第二部分高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例

其次部分中學數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設

計案例

1集合的概念和表示方法

教材分析

集合概念的基本理論，稱為集合論.它是近、現(xiàn)代數(shù)學的一個重要基

礎.一方面，很多重要的數(shù)學分支，如數(shù)理邏輯、近世代數(shù)、實變函

數(shù)、泛函分析、概率統(tǒng)計、拓撲等，都建立在集合理論的基礎上.另

一方面，集合論與其反映的數(shù)學思想，在越來越廣泛的領域中得到應

用.在小學和初中數(shù)學中，學生已經(jīng)接觸過集合，對于諸如數(shù)集（整

數(shù)的集合、有理數(shù)的集合）、點集（直線、圓）等，有了確定的感性

相識.這節(jié)內容是初中有關內容的深化和延長.首先通過實例引出集

合與集合元素的概念，然后通過實例加深對集合與集合元素的理解，

最終介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫

圖表示集合的例子.本節(jié)的重點是集合的基本概念與表示方法，難點

是運用集合的兩種常用表示方法-----列舉法與描述法正確表示一

些簡潔的集合.

教學目標

1.初步理解集合的概念，了解有限集、無限集、空集的意義，知道

常用數(shù)集與其記法.

2.初步了解“屬于"關系的意義，理解集合中元素的性質.

3.駕馭集合的表示法，通過把文字語言轉化為符號語言（集合語言），

培育學生的理解、化歸、表達和處理問題的實力.

任務分析

這節(jié)內容學生已在小學、初中有了確定的了解，這里主要依據(jù)實例引

出概念.介紹集合的概念采納由詳細到抽象，再由抽象到詳細的思維

方法，學生簡潔接受.在引出概念時，從實例入手，由詳細到抽象，

由淺入深，便于學生理解，緊接著再通過實例理解概念.集合的表示

方法也是通過實例加以說明，化難為易，便于學生駕馭.

教學設計

一、問題情境

1.在初中，我們學過哪些集合？

2.在初中，我們用集合描述過什么？

學生探討得出：

在初中代數(shù)里學習數(shù)的分類時，學過“正數(shù)的集合”，“負數(shù)的集

合”；在學習一元一次不等式時，說它的全部解為不等式的解集.

在初中幾何里學習圓時，說圓是到定點的距離等于定長的點的集

合.幾何圖形都可以看成點的集合.

3.“集合”一詞與我們日常生活中的哪些詞語的意義相近?

學生探討得出：

“全體”、“一類”、“一群”、“全部”、“整體”，?

4.請寫出“小于10”的全部自然數(shù).

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.這些可以構成一個集合.

5.什么是集合？

二、建立模型

1.集合的概念(先詳細舉例，然后進行描述性定義)

(1)某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集.

(2)集合中的每個對象叫作這個集合的元素.

(3)集合中的元素與集合的關系：

a是集合A中的元素，稱a屬于集合A,記作a￡A；

a不是集合A中的元素，稱a不屬于集合A,記作aft.

例：設8={1,2,3),貝IleB,4ft.

2.集合中的元素具備的性質

(1)確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個

對象是否屬于這個集合的元素也就確定了.如上例，給出集合B,4

不是集合的元素是可以確定的.

(2)互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復

的.

例：若集合A=｛a,b),則a與b是不同的兩個元素.

(3)無序性：集合中的元素無依次.

例：集合｛1,2］與集合｛2,1｝表示同一集合.

3.常用的數(shù)集與其記法

全體非負整數(shù)的集合簡稱非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N.

非負整數(shù)集內解除。的集合簡稱正整數(shù)集，記作N*或N+；

全體整數(shù)的集合簡稱整數(shù)集，記作Z；

全體有理數(shù)的集合簡稱有理數(shù)集，記作Q;

全體實數(shù)的集合簡稱實數(shù)集，記作R.

4.集合的表示方法

［問題］

如何表示方程X2-3X+2=0的全部解？

(1)列舉法

列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法.

例：x2—3x+2=0的解集可表示為{1,2).

(2)描述法

描述法是用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法.

例:①x2—3x+2=0的解集可表示為{xIX2-3X+2=0).

②不等式x-3>2的解集可表示為{xIx—3>2}.

③Venn圖法

例：x2—3x+2=0的解集可以表示為(1,2).

5.集合的分類

(1)有限集：含有有限個元素的集合.例如，A={1,2}.

(2)無限集：含有無限個元素的集合.例如，N.

(3)空集：不含任何元素的集合，記作國例如，(xIx2+l=0,

x￡R}=同

注：對于無限集，不宜采納列舉法.

三、說明應用

［例題］

1.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)由1,2,3這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復)所

組成的一切自然數(shù).

(2)平面內到一個定點。的距離等于定長1(1>0)的全部點P.

(3)在平面a內，線段AB的垂直平分線.

(4)不等式2x—8V2的解集.

2.用不同的方法表示下列集合.

(1){2,4,6,8).

(2){xIx2+x—1=0}.

(3){x￡NI3<x<7}.

3.已知A=(xeNI66-xeN).試用列舉法表示集合A.

(A={0,3,5))

4.用描述法表示在平面直角坐標中第一象限內的點的坐標的集合.

［練習］

1.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)構成英語單詞mathematics(數(shù)字)的全體字母.

(2)在自然集內，小于1000的奇數(shù)構成的集合.

(3)矩形構成的集合.

2.用描述法表示下列集合.

(1){3,9,27,81,…}.

(2)日

四、拓展延長

把下列集合“翻譯”成數(shù)學文字語言來敘述.

(1){(x,y)|y=x?+l,xGR).

(2){yIy=x?+l,x￡R).

(3){(x,y)Iy=x?+l,x￡R}.

(4){xIy=x?+l,y￡N*}.

點評

這篇案例留意新、舊學問的聯(lián)系與過渡，以舊引新，從學生的原有學

問、閱歷動身，創(chuàng)設問題情境；從實例引出集合的概念，再結合實例

讓學生進一步理解集合的概念，駕馭集合的表示方法.特別留意實例

的運用是這篇案例的突出特點.這樣做，通俗易懂，使學生便于學習

和駕馭.例題、練習由淺入深，對培育學生的理解實力、表達實力、

思維實力大有裨益.拓展延長留意數(shù)學語言的轉化和訓練，留意區(qū)分

形似而質異的數(shù)學問題，加強了學生對數(shù)學概念的理解和相識.

（教學設計：劉有路；點評：王漢嶺

2集合之間的關系

教材分析

集合之間的關系是集合運算的基礎和前提，是用集合觀點理清集合之

間內在聯(lián)系的橋梁和工具.這節(jié)內容是對集合的基本概念的深化，延

長，首先通過類比、實例引出子集的概念，再結合實例加以說明，然

后通過實例說明子集包括真子集和兩集合相等兩種狀況.這節(jié)內容的

教學重點是子集的概念，教學難點是弄清元素與子集、屬于與包含之

間的區(qū)分.

教學目標

1.通過對子集概念的歸納、抽象和概括，體驗數(shù)學概念產(chǎn)生和形成

的過程，培育學生的抽象、概括實力.

2.了解集合的包含、相等關系的意義，理解子集、真子集的概念，

培育學生對數(shù)學的理解實力.

3.通過對集合之間的關系即子集的學習，初步體會數(shù)學學問發(fā)生、

發(fā)展、運用的過程，培育學生的科學思維方法.

任務分析

這節(jié)內容是在學生已經(jīng)駕馭了集合的概念和表示方法以與兩個實數(shù)

之間有大小關系的基礎上，進一步學習和探討兩個集合之間的關系，

采納從實例入手，由詳細到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到

詳細、特殊的方法，學問的產(chǎn)生、發(fā)生比較自然，易于學習、接受和

駕馭；采納分類探討的方法闡述子集包括真子集、等集（兩集合相等）

兩種狀況，這可以使學生更好地相識子集、真子集、等集三者之間的

內在聯(lián)系.

教學設計

一、問題情境

1.元素與集合之間的關系是什么？

元素與集合是從屬關系，即對一個元素x是某集合A中的元素時，它

們的關系為x￡A.若一個對象x不是某集合A中的元素時，它們的

關系為xQk.

2.集合有哪些表示方法？

列舉法，描述法，Venn圖法.

數(shù)與數(shù)之間存在著大小關系，貝IJ,兩個集合之間是不是也存在著類似

的關系呢？先看下面兩個集合：A={1,2,3},B={1,2,3,4,

51.它們之間有什么關系呢？

二、建立模型

1.引導學生分析探討

集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素.

集合B中的元素4,5不是集合A中的元素.

2.與學生共同歸納，明晰子集的定義

對于上述問題，老師點撥，A是B的子集，B不是A的子集.

子集：對于兩個集合A,B,假如集合A中的任何一個元素都是集合B

中的元素，即集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,記作AC^B

（或B國），就說集合A是集合B的子集.

用符號語言可表示為：假如隨意元素x￡A,都有x￡B,則Af^B.

規(guī)定：空集是任何集合的子集，即對于隨意一個集合A,有

3.提出問題，組織學生探討

給出三個集合：A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}，C={1,

2,3).

(1)A是B的子集嗎？B是A的子集嗎？

(2)A是C的子集嗎？C是A的子集嗎？

4.老師給出真子集與兩集合相等的定義

上述問題中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不屬于集

合A,這時，我們就說集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的

子集，且集合A與集合C的元素完全相同，這時，我們就說集合A與

集合C相等.

真子集：假如集合A是集合B的子集，即A0B,并且B中至少有一

個元素不屬于集合A,則集合A叫作集合B的真子集，記作A0B或

B幣.

疝守的Venn圖為

兩集合相等：假如集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，即

同，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A中的元素，即

A,則就說集合A等于集合B,記作A=B.

xl

A=B的Venn圖為I

思索：設A,B是兩個集合，A［同B,歸B,A=B三者之間的關系是怎

樣的？

5.子集、真子集的有關性質

由子集、真子集的定義可推知：

(1)對于集合A,B,C,假如A號，B國C,則A［司C.

(2)對于集合A,B,C,假如A國B,B國C,則人日.

(3)A［^A.

(4)空集是任何非空集合的真子集.

三、說明應用

［例題］

1.用適當?shù)姆?￡,口=,目，臼］)填空.

(1)3{1,2,3).

(2)5{5}.

(3)4{5}.

(4){a}{a,b,c).

(5)0Q

(6){a,b,c}{b,c}.

(7)3{0}.

(8)Q{Q}.

(9){1,2}{2,1}.

(10)G={xIx是能被3整除的數(shù)}H=(xIx是能

被6整除的數(shù)}.

2.寫出集合{a,b)的全部子集，并指出其中哪些是它的真子集.

3.說出下列每對集合之間的關系.

(1)A={1,2,3,4,},B={3,4}.

(2)P={xIx2=l},Q={-1,1}.

(3)N,N*.

(4)C={x￡RIx2==-l),D={0}.

［練習］

1.用適當?shù)姆?g母=,回目)填空.

(l)a{a}.

(2)b{a}.

(3)□]{1,2}.

(4)(a,b){b,a).

(5)A=[1,2,4}B={xIx是8的正約數(shù)).

2.求下列集合之間的關系，并用Venn圖表示.

A={xIx是平行四邊形},

B={xIx是菱形},

C={xIx是矩形},

D={xIx是正方形}.

拓展延長

填表

表2-1

集合中元素的子集的個真子集的個

集合

個數(shù)數(shù)數(shù)

{a}1

{a,b}2

{a,b,c)3

{a,b,c,d)4

??????

(1)你能找出“集合中元素的個數(shù)”與“子集的個數(shù)”、“真子集

的個數(shù)”之間關系嗎？

(2)假如一個集合中有n個元素，你能寫出計算它的全部子集個數(shù)

與真子集個數(shù)的公式嗎？(用n表達)

點評

這篇案例結構嚴謹，思路清晰，概念和關系的引出留意從詳細到抽象、

從特殊到一般、從感性到理性的相識過程.詳細地說就是，先結合實

例探討兩個詳細集合的關系，從而引出子集的定義，然后再結合實例

說明A0B,包括A§B,A=B兩種狀況,再給出真子集、等集的定義.這

樣的處理方式，符合學生的認知規(guī)律，符合新課程的理念，例題與練

習由淺入深，留意數(shù)形結合，使學生從不同角度加深了對集合之間的

關系的理解.拓展延長留意培育學生從特殊到一般地解決數(shù)學問題的

實力.值得留意的是，在引出子集定義時，最好明確指出，集合之間

的“大小”關系實質上就是包含關系.

(教學設計：劉有路；點評：王漢嶺)

3邏輯聯(lián)結詞

教材分析

在初中階段，學生已接觸了一些簡潔命題，對簡潔的推理方法有了確

定程度的了解.在此基礎上，這節(jié)課首先從簡潔命題動身，給出含有

“或”、“且”、“非”的復合命題的概念，然后借助真值表，給出

推斷復合命題的真假的方法.

在中學數(shù)學中，邏輯聯(lián)結詞是學習、駕馭和運用數(shù)學語言的基礎，是

中學數(shù)學學習的動身點.因此，在教學過程中，除了關注和初中學問

親密的聯(lián)系之外，還應借助實際生活中的詳細例子，以便于學生理解

和駕馭邏輯聯(lián)結詞.

教學重點是推斷復合命題真假的方法，難點是對“或”的含義的理

解.

教學目標

1.理解邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義，了解“或”、

“且”、“非”的復合命題的構成.

2.能嫻熟推斷一些復合命題的真假性.

3.通過邏輯聯(lián)結詞的學習，使學生初步體會數(shù)學語言的嚴密性，精

確性，并在今后數(shù)學學習和溝通中，能夠精確運用邏輯聯(lián)結詞.

任務分析

在初中數(shù)學中，學生已經(jīng)學習了一些關于命題的初步學問，但是，對

命題和開語句的區(qū)分往往搞不清.因此，應首先讓學生弄懂命題的含

義，以便其駕馭復合命題.

由于邏輯中的“或”、“且”、“非”與日常用語中的“或”、

“且”、“非”的意義不完全相同，故要干脆講清晰它們的意義，比

較困難.因此，起先時，不必深講，可以在學習了有關復合命題的真

值表之后，再要求學生依據(jù)復合命題的真值表，對“或”、“且”、

“非”加以理解，這樣處理有利于駕馭重點，突破難點.

為了加深對“或”、“且”、“非”的理解，最終應設計一系列的習

題加以鞏固、深化對學問的相識程度.

教學設計

一、問題情境

生活中，我們要常常用到很多有自動限制功能的電器.例如，洗衣機

在甩干時，假如“到達預定的時間”或“機蓋被打開”，就會停機，

即當兩個條件至少有一個滿意時，就會停機.與此對應的電路，就叫

或門電路.又如，電子保險門在“鑰匙插入”且“密碼正確”兩個條

件都滿意時，才會開啟.與此對應的電路，就叫與門電路.隨著高科

技的發(fā)展，諸多科學領域均離不開類似以上的邏輯問題.因此，我們

有必要對簡易邏輯加以探討.

二、建立模型

在初中，我們已學過命題，知道可以推斷真假的語句叫作命題.

試分析以下8個語句，說出哪些是命題，哪些不是命題，哪些是真命

題，哪些是假命題.

(1)12>5.

(2)3是12的約數(shù).

(3)13是整數(shù).

(4)13是整數(shù)嗎？

(5)x〉同

(6)10可以被2或5整除.

(7)菱形的對角線相互垂直且平分.

(8)[3不是整數(shù).

(可以讓學生回答，老師給出點評)

我們可以看出，(1)(2)是真命題；(3)是假命題；因為(4)不

涉與真假；(5)不能推斷真假，所以(4)(5)都不是命題；(6)

(7)(8)是真命題.

其中，“或”、“且”、“非”這些詞叫作邏輯聯(lián)結詞.像(1)(2)

(3)這樣的命題，不含邏輯聯(lián)結詞，叫簡潔命題；像(6)(7)(8)

這樣，由簡潔命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題，叫復合命題.

假如用小寫的拉丁字母p,q,r,s,…來表示命題(這里應明確(6)

(7)(8)三個命題中p,q分別代表什么)，則上述復合命題(6)

(7)(8)的構成形式分別是p或q,p且q,非p.其中，非p也叫

作命題P的否定.

對于以上三種復合命題，如何推斷其真假呢？下面要求學生自己設計

或真或假的命題來填下面表格：

S

結合學生回答狀況,將上面的表格補充完整，并給出真值表的定義.要

求學生對每一真值表用一句話總結：

(1)“非P”形式的復合命題的真假與P的真假相反.

(2)“p且q”形式的復合命題當p與q同為真時為真，其他狀況時

為假.

(3)“p或q”形式的復合命題當p與q同為假時為假，其他狀況時

為真.

三、說明應用

［例題］

1.分別指出下列各組命題構成的“P或q”、“P且q”、“非P”

形式的復合命題的真假.

(1)p：2+2=5,q：3>2.

(2)p：9是質數(shù)，q：8是12的約數(shù).

(3)p：le{1,2},q：{1}曰{1,2}.

(4)p：S{0}，q：S］={0}.

注：引導學生進一步熟識真值表.

2.說出下列復合命題的形式，并推斷其真假.

(1)5N5.(2)521.

解：(1)p或q形式.其中，p：5>5,q：5=5.p假，q真，.\p

或q為真，即525為真命題.

(2)p或q形式.其中，p：5>4,q：5=4,p真，q假，:.p或q

為真，即524為真命題.

［練習］

1.命題：方程x2—1=0的解是x=±l,運用邏輯聯(lián)結詞的狀況是

().

A.沒用運用邏輯聯(lián)結詞

B.運用邏輯聯(lián)結詞“且”

C.運用邏輯聯(lián)結詞“或”

D.運用邏輯聯(lián)結詞“非”

(C)

2.由下列命題構成的“P或q”、“P且q”形式的復合命題均為真

命題的是().

A.p：4+4=9,q：7>4

B.p：aG{a,b,c},q：{a}國{a,b,c)

C.p：15是質數(shù)，q：4是12的約數(shù)

D.p：2是偶數(shù)，q：2不是質數(shù)

(B)

四、拓展延長

在一些邏輯問題中，當字面上并未出現(xiàn)“或”、“且"、“非”字樣

時，應從語句的陳述中搞清含義，從而解決問題.

例：小李參與全國數(shù)學聯(lián)賽，有三名同學對他作如下揣測：

甲：小李非第一名，也非其次名；

乙：小李非第一名，而是第三名；

丙：小李非第三名，而是第一名.競賽結束后發(fā)覺，一人全猜對，一

人猜對一半，一人全猜錯，問：小李得了第幾名？

由上可知：甲、乙、丙均為“p且q”形式，所以猜對一半者也說了

錯誤“命題”，即只有一個為真，所以可知是丙是真命題，因此小李

得了第一名.

還有一些邏輯問題，應從命題與命題之間關系去找尋解題思路.

例：曾經(jīng)在校內內發(fā)生過這樣一件事：甲、乙、丙、丁四名同學在教

室前的空地上踢足球，突然足球飛向了教室的一扇窗戶，聽到響聲后,

李主任走了過來，看著一地碎玻璃，問道：“玻璃是誰打破的？”

甲：是乙打破的；

乙：不是我，是丁打破的；

丙：確定不是我打破的;

T：乙在撒謊.

現(xiàn)在只知道有一個人說了真話，請你幫李主任分析：誰打破了玻璃，

誰說了真話.

分析此題關鍵在于找清乙說的與丁說的是“P”與“非P”形式，因

此說真話者可能是乙，也可能不是乙，是丁.由此分析可知，是丙打

破的玻璃.

點評

這篇案例的突出特點是對學問的認知由淺入深，層層漸進.這篇案例

的全部例子均結合學生的數(shù)學水平取自學生駕馭的學問范圍之內或

者干脆源于現(xiàn)實生活，這有利于學生對問題的實質的理解和駕馭.假

如在“建立模型”的結束時與時給出相關的例子，使學生正確區(qū)分哪

些是簡潔命題，哪些是復合命題，學生的印象會更深.

（教學設計：司豪民；點評：苗相軍）

4四種命題

教材分析

在初中，學生接觸的簡潔的邏輯推理與命題間關系（原命題和逆命題）

主要來源于幾何學問，有很強的幾何直觀性，便于駕馭.中學學生要

面對大量代數(shù)命題，因此，很有必要學習四種命題與四者之間的關系,

以適應中學數(shù)學學習的須要，這節(jié)課的主要教學目的就在于此.同時,

這節(jié)課又是學習和運用反證法這種基本解題方法的基礎.

這節(jié)課的重點是四種命題間的關系.

學生現(xiàn)有的認知水平雖然脫離了初中階段的簡潔幾何學問，但是新的

學問體系并未形成，因此，隨著學生對概念理解的深化，這節(jié)課的例

題將逐步引導學生理解幾何命題，進而理解代數(shù)命題.這種處理方式

符合學生的認知規(guī)律.

教學目標

通過這節(jié)課的教與學，應使學生初步理解四種命題與其關系，進而使

學生駕馭簡潔的推理技能，發(fā)展學生的思維實力.同時，幫助學生從

幾何推理向代數(shù)推理過渡.

任務分析

在這節(jié)課的教學過程中，要留意限制教學要求，即只探討比較簡潔的

命題，而且命題的條件和結論比較明顯；不探討含有邏輯聯(lián)結詞

“或”、“且”、“非”的命題的逆命題、否命題和逆否命題.

這節(jié)中“若P貝形式的命題中的“p”，“q”可以都是命題，也

可以不都是命題，不能等同于前面的復合命題.

教學設計

一、問題情境

在以前的數(shù)學學習中，有這樣的學問：菱形的對角線相互垂直.則，

這一真命題變一下形式是否真命題呢？如：“假如一個四邊形對角線

相互垂直，則它是菱形”，再如：“對角線不相互垂直的四邊形不是

菱形”.這些變形后的命題的真假是否和原命題有關呢？為解決這一

問題，這節(jié)課我們就來學習“四種命題”.

二、問題解決

首先讓學生回憶初中學習過的有關命題的定義：互逆命題、原命題、

逆命題.(學生回答，老師補充完整)

例：假如原命題是

(1)同位角相等，兩直線平行.

讓學生說出它的逆命題.

(2)兩直線平行，同位角相等.

再看下面的兩個命題：

(3)同位角不相等，兩直線不平行.

(4)兩直線不平行，同位角不相等.

在命題（1）與命題（3）中，一個命題的條件和結論分別是另一個命

題的條件的否定和結論的否定，這樣的兩個命題叫作互否命題.把其

中一個命題叫作原命題，另一個就叫作原命題的否命題.

在命題（1）與命題（4）中，一個命題的條件和結論分別是另一個命

題的結論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題叫作互為逆否命

題.把其中一個命題叫作原命題，另一個就叫作原命題的逆否命題.

換句話說：

（1）交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題.

（2）同時否定原命題的條件和結論，所得命題是否命題.

（3）交換原命題的條件和結論，并同時否定，所得命題是逆否命題.

一般地，用P和q分別表示原命題的條件和結論，用非P和非q分別

表示P和q的否定.于是，四種命題的形式就是：

原命題：若P則q.

逆命題：若q則P.

否命題：若非P則非q.

逆否命題：若非q而非P.

下面讓學生考慮這樣一個問題：四種命題之間，隨意兩個是什么關

系？(學生回答，老師補充，最終出示下圖)

岡

給出一個命題：“若a=0,則ab=O.”讓學生寫出其他三種命題，

并推斷四個命題的真假，然后考慮其他三種命題的真假是否與原命題

的真假有某種關系.

不難發(fā)覺如下關系：

(1)原命題為真，它的逆命題不確定為真.

(2)原命題為真，它的否命題不確定為真.

(3)原命題為真，它的逆否命題確定為真.

三、說明應用

［例題］

1.把下列命題先改寫成“若P則q”的形式，再寫出它們的逆命題、

否命題與逆否命題，并分別推斷它們的真假.

(1)負數(shù)的平方是正數(shù).

(2)正方形的四條邊相等.

分析：關鍵是找出原命題的條件P與結論q.

解：(1)原命題可以寫成：若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù).

逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù).逆命題為假.

否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù).否命題為假.

逆否命題：若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù).逆否命題為真.

(2)原命題可以寫成：若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等.

逆命題：若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形.逆命題為假.

否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等.否命題為

假.

逆否命題：若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形.逆否命

題為真.

2.設原命題是“當c>0時，若a>b,則ac>bc”，寫出它的逆命

題、否命題與逆否命題，并分別推斷它們的真假.

分析：“當c>0時”是大前提，寫其他命題時應當保留，原命題的

條件是a>b,結論是ac>bc.

解：逆命題：當c>0時，若ac>bc,則a>b.逆命題為真.否命題:

當c>0時，若aWb,則acWbc.否命題為真.逆否命題：當c>0

時，若acWbc,則aWb.逆否命題為真.

［練習］

1.命題“若a>b,則ac2>bc2,(a,b,c￡R)”與它的逆命題、

否命題、逆否命題中，真命題個數(shù)為().

A.3B.2C.1D.0

(B)

2.在命題“若拋物線y=ax?+bx+c的開口向下，貝！J{xIax'+bx

+c<0)wti”的逆命題、否命題、逆否命題中，下列結論成立的

是().

A.三命題都真B.三命題都假C.否命題真D.逆否命題真

(D)

四、拓展延長

在對某一命題的條件和結論否定時，有些問題，學生易出錯.例如，

對如下詞語的否定：“隨意的”、“全部的”、“都是”和“全是”

等.

下面以“全是”為例進行說明：所謂“否定”，即其對立面，明顯“全

是”的對立面中除了“全不是”之外，還有“部分也是”這一部

分.因此，“全是”的對立面（即否定）應是“不全是”，而不是“全

不是”.同樣，“隨意的”否定應是“某個”，“全部的”否定應是

“存在一個”或“存在一些”，“都是”的否定是“不都是”.例如,

命題：若x2+y2=0,貝Ijx,y全是0.其否命題是：若x'+yZWO,則

x,y不全是0.

點評

這篇案例涉與兩個問題：一個是定義，一個是規(guī)律，即四種命題間的

關系.為了加深學生的相識，這篇案例突出了“學生參與”，即讓學

生通過例子相識定義，在活動中自己歸納、總結規(guī)律.同時，這篇案

例又設計了適量的例題和練習，以鞏固學生在課堂活動中駕馭的學

問.再者，這篇案例中全部例子都特別簡潔，但又極具有代表性，易

于學生接受和理解，這也是學生能主動地參與到課堂活動中去的一個

必要條件.

美中不足的是，這篇案例的個別環(huán)節(jié)對“反例”的運用稍顯單薄.

（教學設計：司豪民；點評：苗相軍）

5充分條件與必要條件

教材分析

充分條件與必要條件是簡易邏輯的重要內容.學習數(shù)學須要全面地理

解概念，正確地進行表述、推斷和推理，這就離不開對充分條件與必

要條件的駕馭和運用，而且它們也是相識問題、探討問題的工具.這

節(jié)內容在“四種命題”的基礎上，通過若干實例，總結出了充分條件、

必要條件和充要條件的概念，給出了推斷充分條件、必要條件的方法

和步驟.教學的重點與難點是關于充要條件的推斷.

教學目標

1.結合實例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義.

2.理解充要條件，駕馭推斷充要條件的方法和步驟.

3.通過充要條件的學習，培育學生對數(shù)學的理解實力和邏輯推理實

力，逐步提高學生分析問題、解決問題的實力.

任務分析

這節(jié)內容是學生在學習了“四種命題”、會推斷一個命題的真假的基

礎上，主要依據(jù)“P與q”給出了充分條件、必要條件與充要條件.雖

然從實例引入，但是學生對充分條件、必要條件的理解，特殊是對必

要條件的理解有確定困難.對于本節(jié)內容的學習，首先要分清誰是條

件，誰是結論，其次要進行兩次推理或推斷.

(1)若“條件與結論”，則條件是結論的充分條件，或稱結論是條

件的必要條件.

(2)若“條件序論”，則條件是結論的不充分條件，或稱結論是

條件的不必要條件.

教學設計

一、問題情境

［提出問題］

1.寫出命題“若x>0,則x2>0”的逆命題、否命題和逆否命題，

并分別推斷原命題、逆命題、否命題、逆否命題的真假.

原命題：若x>0,則x2>0.真命題.

逆命題：若x2>0,則x>0.假命題.

否命題：若xWO,則x?W0.假命題.

逆否命題：若x2W0,則xWO.真命題.

2.“若p則q”形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假.

“若P則q”為真，即假如P成立，則q確定成立，記作p等或q與

P-

“若P則q”為假，即假如P成立，則q不確定成立，即由p推不出

q,記作p馬.

［進一步的問題］

“若x>0,則x2>0"，為真，可記作“p與q”.

(1)x>0是(>0的什么條件？

(2)x2>0是x>0的什么條件？

二、建立模型

1.學生分析探討，老師點拔

(1)x>0E^p<2>0,x>0是x2>0的什么條件？

在這個問題中，“x>0”是“條件”，“x2>0”是“結論”；已知x

>00x2>。表示若“條件”成立，則“結論”確定成立，說明“條

件”蘊涵“結論”，說明“條件”是“結論”的充分條件.

(2)x2>0與x>0,x2>0是x>0的什么條件？

在這個問題中，“x2>0”是“條件”，“x>0”是“結論”；已知x

>00X?>。表示若“結論”成立，則“條件”確定成立，說明“結

論”蘊涵“條件”，即若“條件”成立，則“結論”不確定成立，說

明“結論”是“條件”的必要條件.

2.師生共同參與，給出充分條件、必要條件的定義

假如已知p導，則，p是q的充分條件，q是p的必要條件.

3.充要條件

問題：記p：三角形的三條邊相等，q：三角形的三個角相等.問：p

是q的什么條件？

解：（1）p與q,即p是q的充分條件.

（2）q斗，即p是q的必要條件.

綜合（1）（2）,我們就說p是q的充要條件.

假如p等，且q苧，記作P與q，這時，P既是q