新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用微專題1平面向量中的最值與范圍問題學(xué)生用書新人教A版必修第二冊

微專題1平面對量中的最值與范圍問題平面對量中的最值和范圍問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，由于平面對量具有了“數(shù)”與“形”的雙重特性，故其最值或范圍問題可從代數(shù)與幾何兩大視角進(jìn)行切入，解題方法可分為構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)法、直角坐標(biāo)系法、基本不等式法、極化恒等式法、幾何意義法等．類型1目標(biāo)函數(shù)法求最值(或范圍)【例1】(1)已知向量a，b滿意a＝(t，22－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，則a，b的夾角的最小值為()A．π6B．(2)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(－3，1)，則|2a－b|的最大值為________．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2坐標(biāo)法、幾何意義法求最值(或范圍)【例2】(2024·新高考Ⅰ卷)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP·AB的取值范圍是()A．(－2，6) B．(－6，2)C．(－2，4) D．(－4，6)[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3基本不等式法求最值(或范圍)【例3】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿意AP＝mAB＋nAD(m，n均為正實(shí)數(shù))，則1m＋1n的最小值為[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型4極化恒等式法求最值(或范圍)【例4】(1)如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸、y軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng)，則OC·OB的最大值是________．(2)四邊形ABCD為菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面的隨意一點(diǎn)，則PA·PC的最小值為________．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________微專題1平面對量中的最值與范圍問題例1(1)C(2)4[(1)因?yàn)?a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2，cos〈a，b〉＝a·bab＝b2ab又因?yàn)?t2－42t＋8＝2[(t－2)2＋2]≥2[(2-2)2＋2]＝所以0<cos〈a，b〉≤12所以a，b的夾角的最小值為π3(2)法一(構(gòu)造函數(shù)法)：由題意得|a|＝1，|b|＝2,a·b＝sinθ－3cosθ＝2sinθ-所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4×12＋22－8sinθ-π3＝8－所以|2a－b|2的最大值為8－8×(－1)＝16，故|2a－b|的最大值為4此時(shí)θ法二(幾何意義)：由題意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)向量a，b方向相反時(shí)不等式取等號，故|2a－b|的最大值為4．例2A[法一(坐標(biāo)法)：如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(2，0)，C(3，3)，F(xiàn)(－1，3)．設(shè)P(x，y)，則AP＝(x，y)，AB＝(2，0)，且－1<x<3．所以AP·AB＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)．法二(幾何意義法)：AB的模為2，依據(jù)正六邊形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范圍是(－1，3)，結(jié)合向量數(shù)量積的定義，可知AP·AB等于AB的模與AP在AB方向上的投影的乘積，所以AP·AB的取值范圍是(－2，6)，故選A．]例37+434[由題意得AD＝AC+CD＝AC－14AB，所以AP＝mAB＋nAD＝mAB＋nAC-14AB＝mm－14n＋n＝m＋34n＝1(m，n所以1m＋1n＝1m+1nm+34n＝74＋3n(當(dāng)且僅當(dāng)3n2＝4m2，即m=4-23，n=-4+83例4(1)2(2)－27[(1)如圖，取BC的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接MN，ON，則OC·