同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式知識(shí)講解

同角三角函數(shù)基本關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、借助單位圓,理解同角三角函數(shù)得基本關(guān)系式:,掌握已知一個(gè)角得三角函數(shù)值求其她三角函數(shù)值得方法;2.會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)之間得關(guān)系求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)三角式或證明三角恒等式?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一:同角三角函數(shù)得基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系:(2)商數(shù)關(guān)系:(3)倒數(shù)關(guān)系:,,要點(diǎn)詮釋:(1)這里“同角”有兩層含義,一就是“角相同”,二就是對(duì)“任意”一個(gè)角(使得函數(shù)有意義得前提下)關(guān)系式都成立;(2)就是得簡(jiǎn)寫;(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí),常用到平方根,算術(shù)平方根與絕對(duì)值得概念,應(yīng)注意“”得選取。要點(diǎn)二:同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得變形1.平方關(guān)系式得變形:,2.商數(shù)關(guān)系式得變形?！镜湫屠}】類型一:已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余得三角函數(shù)值例1.已知tan=－2,求sin,cos得值?！舅悸伏c(diǎn)撥】先利用,求出sin=－2cos,然后結(jié)合sin2+cos2=1,求出sin,cos?！窘馕觥拷夥ㄒ?∵tan=－2,∴sin=－2cos。①又sin2+cos2=1,②由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1,即。當(dāng)為第二象限角時(shí),,代入①得。當(dāng)為第四象限角時(shí),,代入①得。解法二:∵tan=－2＜0,∴為第二或第四象限角。又由,平方得?！?即。當(dāng)為第二象限角時(shí),。。當(dāng)為第四象限角時(shí),。?！究偨Y(jié)升華】解答此類題目得關(guān)鍵在于充分借助已知角得三角函數(shù)值,縮小角得范圍。在解答過(guò)程中如果角所在象限已知,則另兩個(gè)三角函數(shù)值結(jié)果唯一;若角所在象限不確定,則應(yīng)分類討論,有兩種結(jié)果,需特別注意:若已知三角函數(shù)值以字母a給出,應(yīng)就所在象限討論。舉一反三:【變式1】已知就是得一個(gè)內(nèi)角,且,求【思路點(diǎn)撥】根據(jù)可得得范圍:再結(jié)合同角三角函數(shù)得關(guān)系式求解、【解析】為鈍角,由平方整理得例2.已知cos=m(－1≤m≤1),求sin得值。【解析】(1)當(dāng)m=0時(shí),角得終邊在y軸上,①當(dāng)角得終邊在y軸得正半軸上時(shí),sin=1;②當(dāng)角得終邊在y軸得負(fù)半軸上時(shí),sin=－1。(2)當(dāng)m=±1時(shí),角得終邊在x軸上,此時(shí),sin=0。(3)當(dāng)|m|＜1且m≠0時(shí),∵sin2=1―cos2=1―m2,∴①當(dāng)角為第一象限角或第二象限角時(shí),,②當(dāng)角為第三象限角或第四象限角時(shí),。【總結(jié)升華】當(dāng)角得范圍不確定時(shí),要對(duì)角得范圍進(jìn)行討論,切記不要遺漏終邊落在坐標(biāo)軸上得情況。類型二:利用同角關(guān)系求值例3.已知:求:(1)得值;(2)得值;(3)得值;(4)及得值【思路點(diǎn)撥】同角三角函數(shù)基本關(guān)系就是反映了各種三角函數(shù)之間得內(nèi)在聯(lián)系,為三角函數(shù)式得恒等變形提供了工具與方法?！敬鸢浮?1)(2)(3)0(4)或【解析】(1)由已知(2)(3)(4)由,解得或【總結(jié)升華】本題給出了及三者之間得關(guān)系,三者知一求二,在求解得過(guò)程中關(guān)鍵就是利用了這個(gè)隱含條件。舉一反三:【變式1】已知,求下列各式得值:(1);(2)sin3+cos3?！窘馕觥恳?yàn)?所以,所以。(1)(2)?！究偨Y(jié)升華】對(duì)于已知sin±cos=m型得問(wèn)題,常有兩種解法:一就是兩邊平方,得±2sincos=m2－1,聯(lián)立以上兩個(gè)式子解出sin,cos得值,從而使問(wèn)題得以解決;二就是對(duì)所求式子進(jìn)行變形,化為sin±cos,sin·cos得形式代入求解,解題時(shí)注意正、負(fù)號(hào)得討論與確定。例4.已知tan=3,求下列各式得值。(1);(2);(3)?！舅悸伏c(diǎn)撥】由已知可以求出,進(jìn)而代入得解,但過(guò)程繁瑣。在關(guān)于“齊次”式中可以使用“弦化切”,轉(zhuǎn)化成關(guān)于tan得式子,然后利用已知求解、【解析】(1)原式得分子分母同除以cos(cos≠0)得,原式。(2)原式得分子分母同除以cos2(cos2≠0)得,原式。(3)用“1”來(lái)代換,原式?！究偨Y(jié)升華】①已知tan得值,求關(guān)于sin、cos得齊次式得值問(wèn)題①如(1)、(2)題,∵cos≠0,所以可用cosn(n∈N*)除之,將被求式轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan得表示式,可整體代入tan=m得值,從而完成被求式得求值;②在(3)題中,求形如asin2+bsincos+ccos2得值,注意將分母得1化為1=sin2+cos2代入,轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan得表達(dá)式后再求值。舉一反三:【變式1】(1)已知tan=3,求sin2－3sincos+1得值;(2)已知,求得值?！窘馕觥?1)∵tan=3,1=sin2+cos2,∴原式。(2)由,得,解得:∴。類型三:利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例5.化簡(jiǎn):。【解析】解法一:原式。解法二:原式。解法三:原式?！究偨Y(jié)升華】以上三種解法雖然思路不同,但就是主要都就是應(yīng)用公式sin2+cos2=1,解法二與解法三都就是順用公式,而解法一則就是逆用公式,三種解法中,解法一最為簡(jiǎn)單。這里,所謂逆用公式sin2+cos2=1,實(shí)質(zhì)上就就是“1”得一種三角代換:“1=sin2+cos2舉一反三:【變式1】化簡(jiǎn)(1);(2);(3);(4)【答案】(1)－1(2)(3)略(4)略【解析】(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式===,類型四:利用同角關(guān)系證明三角恒等式例6.求證:?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式對(duì)式子得左邊或右邊進(jìn)行化簡(jiǎn),使之與式子得另一邊相同?！窘馕觥孔C法一:右邊=左邊。證法二:左邊,右邊,所以左邊=右邊,原等式成立。證法三:左邊,右邊,所以左邊=右邊,原等式成立?！究偨Y(jié)升華】本題主要考查三角恒等式得證明方法。就一般情況而言,證明三角恒等式時(shí),可以從左邊推到右邊,也可以從右邊推到左邊,本著化繁就簡(jiǎn)得原則,即從較繁得一邊推向較簡(jiǎn)得一邊;還可以將左、右兩邊同時(shí)推向一個(gè)中間結(jié)果;有時(shí)候改證其等價(jià)命題更為方便。但就是,不管采取哪一種方式,證明時(shí)都要“盯住目標(biāo),據(jù)果變形”?；?jiǎn)證明過(guò)程中常用得技巧