專題13 軸對(duì)稱之將軍飲馬模型全攻略（解析版）四川成都七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-

專題13軸對(duì)稱之將軍飲馬模型全攻略【模型說(shuō)明】模型一、兩定一動(dòng)模型模型二、一定兩動(dòng)【例題精講】例1．（兩定一動(dòng)求最值）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】6【分析】連接BE交AD于M，則BE就是EM+CM的最小值，通過(guò)等腰三角形的“三線合一”，可得BE=AD即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接BE，與AD交于點(diǎn)M．∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱，則EM+CM=EM+BM，則BE就是EM+CM的最小值．∵E是等邊△ABC的邊AC的中點(diǎn)，AD是中線∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)—“三線合一”、等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找到M點(diǎn)的位置．例2．（兩定一動(dòng)求角度）如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為．【答案】30°/30度【分析】連接BP，由等邊三角形的性質(zhì)可知AD為BC的垂直平分線，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周長(zhǎng)最小，即P點(diǎn)為BE與AD的交點(diǎn)時(shí)．最后根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，即得出CP平分，從而可求出．【詳解】如圖連接BP．∵為等邊三角形，∴AD為BC的垂直平分線，∴BP=CP，∵△PCE的周長(zhǎng)=PE+CP+CE=PE+BP+CE，∴當(dāng)PE+BP最小時(shí)，△PCE的周長(zhǎng)最小，∵PE+BP最小時(shí)為BE的長(zhǎng)，即此時(shí)BE與AD的交點(diǎn)為P，如圖．又∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，AD為高，為等邊三角形，∴P點(diǎn)即為等邊角平分線的交點(diǎn)，∴CP平分，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．理解要使△PCE的周長(zhǎng)最小，即P點(diǎn)為BE與AD的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵．例3．（一定兩動(dòng)求距離）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值是．【答案】【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接，分別交于點(diǎn)M、N，連接，當(dāng)點(diǎn)M、N在上時(shí)，的周長(zhǎng)最?。驹斀狻拷猓悍謩e作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接，分別交于點(diǎn)M、N，連接．∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴；∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長(zhǎng)的最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路徑問(wèn)題和等邊三角形的判定．作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D是解題的關(guān)鍵所在．例4．（一定兩動(dòng)求角度）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠MAN＝°．【答案】80【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，連接AM、AN，則此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題，利用軸對(duì)稱將三角形周長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．例5．（培優(yōu)綜合）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為．【答案】【分析】由題意分析可知，點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)，為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過(guò)垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得最小值．【詳解】由題意可知，點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，從而可知為等邊三角形，點(diǎn)在垂直于的直線上，作，則即為的最小值，作，可知四邊形為矩形，則.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了線段極值問(wèn)題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】1．如圖，∠AOB＝45°，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO＝10，在角兩邊上有兩點(diǎn)Q、R（均不同于點(diǎn)O），當(dāng)△PQR周長(zhǎng)最小時(shí)，∠QPR的度數(shù)＝．【答案】90°【詳解】根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)求得∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度數(shù)．答案詳解：分別作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N．連接MN交OA、OB交于Q、R，則△PQR符合條件．連接OM、ON，則OM＝ON＝OP＝10，∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×45°＝90°，故△MON為等腰直角三角形．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到∠OMN＝∠OPQ，∠ONM＝∠OPR，∴∠OMN+∠ONM＝∠OPQ+∠OPR，∵△MON為等腰直角三角形，∴∠OMN+∠ONM＝90°，∴∠OPQ+∠OPR＝90°，即∠QPR＝90°．故答案為10，90°．2．如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長(zhǎng)的最小值為．【答案】18【分析】首先明確要使得△PMB周長(zhǎng)最小，即使得PM+PB最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知PM=PC，從而可得滿足PC+PB最小即可，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定BC即為最小值，從而求解即可．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM=AC，PM=PC，∴M點(diǎn)為AB上一個(gè)固定點(diǎn)，則BM長(zhǎng)度固定，∵△PMB周長(zhǎng)=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周長(zhǎng)最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴滿足PC+PB最小即可，顯然，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，滿足PC+PB最小，如圖所示，此時(shí)，P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，PC+PB=BC，∴△PMB周長(zhǎng)最小值即為BC+BM，此時(shí)，作DS⊥AB于S點(diǎn)，DT⊥AC延長(zhǎng)線于T點(diǎn)，AQ⊥BC延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)，由題意，AD為∠BAC的角平分線，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周長(zhǎng)最小值為BC+BM=3+7+8=18，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問(wèn)題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理求解，理解并熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．3．如圖，是內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上運(yùn)動(dòng)，若，，則的周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】3【分析】如圖，作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等邊三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】如圖，作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)．

∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題，綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)．正確作出圖形，理解△PMN周長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在銳角三角形中，，的面積為10，平分，若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】5【分析】本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短．明確和的最小值的情況是解題的關(guān)鍵．如圖，在截取，使得，連接，證明，則，由，可知當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，的值最小，如圖，作于，則的最小值為，由，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，在截取，使得，連接，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，的值最小，如圖，作于，則的最小值為，∵，即，解得，∴的最小值為5，故答案為：5．5．如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為度．【答案】【分析】如圖，作B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D，連接，的值最小，則交于P，由軸對(duì)稱易證，結(jié)合證得是等邊三角形，可得，結(jié)合已知根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出，即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，作B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D，連接，的值最小，則交于P，由軸對(duì)稱可知：，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)的聯(lián)系與運(yùn)用，會(huì)利用最短路徑解決最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．6．已知：M、N分別是∠AOB的邊OA、OB上的定點(diǎn)，（1）如圖1，若∠O=∠OMN，過(guò)M作射線MDOB(如圖)，點(diǎn)C是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)，∠MNC的平分線NE交射線OA于E點(diǎn)．試探究∠MEN與∠MCN的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若P是線段ON上一動(dòng)點(diǎn)，Q是射線MA上一動(dòng)點(diǎn)．∠AOB=20，當(dāng)MP+PQ+QN取得最小值時(shí)，求∠OPM+∠OQN的值．【答案】（1）∠MCN=2∠MEN，理由見(jiàn)解析；（2）∠OPM+∠OQN．【詳解】解：（1）∠MCN=2∠MEN，理由如下：如圖，∵NE是∠MNC的平分線，MDOB，∠O=∠OMN，∴∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4，在△OMN中，∠MNB=∠O+∠OMN，∴∠1+∠2+∠MCN=2∠O，即2∠2+∠MCN=2∠O①，又∠3=∠2+∠MCN=∠4+∠MEN，即∠2+∠MCN=∠O+∠MEN②，由①②得：∠MCN=2∠MEN；（2）如圖，過(guò)作點(diǎn)M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M1，作點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N1，連接M1N1交OA于點(diǎn)Q，交OB于點(diǎn)