2025屆四川省廣元蒼溪縣聯(lián)考九年級數學第一學期期末調研試題含解析

2025屆四川省廣元蒼溪縣聯(lián)考九年級數學第一學期期末調研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知關于x的一元二次方程x2+x+m=0的一個實數根為1，那么它的另一個實數根是()A．－2 B．0 C．1 D．22．如圖，一段拋物線，記為拋物線，它與軸交于點;將拋物線繞點旋轉得拋物線，交軸于點；將拋物線繞點旋轉得拋物線，交軸于點.···如此進行下去，得到一條“波浪線”，若點在此“波浪線”上，則的值為（）A． B． C． D．3．下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．如圖，圓桌面正上方的燈泡發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）．已知燈泡距離地面2.4m，桌面距離地面0.8m（桌面厚度忽略不計），若桌面的面積是1.2m2，則地面上的陰影面積是（）A．0.9m2 B．1.8m2 C．2.7m2 D．3.6m25．如圖，圓內接四邊形ABCD的邊AB過圓心O，過點C的切線與邊AD所在直線垂直于點M，若∠ABC=55°，則∠ACD等于（）A．20° B．35° C．40° D．55°6．如圖，△ABC中，∠A=30°，點O是邊AB上一點，以點O為圓心，以OB為半徑作圓，⊙O恰好與AC相切于點D，連接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，則線段CD的長是（）A．2 B． C． D．7．已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則（）A．4 B．2 C．1 D．﹣48．如圖2，在平面直角坐標系中，點的坐標為（1，4）、（5，4）、（1、），則外接圓的圓心坐標是A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）9．若是一元二次方程的兩個實數根，則的值為（）A． B． C． D．10．已知的直徑是8，直線與有兩個交點，則圓心到直線的距離滿足（）A． B． C． D．11．一個不透明的袋子中裝有21個紅球和若干個白球，這些球除了顏色外都相同，若小英每次從袋子中隨機摸出一個球，記下顏色后再放回，經過多次重復試驗，小英發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率逐漸穩(wěn)定于1．4，則小英估計袋子中白球的個數約為（）A．51 B．31 C．12 D．812．關于二次函數y＝x2+4x﹣5，下列說法正確的是（）A．圖象與y軸的交點坐標為（0，5） B．圖象的對稱軸在y軸的右側C．當x＜﹣2時，y的值隨x值的增大而減小 D．圖象與x軸的兩個交點之間的距離為5二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，矩形中，邊長，兩條對角線相交所成的銳角為，是邊的中點，是對角線上的一個動點，則的最小值是_______．14．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉，使得點B落在AB邊上的點D處，此時點A的對應點E恰好落在BC邊的延長線上，若∠B＝50°，則∠A的度數為_____．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=，那么cos∠B=_____．16．如圖，已知中，，D是線段AC上一點（不與A,C重合）,連接BD，將沿AB翻折，使點D落在點E處，延長BD與EA的延長線交于點F，若是直角三角形，則AF的長為_________.17．拋擲一枚質地均勻的硬幣2次，2次拋擲的結果都是正面朝上的概率是____．18．如圖，，與相交于點，若，，則的值是_______.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，點D在以AB為直徑的⊙O上，AD平分，，過點B作⊙O的切線交AD的延長線于點E．(1)求證：直線CD是⊙O的切線．(2)求證：．20．（8分）問題探究：（1）如圖①所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱的側面爬行一周到達B點，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側面沿母線AB剪開，它的側面展開圖如圖①中的矩形則螞蟻爬行的最短路程即為線段的長）（2）如圖②所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程．（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側面爬行一周到達母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程．21．（8分）隨著冬季的來臨，為了方便冰雪愛好者雪上娛樂，某體育用品商店購進一批簡易滑雪板，每件進價為100元，售價為130元，每星期可賣出80件，由于商品庫存較多，商家決定降價促銷，根據市場調查，每件降價1元，每星期可多賣出4件．（1）設商家每件滑雪板降價x元，每星期的銷售量為y件，寫出y與x之間的函數關系式：（2）降價后，商家要使每星期的利潤最大，應將售價定為每件多少元？最大銷售利潤多少？22．（10分）若矩形的長為，寬為，面積保持不變，下表給出了與的一些值求矩形面積.(1)請你根據表格信息寫出與之間的函數關系式;(2)根據函數關系式完成下表184223．（10分）如圖，已知拋物線C1交直線y=3于點A（﹣4，3），B（﹣1，3），交y軸于點C（0，6）．（1）求C1的解析式．（2）求拋物線C1關于直線y=3的對稱拋物線的解析式；設C2交x軸于點D和點E（點D在點E的左邊），求點D和點E的坐標．（3）將拋物線C1水平向右平移得到拋物線C3，記平移后點B的對應點B′，若DB平分∠BDE，求拋物線C3的解析式．（4）直接寫出拋物線C1關于直線y=n（n為常數）對稱的拋物線的解析式．24．（10分）從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機抽取同學參加學校的座談會(1)抽取一名同學，恰好是甲的概率為(2)抽取兩名同學，求甲在其中的概率。25．（12分）如圖，在中，，平分交于點，將繞點順時針旋轉到的位置，點在上．（1）旋轉的度數為______；（2）連結，判斷與的位置關系，并說明理由．26．等腰中，，作的外接圓⊙O.（1）如圖1，點為上一點（不與A、B重合），連接AD、CD、AO，記與的交點為.①設，若，請用含與的式子表示；②當時，若，求的長；（2）如圖2，點為上一點（不與B、C重合），當BC=AB，AP=8時，設，求為何值時，有最大值？并請直接寫出此時⊙O的半徑．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【解析】設方程的另一個實數根為x，則根據一元二次方程根與系數的關系，得x＋1=－1，解得x=－1．故選A．2、D【分析】根據圖象的旋轉變化規(guī)律以及二次函數的平移規(guī)律得出平移后解析式，進而求出m的值．【詳解】∵一段拋物線：，∴圖象與x軸交點坐標為：（0，0），（6，0），∵將C1繞點A1旋轉180°得C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉180°得C3，交x軸于點A3；……如此進行下去，直至得Cn．∴Cn的與x軸的交點橫坐標為（6n，0），（6n+3，0），∴在C337，且圖象在x軸上方，∴C337的解析式為：，當時，．即，故答案為D.【點睛】此題主要考查了二次函數的平移規(guī)律，根據已知得出二次函數旋轉后解析式是解題關鍵．3、B【解析】根據中心對稱圖形的定義，在平面內，把圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖像能與原圖形重合，就為中心對稱圖形.【詳解】選項A，不是中心對稱圖形.選項B,是中心對稱圖形.選項C,不是中心對稱圖形.選項D,不是中心對稱圖形.故選B【點睛】本題考查了中心對稱圖形的定義.4、C【分析】根據桌面與地面陰影是相似圖形，再根據相似圖形的性質即可得到結論．【詳解】解：如圖設C，D分別是桌面和其地面影子的圓心，CB∥AD，∴∴而OD=2.4，CD=0.8，∴OC=OD-CD=1.6，∴這樣地面上陰影部分的面積為故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，根據相似圖形的面積比等于相似比的平方，同時考查相似圖形的對應高之比等于相似比，掌握以上知識是解題的關鍵．5、A【解析】試題解析：∵圓內接四邊形ABCD的邊AB過圓心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵過點C的切線與邊AD所在直線垂直于點M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°．故選A．6、B【分析】連接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD、AO的長；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD與BC間的位置關系，根據平行線分線段成比例定理，得結論．【詳解】連接OD∵OD是⊙O的半徑，AC是⊙O的切線，點D是切點，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥CB，∴，即，∴CD=．故選B．【點睛】本題考查了圓的切線的性質、含30°角的直角三角形的性質及平行線分線段成比例定理，解決本題亦可說明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的長，再求CD．遇切點連圓心得直角，是通常添加的輔助線．7、A【分析】根據方程有兩個相等的實數根結合根的判別式即可得出關于的一元一次方程，解方程即可得出結論．【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數根，∴，解得：．故選A．【點睛】本題考查了根的判別式以及解一元一次方程，由方程有兩個相等的實數根結合根的判別式得出關于的一元一次方程是解題的關鍵．8、D【解析】根據垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點即為圓心．解答：解：根據垂徑定理的推論，則作弦AB、AC的垂直平分線，交點O1即為圓心，且坐標是（3，1）．故選D．9、C【分析】由一元二次方程根與系數的關系可得x1+x2=-3，x1·x2=2，利用完全平方公式即可求出答案．【詳解】∵是一元二次方程的兩個實數根，∴x1+x2=-3，x1·x2=2，∴=(x1+x2)2-2x1·x2=9-4=5，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數根為，那么x1+x2=，x1·x2=，熟練掌握韋達定理是解題關鍵．10、B【分析】先求出圓的半徑,再根據直線與圓的位置關系與d和r的大小關系即可得出結論．【詳解】解:∵的直徑是8∴的半徑是4∵直線與有兩個交點∴0≤d＜4（注：當直線過圓心O時，d=0）故選B．【點睛】此題考查的是根據圓與直線的位置關系求圓心到直線的距離的取值范圍，掌握直線與圓的位置關系與d和r的大小關系是解決此題的關鍵．11、B【分析】設白球個數為個，白球數量袋中球的總數=1-14=1.6，求得【詳解】解：設白球個數為個，根據題意得，白球數量袋中球的總數=1-14=1.6，所以，解得故選B【點睛】本題主要考查了用評率估計概率.12、C【分析】通過計算自變量為0的函數值可對A進行判斷；利用對稱軸方程可對B進行判斷；根據二次函數的性質對C進行判斷；通過解x2+4x﹣5＝0得拋物線與x軸的交點坐標，則可對D進行判斷．【詳解】A、當x＝0時，y＝x2+4x﹣5＝﹣5，所以拋物線與y軸的交點坐標為（0，﹣5），所以A選項錯誤；B、拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，所以拋物線的對稱軸在y軸的左側，所以B選項錯誤；C、拋物線開口向上，當x＜﹣2時，y的值隨x值的增大而減小，所以C選項正確；D、當y＝0時，x2+4x﹣5＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，拋物線與x軸的交點坐標為（﹣5，0），（1，0），兩交點間的距離為1+5＝6，所以D選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數的性質．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據對稱性，作點B關于AC的對稱點B′，連接B′M與AC的交點即為所求作的點P，再求直角三角形中30的臨邊即可．【詳解】如圖，作點B關于AC的對稱點B′，連接B′M，交AC于點P，∴PB′＝PB，此時PB＋PM最小，∵矩形ABCD中，兩條對角線相交所成的銳角為60，∴△ABP是等邊三角形，∴∠ABP＝60，∴∠B′＝∠B′BP＝30，∵∠DBC＝30，∴∠BMB′＝90，在Rt△BB′M中，BM＝4，∠B′＝30°，∴BB’=2BM＝8∴B′M＝，∴PM＋PB′＝PM＋PB＝B′M=4．故答案為4．【點睛】本題主要考查了最短路線問題，解決本題的關鍵是作點B關于AC的對稱點B′．14、30°【分析】由旋轉的性質可得BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，可得∠B＝∠BDC＝50°，由三角形內角和定理可求∠BCD＝80°＝∠ACE，由外角性質可求解．【詳解】解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉，∴BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，∴∠B＝∠BDC＝50°，∴∠BCD＝80°＝∠ACE，∵∠ACE＝∠B+∠A，∴∠A＝80°﹣50°＝30°，故答案為：30°．【點睛】本題考查了旋轉的性質，三角形內角和與三角形外角和性質，解決本題的關鍵是正確理解題意，熟練掌握旋轉的性質，能夠由旋轉的到相等的角.15、【分析】直接利用特殊角的三角函數值得出∠A=30°，進而得出∠B的度數，進而得出答案．【詳解】∵tan∠A=，∴∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=180°﹣30°﹣90°=60°，∴cos∠B=．故答案為：．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確理解三角函數的計算公式是解題關鍵．16、或【分析】分別討論∠E=90°，∠EBF=90°兩種情況：①當∠E=90°時，由折疊性質和等腰三角形的性質可推出△BDC為等腰直角三角形，再求出∠ABD=∠ABE=22.5°，進而得到∠F=45°，推出△ADF為等腰直角三角形即可求出斜邊AF的長度；②當∠EBF=90°時，先證△ABD∽△ACB，利用對應邊成比例求出AD和CD的長，再證△ADF∽△CDB，利用對應邊成比例求出AF.【詳解】①當∠E=90°時，由折疊性質可知∠ADB=∠E=90°，如圖所示，在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45°∴∠ABC=∠BAC==67.5°∵∠BDC=90°，∠C=45°∴△BCD為等腰直角三角形，∴CD=BC=，∠DBC=45°∴∠EBA=∠DBA=∠ABC-∠DBC=67.5°-45°=22.5°∴∠EBF=45°∴∠F=90°-45°=45°∴△ADF為等腰直角三角形∴AF=②當∠EBF=90°時，如圖所示，由折疊的性質可知∠ABE=∠ABD=45°，∵∠BAD=∠CAB∴△ABD∽△ACB∴由情況①中的AD=，BD=，可得AB=∴AD=∴CD=∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.8°∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5°∴∠F=22.5°=∠DBC∴EF∥BC∴△ADF∽△CDB∴∴∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45°+67.5°-∠ABD=112.5°-∠ABD，∠EBF=2∠ABD∴∠E+∠EBF=112.5°+∠ABD＞90°∴∠F不可能為直角綜上所述，AF的長為或.故答案為：或.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，折疊的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握折疊前后對應角相等，分類討論利用相似三角形的性質求邊長是解題的關鍵.17、【解析】試題分析：列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可．共有正反，正正，反正，反反4種可能，則2次拋擲的結果都是正面朝上的概率為.故答案為.考點：概率公式．18、【分析】根據判定三角形相似，然后利用相似三角形的性質求解.【詳解】解：∵∴△AEB∽△DEC∴故答案為：【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形對應邊成比例，難度不大.三、解答題（共78分）19、(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）連接OD，由角平分線的定義得到∠CAD=∠BAD，根據等腰三角形的性質得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根據平行線的性質得到CD⊥OD，于是得到結論；

（2）連接BD，根據切線的性質得到∠ABE=∠BDE=90°，根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：證明：(1)連接OD，∵AD平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴直線CD是⊙O的切線；(2)連接BD，∵BE是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，角平分線的定義．圓周角定理，切線的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．20、（1）螞蟻爬行的最短路程為1;（2）最短路程為;（3）螞蟻爬行的最短距離為【分析】（1）螞蟻爬行的最短路程為圓柱側面展開圖即矩形的對角線的長度，由勾股定理可求得；（2）螞蟻爬行的最短路程為圓錐展開圖中的AA′的連線，可求得△PAA′是等邊三角形，則AA′=PA=4；（3）螞蟻爬行的最短路程為圓錐展開圖中點A到PA的距離．【詳解】（1）由題意可知：在中，即螞蟻爬行的最短路程為1．（2）連結則的長為螞蟻爬行的最短路程，設為圓錐底面半徑，為側面展開圖（扇形）的半徑，則由題意得：即是等邊三角形最短路程為（3）如圖③所示是圓錐的側面展開圖，過作于點則線段的長就是螞蟻爬行的最短路程．在Rt△ACP中，∵∠P=60°，∴∠PAC=30°∴PC=PA=×4=2∴AC==螞蟻爬行的最短距離為【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質，圓周長公式，弧長公式，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，掌握相關公式和性質定理是本題的解題關鍵．21、（1）y＝80+4x；（2）每件簡易滑雪板銷售價是125元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大，最大利潤是2500元．【分析】（1）根據售價每降價1元，平均每星期的期就多售出4件進而得出答案；（2）利用總利潤＝（實際售價﹣進價）×銷售量，即可得函數解析式，再配方即可得最值情況．【詳解】解：（1）依題意有：y＝80+4x；（2）設利潤為w，則w＝（80+4x）（30﹣x）＝﹣4（x﹣5）2+2500；∵a＝﹣4＜0，∴當x＝5時w取最大值，最大值是2500，即降價5元時利潤最大，∴每件簡易滑雪板銷售價是125元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大，最大利潤是2500元．【點睛】本題考查了列代數式和二次函數的應用，掌握二次函數求最值的方法是解答本題的關鍵.22、（1）；（2）6，，2，【分析】（1）矩形的寬=矩形面積÷矩形的長，設出關系式，由于（1，4）滿足，故可求得k的值；

（2）根據（1）中所求的式子作答．【詳解】解(1)設，由于在此函數解析式上，那么.∴（2）128642【點睛】本題考查了列函數關系式表式實際問題，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．在此函數上的點一定適合這個函數解析式．23、（1）C1的解析式為y=x2+x+1；（2）拋物線C2的解析式為y=﹣x2﹣x，D（﹣5，0），E（0，0）；（3）拋物線C3的解析式為y=；（4）y=x2x+2n﹣1．【分析】（1）設拋物線C1經的解析式為y=ax2+bx+c，將點A、B、C的坐標代入求解即可得到解析式；（2）先求出點C關于直線y=3的對稱點的坐標為(0,0)，設拋物線C2的解析式為y=a1x2+b1x+c1，即可求出答案；（3）如圖，根據平行線的性質及角平分線的性質得到BB′=DB，利用勾股定理求出DB的長度即可得到拋物線平移的距離，由此得到平移后的解析式；（4）設拋物線C1關于直線y=n（n為常數）對稱的拋物線的解析式為y=mx+nx+k，根據對稱性得到m、n的值，再利用對稱性得到新函數與y軸交點坐標得到k的值，由此得到函數解析式.【詳解】（1）設拋物線C1經的解析式為y=ax2+bx+c，∵拋物線C1經過點A（﹣4，3），B（﹣1，3），C（0，1）．∴,解得，∴C1的解析式為y=x2+x+1；（2）∵C點關于直線y=3的對稱點為（0，0），設拋物線C2的解析式為y=a1x2+b1x+c1，∴，解得，∴拋物線C2的解析式為y=﹣x2﹣x；令y=0，則﹣x2﹣x=0，解得x1=0，x2=﹣5，∴D（﹣5，0），E（0，0）；（3）如圖，∵DB′平分∠BDE，∴∠BDB′=∠ODB′，∵AB∥x軸，∴∠BB′D=∠ODB′，∴∠BDB′=∠BB′D，∴BB′=DB，∵BD==5，∴將拋物線C1水平向右平移5個單位得到拋物線C3，∵C1的解析式為y=x2+x+1=（x+）2+，∴拋物線C3的解析式為y=（x+﹣5）2+=；（4）設拋物線C1關于直線y=n（n為常數）對稱的拋物線的解析式為y=mx+nx+k，根據對稱性得：新拋物線的開口方向與原拋物線的開口方向相反，開口大小相同，故m=-，對稱軸沒有變化，故n=-，當n>1時，n+（n-1）=2n-1，故新拋物線與y軸的交點為（0，2n-1），當n<1時，n-（1-n）=2n-1，新拋物線與y軸的交點為（0，2n-1），∴k=2n-1，∴拋物線C1關于直線y=n（n為常數）對稱的拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣x+2n﹣1.【點睛】此題考查待定系數法求拋物線的解析式，拋物線的對稱性，拋物線平移的性質，解題中確定變化后的拋物線的特殊點的坐標是解題的關鍵.24、（1）；（2）．【解析】（1）由從甲、乙、丙、丁4名同學中抽取同學參加學校的座談會，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）利用列舉法可得抽取2名，可得：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6種等可能的結果，甲在其中的有3種情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】（1）隨機抽取1名學生，可能出現(xiàn)的結果有4種，即甲、乙、丙、丁，并且它們出現(xiàn)的可能性相等，恰好抽取1名恰好是甲的結果有1種，所以抽取一名同學，恰好是甲的概率為，故答案為：；（2）隨機抽取2名學生，可能出現(xiàn)的結果有6種，即甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，并且它們出現(xiàn)的可能性相等，恰好抽取2名甲在其中的結果有3種，即甲乙、甲丙、甲丁，故抽取兩名同學，甲在其中的概率為=．【點睛】本題考查的是列舉法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．25、（1）90；（2）DE∥BC，見解析【分析】（1）根據旋轉的性質即可求得旋轉角的度數；（2）先利求得∠DCE=∠BCF=90°，CD=CE，可得△CDE為等腰直角三角形，即∠CDE=45°，再根據角平分線定義得到∠BCD=45°，則∠CDE=∠BCD，然后根據平行線的判定定理即可說明．【詳解】解：（1）解：∵將△CDB繞點C順時針旋轉到△CEF的位置，點F在AC上，∴∠BCF=90°，即旋轉角為90°；故答案為90°．（2），理由如下：∵將繞點順時針旋轉到的位置，點在上，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∵平分交于點，∴，∴，∴.【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質以及平行線的判定，掌握旋轉變換前后圖形的特點以及旋轉角的定義是解答本題的關鍵．26、（1）①；②；（2）PB=5時，S有最大值，此時⊙O的半徑是.【分析】（1）①連接BO、CO，利用SSS可證明△ABO≌△ACO，可得∠BAO=∠CAO=y，利用等腰三角形的性