，寬為，根據(jù)題意列出恒等式；（2）設計一個長方形的長為，寬為的大長方形即可；（3）設計一個長方形的長為，寬為的大長方形即可．【詳解】（1）解：；（2）解：如圖所示：

；（3）解：恒等式，如圖所示：

．【點睛】本題主要考查了多項式乘法的幾何背景，應從整體和部分兩方面來理解多項式乘法的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析．11．（2023下·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習）小蘭和小玲玩紙片拼圖游戲，發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式．比如圖②可以解釋為：．

(1)圖③可以解釋為等式：_________；(2)請在虛線框中用圖①中的基本圖形若干塊（每種至少用一次）拼成一個長方形，使拼出的長方形面積為，并標出此長方形的長和寬；(3)如圖④，大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，若用表示四個長方形的兩邊長，觀察圖案，指出以下關系式：①；②；③；④，其中正確的有（

）．A．個

B．個

C．個

D．個【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)③中圖形確定邊長，可求出面積，根據(jù)①中圖形的面積，因為面積相等，由此即可求解；（2）根據(jù)長方形面積可確定有個邊長為的正方形，個長為、寬為的長方形，個邊長為的正方形組成，由此即可求解；（3）根據(jù)題意可得，，，根據(jù)幾何圖形的面積計算方法，圖形結合即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)圖示可知，長方形的長為，寬為，∴長方形的面積為，∵根據(jù)①中圖形的面積可知，③中圖形的面積為：，∴兩種方式計算的長方形的面積相等，即，故答案為：．（2）解：長方形面積為，∴長方形的兩邊長為：，，如圖為其中一種圖形；

（3）解：大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，用表示四個長方形的兩邊長，∴①，故原命題正確；②∵，，∴，故原命題正確；③∵，，∴，故原命題正確；④∵用表示四個長方形的兩邊長，∴是每個長方形的面積，則四個長方形的面積為，∵表示大正方形的面積減去小正方形的面積，∴表示每個長方形的面積，∴成立，故原命題正確；故選：．【點睛】本題主要考查整式運算與幾何圖形面積的關系，掌握整式乘除法的運算法則，幾何圖形面積的計算方法是解題的關鍵．題型六：利用整式乘法探究規(guī)律12．（2023下·江蘇·七年級專題練習）閱讀以下材料：；；…(1)根據(jù)以上規(guī)律，；(2)利用（1）的結論，求的值；(3)利用（1）的結論，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）讀懂題意利用規(guī)律填空即可：（2）利用（1）得到的規(guī)律把代入求解即可；（3）利用（1）得到的規(guī)律把代入求出，由此即可得到答案．【詳解】（1）解：∵；；……，∴可以推出，故答案為：（2）解：∵，∴當時，，∴；（3）解：∵，∴當時，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關鍵．13．（2023下·江蘇·七年級校聯(lián)考期中）觀察下列等式①；②；③；…(1)仿照上面的式子，寫出一個符合以上規(guī)律的式子是：__________；(2)試用字母表示上述式子的規(guī)律，并說明結論的正確性．【答案】(1)；(2)，說明見解析．【分析】（1）根據(jù)題干中的等式找出規(guī)律，寫出新的式子即可；（2）根據(jù)題干發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，由特殊到一般，得出結論，再證明正確性即可．【詳解】（1）解：通過觀察，寫出新的式子為，故答案為：；（2）解：，說明如下：左邊右邊，結論成立．【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，關鍵是由特殊到一般，得出一般規(guī)律，運用整式的運算進行驗證．14．（2023下·江蘇蘇州·七年級蘇州市立達中學校?？计谥校╅喿x以下材料，回答下列問題：小明遇到這樣一個問題：求計算所得多項式的一次項系數(shù)．小明想通過計算所得的多項式解決上面的問題，但感覺有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對簡潔的方法．他決定從簡單情況開始，先找所得多項式中的一次項系數(shù)．通過觀察發(fā)現(xiàn)：

也就是說，只需用中的一次項系數(shù)1乘以中的常數(shù)項3，再用中的常數(shù)項2乘以中的一次項系數(shù)2，兩個積相加，即可得到一次項系數(shù)．延續(xù)．上面的方法，求計算所得多項式的一次項系數(shù)．可以先用的一次項系數(shù)1，的常數(shù)項3，的常數(shù)項4，相乘得到12；再用的一次項系數(shù)2，的常數(shù)項2，的常數(shù)項4，相乘得到16；然后用的一次項系數(shù)3，的常數(shù)項2，的常數(shù)項3，相乘得到18，最后將12，16，18相加，得到的一次項系數(shù)為46．參考小明思考問題的方法，解決下列問題：(1)計算所得多項式的一次項系數(shù)為______．(2)計算所得多項式的一次項系數(shù)為______．(3)若計算所得多項式的一次項系數(shù)為0，則______．(4)計算所得多項式的一次項系數(shù)為______，二次項系數(shù)為______．(5)計算所得多項式的一次項系數(shù)為______，二次項系數(shù)為______．【答案】(1)7(2)(3)(4)5，10(5)10，【分析】（1）結合已知可得所得多項式的一次項系數(shù)，即可求解；（2）結合已知可得所得多項式的一次項系數(shù)，即可求解；（3）由所得多項式中不含一次項，可得，即可求解；（4）（5）根據(jù)題目中提供的計算方法進行計算即可．【詳解】（1）解：，故答案為：7；（2），故答案為：；（3）由題意得，，也就是，，所以，；故答案為：；（4）一次項系數(shù)為：；二次項系數(shù)為：．故答案為：5，10；（5）．．一次項系數(shù)為：，二次項系數(shù)為：．故答案為：10；．【點睛】本題考查多項式乘以多項式，理解多項式乘以多項式所得的多項式每一項的系數(shù)是解決問題的關鍵．一．選擇題（共10小題）1．（2023春?錫山區(qū)期中）若，則的值是A．6 B．4 C．2 D．【分析】將所給等式的左邊展開，然后與等式右邊比較，可得含有和的等式，求出、的值即可得答案．【解答】解：，，，，，．故選：．【點評】本題考查了多項式乘以多項式，明確多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．2．（2023春?淮安區(qū)期末）小羽制作了如圖所示的卡片類，類，類各50張，其中，兩類卡片都是正方形，類卡片是長方形，現(xiàn)要拼一個長為，寬為的大長方形，那么所準備的類卡片的張數(shù)A．夠用，剩余4張 B．夠用，剩余5張 C．不夠用，還缺4張 D．不夠用，還缺5張【分析】根據(jù)大長方形的面積公式求出拼成大長方形的面積，再對比卡片的面積，即可求解．【解答】解：大長方形的面積為，類卡片的面積是，需要類卡片的張數(shù)是54，不夠用，還缺4張，故選：．【點評】本題主要考查多項式與多項式的乘法與圖形的面積，掌握多項式乘以多項式的計算方法是解題的關鍵．3．（2023春?丹徒區(qū)期末）已知，代數(shù)式的值是A．2 B． C．4 D．【分析】根據(jù)多項式乘多項式法則即可求出答案．【解答】解：，．原式，故選：．【點評】本題考查多項式乘多項式法則，解題的關鍵是熟練運用多項式乘多項式法則，本題屬于基礎題型．4．（2023春?姜堰區(qū)期中）若，，則與的大小關系是A．由的取值而定 B． C． D．【分析】先將和別去括號計算，再根據(jù)即可得到答案．【解答】解：，，，，故選：．【點評】本題考查整式乘法運算，解題的關鍵是掌握整式乘法運算法則．5．（2023春?工業(yè)園區(qū)期中）若關于的多項式展開合并后不含項，則的值是A．0 B． C．2 D．【分析】根據(jù)多項式乘多項式的乘法即可求出答案．【解答】解：原式，由題意可知：，，故選：．【點評】本題考查多項式乘多項式，解題的關鍵是令含的系數(shù)為零，本題屬于基礎題型．6．（2023春?吳江區(qū)期中）已知，則，的值分別是A．， B．8，11 C．8，15 D．，11【分析】利用多項式乘多項式的法則進行運算，再進行解答即可．【解答】解：，，，，解得：，．故選：．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．7．（2023春?東臺市期中）若，則A．， B．， C．， D．，【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，即可得出方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：，，，，解得：，，故選：．【點評】本題考查了多項式乘以多項式和解二元一次方程組，能正確運用多項式乘以多項式法則展開是解此題的關鍵．8．（2023春?邗江區(qū)期中）如果與的乘積中不含的一次項，那么的值為A． B． C．0 D．1【分析】先根據(jù)多項式乘多項式進行計算，再合并同類項，根據(jù)乘積不含的一次項得出，再求出即可．【解答】解：，與的乘積中不含的一次項，，解得：，故選：．【點評】本題考查了多項式乘多項式，能正確根據(jù)多項式乘多項式法則進行計算是解此題的關鍵．9．（2023春?吳江區(qū)校級期中）若，則A．， B．， C．， D．，【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，即可得出方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：，，，，解得：，，故選：．【點評】本題考查了多項式乘以多項式和解二元一次方程組，能正確運用多項式乘以多項式法則展開是解此題的關鍵．10．（2023春?東?？h月考）計算的結果為A． B． C． D．【分析】原式利用多項式乘以多項式法則計算即可得到結果．【解答】解：原式，故選：．【點評】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．二．填空題（共8小題）11．（2023春?鎮(zhèn)江期中）已知，則的值等于．【分析】先將變形為，再根據(jù)多項式乘以多項式法則將進行運算并代入求值即可．【解答】解：，，．故答案為：．【點評】本題主要考查了整式運算及代數(shù)式求值，熟練掌握多項式乘以多項式運算法則是解題關鍵．12．（2023春?淮安區(qū)校級期末）若且，則代數(shù)式．【分析】將計算后代入已知數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：，，，故答案為：．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．13．（2023春?淮安期中）對于實數(shù)，，，，規(guī)定一種運算，如，那么當時，則22．【分析】由題中的新定義可知，此種運算為對角線乘積相減的運算，化簡所求的式子得到關于的方程，利用多項式乘多項式的運算法則及平方差公式化簡合并即可求出的值．【解答】解：，，，，；故答案為：22．【點評】此題考查學生理解新定義及靈活運用新定義的能力，同時也考查了學生會進行整式的混合運算及會利用平方差公式來化簡運算，是一道中檔題．14．（2023春?東?？h月考），則．【分析】根據(jù)多項式乘以多項式法則展開后，根據(jù)對應項的系數(shù)相等即可得出的值．【解答】解：，，，故答案為：．【點評】本題考查了多項式乘以多項式的法則的應用，主要考查學生的化簡能力．15．（2023春?寶應縣期中）已知多項式與的乘積的結果中不含項，則常數(shù)的值是．【分析】利用多項式乘多項式的法則進行運算，再根據(jù)結果不含項，使其系數(shù)為0，從而可求解．【解答】解：結果不含項，，解得：．故答案為：．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關鍵是明確不含項，則其系數(shù)為0．16．（2023春?洪澤區(qū)期中）已知的計算結果中不含項，則的值為3．【分析】利用多項式乘多項式的法則進行運算，再結合條件求解即可．【解答】解：，結果中不含項，，解得：．故答案為：3．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．17．（2023春?泰興市期末）圖中三角形的面積為．【分析】根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【解答】解：由題意知，三角形的面積為，故答案為：．【點評】本題主要考查了三角形的面積，列代數(shù)式．解題的關鍵在于熟練掌握三角形的面積為：．18．（2023春?廣陵區(qū)校級期中）如圖，現(xiàn)有正方形卡片類，類和長方形卡片類若干張，如果要拼一個長為，寬為的大長方形，則需要類卡片5張．【分析】通過計算的結果可得此題結果．【解答】解：，需要類卡片5張，故答案為：5．【點評】此題考查了整式乘法幾何背景問題的解決能力，關鍵是能將代數(shù)算式與幾何圖形面積相結合應用．三．解答題（共10小題）19．（2023春?未央?yún)^(qū)校級月考）計算：．【分析】按多項式乘以多項式的乘法法則進行計算即可．【解答】解：．【點評】本題考查多項式乘多項式，熟記“多項式乘以多項式的運算法則”是解答本題的關鍵．20．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）計算：．【分析】先根據(jù)多項式與多項式的乘法法則計算，再去括號合并同類項即可．【解答】解：原式．【點評】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算順序是解答本題的關鍵．混合運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，按從左到右的順序計算；如果有括號，先算括號里面的，并按小括號、中括號、大括號的順序進行；有時也可以根據(jù)運算定律改變運算的順序．21．（2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖所示，有一塊長寬為米和米的長方形土地，現(xiàn)準備在這塊土地上修建一個長為米，寬為米的游泳池，剩余部分修建成休息區(qū)域．（1）請用含和的代數(shù)式表示休息區(qū)域的面積；（結果要化簡）（2）若，，求休息區(qū)域的面積．【分析】（1）利用長方形土地的面積減去游泳池的面積，化簡后即可得出結論；（2）將，的值代入（1）中的結論計算即可．【解答】解：（1）休息區(qū)域的面積；休息區(qū)域的面積為：；（2）當，時，．【點評】本題主要考查了多項式乘多項式，長方形的面積，列代數(shù)式，求代數(shù)式的值，依據(jù)題意列出代數(shù)式是解題的關鍵．22．（2023春?吳江區(qū)期中）在與的乘積中，的系數(shù)為，的系數(shù)為，求的值．【分析】原式利用多項式乘以多項式法則計算，合并后根據(jù)題意得出，，再根據(jù)，然后代值計算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：，乘積中含的項的系數(shù)為3，含項的系數(shù)為6，，，．【點評】此題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．23．（2023秋?鐵西區(qū)期中）回答下列問題：（1）計算：①；②．③；④．（2）總結公式（3）已知，，均為整數(shù)，且．求的所有可能值．【分析】（1）根據(jù)多項式乘多項式的法則計算①②③④這四個式子即可；（2）根據(jù)（1）中的結果總結公式即可；（3）運用（2）中的結論計算等式的左邊，然后根據(jù)左右兩邊相等得到，，再根據(jù)，，均為整數(shù)，得出，或，或，或，，最后計算即可得出的所有可能值．【解答】解：（1）①；②；③；④；故答案為：；；；；（2），故答案為：；（3），，，，，，均為整數(shù)，，或，或，或，，當，時，；當，時，；當，時，；當，時，；綜上，的所有可能值為6或．【點評】本題主要考查多項式乘多項式，注意不要漏項，漏字母，有同類項的要合并同類項．24．（2023春?昭平縣期末）已知的展開式中不含項，常數(shù)項是．（1）求，的值．（2）求的值．【分析】（1）直接利用多項式乘多項式將原式變形，進而得出，的值；（2）利用多項式乘多項式運算法則計算得出答案．【解答】解：（1）原式，由于展開式中不含項，常數(shù)項是，則且，解得：，；（2）由（1）可知：，，原式，．【點評】此題主要考查了多項式乘多項式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．25．（2022秋?鳳臺縣期末）在計算時，甲把錯看成了6，得到結果是：；乙錯把看成了，得到結果：．（1）求出，的值；（2）在（1）的條件下，計算的結果．【分析】（1）根據(jù)題意得出，，得出，，求出、即可；（2）把、的值代入，再根據(jù)多項式乘以多項式法則求出即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，，