高中數(shù)學(xué)資料

專題一三角函數(shù)專題

【命題趨向】該專題的內(nèi)容包括三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平面向量、簡(jiǎn)單的三角恒等變

換、解三角形.高考在該部分的選擇和填空題，一般有兩個(gè)試題。一個(gè)試題是，如果在解答

題部分沒(méi)有涉及到正、余弦定理的考查，會(huì)有一個(gè)與正余弦定理有關(guān)的題目，如果在解答題

中涉及到了正、余弦定理，可能是一個(gè)和解答題相互補(bǔ)充的三角函數(shù)圖象、性質(zhì)、恒等變換

的題目；一個(gè)試題是以考查平面向量為主的試題，這個(gè)試題的主要命題方向是（1）以平面

向量基本定理、共線向量定理為主，（2）以數(shù)量積的運(yùn)算為主；三角函數(shù)解答題的主要命題

方向有三個(gè)：（1）以三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主體的解答題，往往和平面向量相結(jié)合；（2）

以三角形中的三角恒等變換為主題，綜合考杳三角函數(shù)的性質(zhì)等；（3）以實(shí)際應(yīng)用題的形式

考查正余弦定理、三角函數(shù)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用.

【考點(diǎn)透析】該專題的主要考點(diǎn)是：三角函數(shù)的概念和性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，

最值），三角函數(shù)的圖象，三角恒等變換（主要是求值），三角函數(shù)模型的應(yīng)用，正余弦定理

及其應(yīng)用，平面向量的基本問(wèn)題及其應(yīng)用.

【例題解析】

題型1三角函數(shù)的最值：最值是三角函數(shù)最為重要的內(nèi)容之一，其主要方法是利用正余

弦函數(shù)的有界性，通過(guò)三角換元或者是其它的三角恒等變換轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

例1若x是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）

A.—1B.C.----F^2D.—F^2

22

JTQ

分析：三角形的最小內(nèi)角是不大于5的，而（sinx+cosx）=l+2sinxcosx,換元解

決.

解析：由0<x4生，令/=sinx+cosx=J^sin（x+X）,而工<x+工〈工萬(wàn)，得

344412

2/一1

又，=l+2sinxcosx,得sinxcosx=----,

得丁=1+亡1=3。+1)2-1,有1+O<y<0+幽，^=亞+(.選擇答案D.

點(diǎn)評(píng)：涉及到sinx±cosx與sinxcosx的問(wèn)題時(shí)，通常用換元解決.

解法二：y=sinx+cosx+sinxcosx=V2sinx+—|+—sinlx,

I4；2

當(dāng)X時(shí),%豕=&+(,選D。

jr

例2.已知函數(shù)/(x)=2asinxcosx+2bcos2x.，且/(0)=8,/(—)=12.

6

(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)求函數(shù)/(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值.

分析：待定系數(shù)求Q,h；然后用倍角公式和降幕公式轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

解析：函數(shù))(九)可化為f(x)=osin2x+hcos2x+b.

(1)由/(0)=8,/(馬=12可得/(0)=26=8,f(-)^—a+-b^l2,所以

b=4,a—4V3.

(2)/(x)=4>/3sin2x+4cos2x+4=8sin(2x+—)+4,

6

故當(dāng)23+胃=2左"+、即x=+wZ)時(shí)，函數(shù)/(x)取得最大值為12.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)論asine+bcos6=J?=sin(e+9)是三角函數(shù)中的一個(gè)重要公式，它在

解決三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值、周期以及化簡(jiǎn)求值恒等式的證明中有著廣泛應(yīng)用，

是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問(wèn)題間的一條紐帶，是三角函數(shù)部分高考命題的重

點(diǎn)內(nèi)容.

題型2三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)圖象從“形”上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)，一直是高考所

重點(diǎn)考查的問(wèn)題之一.

例3.(2009年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第8題)為得到函數(shù)y=cos(2x+T)的圖象,

只需將函數(shù)y=sin2x的圖象

A.向左平移三個(gè)長(zhǎng)度單位B.向右平移三個(gè)長(zhǎng)度單位

1212

5兀5兀

C.向左平移乃個(gè)長(zhǎng)度單位D.向右平移三個(gè)長(zhǎng)度單位

6

分析：先統(tǒng)一函數(shù)名稱，在根據(jù)平移的法則解決.

解析：函數(shù)y=cos

故要將函數(shù)>■=sin2x的圖象向左平移—個(gè)長(zhǎng)度單位，選擇答案A.

圖象是

分析：分段去絕對(duì)值后，結(jié)合選擇支分析判斷.

,■,,,,(2tanx,當(dāng)時(shí)nx<sinx，……，

解析：函數(shù)y=tanx+sinx-|tanx-sin.結(jié)合選擇支

[2sinx,當(dāng)時(shí)nxNsinx

和一些特殊點(diǎn)，選擇答案D.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)不注意正切函數(shù)的定義域或是函數(shù)分段

不準(zhǔn)確時(shí)，就會(huì)解錯(cuò)這個(gè)題目.

題型3用三角恒等變換求值:其主要方法是通過(guò)和與差的，二倍角的三角變換公式解決.

/

-4+sina=-G,則sin(a+2

例5(2008高考山東卷理5)已知cosa-

6)5I6

是

273?273-44

A.-----B.----C.——D.-

5555

分析：所求的sin^a+言|=sin(a+-),將已知條件分拆整合后解決.

解析：

(4733.V34G.「*4

C-cosa---+sina二二----<=>—sma+——cosa=----<=>sina+—=—

I6；5225I6j5

所以sin[a+=-sin(乃)4

、a-\—6j=—5.

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正余弦、誘導(dǎo)公式等三角函數(shù)的知識(shí)，考查分拆與整合的

數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算能力.解題的關(guān)鍵是對(duì)cos+sina=—6的分拆與整合.

例6(2008高考浙江理8)若cosa+2sina=-J^■，則tana=

A.—1B.2CC-.---1-D.-2C

22

分析：可以結(jié)合已知和求解多方位地尋找解題的思路.

I2]

方法一：V^sin(a+e)=一正，其中sin0=-^=,cos°=-^=,即tan0=一,

再由sin(a+夕)=一1知道a+°=2左萬(wàn)一eZ),所以a=Ikjr-^-cp,

z、/、sin]———(PI

所以tana=tan12kjr---(p\=tan---(p\=---\~~-----2-cos=2.

I2)I2Jcos「A)si”

方法二：將已知式兩端平方得

cos2a+4cosasina+4sin2a=5=5(sin2a+cos2a)

nsin2a-4sinacosa+4cos2a=0

=tan2a-4tana+4=0ntana=2

方法三：令sina-2cosa=，，和已知式平方相加得5=5+J,故y0,

即sina—2cosa=0,故tana=2.

方法四：我們可以認(rèn)為點(diǎn)M(cosa,sina)在直線x+2y=-6上，

f出

X=------

而點(diǎn)M又在單位圓》2+,2=1上，解方程組可得，5,

2V5

J"一行

從而tana=2=2.這個(gè)解法和用方程組f0Sa+2sina=~^求解實(shí)質(zhì)上是一致的.

x[sirra+cos~a=1

方法五：a只能是第三象限角，排除C.D.,這時(shí)直接從選擇支入手驗(yàn)證，

由于」計(jì)算麻煩，我們假定tana=2,不難由同角三角函數(shù)關(guān)系求出

2

sintz=-^^-,cosa---,檢驗(yàn)符合已知條件，故選B.

55

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用三角恒等變換求值的能力，試題的根源是考生所常見(jiàn)的“已知

sin夕+cos夕=（,￡e（O,乃），求tan萬(wàn)的值（人教A版必修4第三章復(fù)習(xí)題B組最后

一題第一問(wèn)）”之類(lèi)的題目，背景是熟悉的，但要解決這個(gè)問(wèn)題還需要考生具有相當(dāng)?shù)?/p>

知識(shí)遷移能力.

題型4正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用：這類(lèi)問(wèn)題通常是有實(shí)際背景的應(yīng)用問(wèn)題，主要表現(xiàn)在航

海和測(cè)量上，解決的主要方法是利用正余弦定理建立數(shù)學(xué)模型.

例7.（2008高考湖南理19）在?個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)

為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛

的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40后海里的位置8,經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該

船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°+8（其中sin6=衛(wèi)，0°<8<90°）且與點(diǎn)A相距

26

10&5海里的位置。.

（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)：

（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.

----?東

分析：根據(jù)方位角畫(huà)出圖形，如圖.第一問(wèn)實(shí)際上就是求的長(zhǎng)，在A4BC中用余弦

定理即可解決：第二問(wèn)本質(zhì)上求是求點(diǎn)E到直線8C的距離，即可以用平面解析幾何的

方法，也可以通過(guò)解三角形解決.

解析：（1）如圖，AB=4072、匯,AC=1OVTLZBAC=0,sir\0=-

26

由于o°<e<9o°,所以cose=

由余弦定理得BC=yjAB2+AC2-2ABACcos0=1075.

所以船的行駛速度為哈15百（海里/小寸）.

3

（2）方法一：如上面的圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別是8（和%）,C（々,%），BC與x軸的交點(diǎn)為D.

由題設(shè)有，玉=弘=40,

x2=ACcosZCAD=1oV13cos(45°-^)=30,

%=ACsinNCAO=10gsin(45°-0)=20.

20

所以過(guò)點(diǎn)8,C的直線/的斜率女=一=2,直線/的方程為y=2x—40.

10+55-401

又點(diǎn)￡（0,-55）到直線I的距離d=375<7所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

V1+4

解法二：如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在A48C中，由余弦定

理得,

ciC="-C/>2+*二富3=亞

2ABBC2x4072x107510

從而sinNABC=y/l-cos2ZABC

400x加

ABsinNABC_4U、zx京

在AA8。中，由正弦定理得，AQ=40.

sin(45°-ZL4BC)也

~TXlo

由于AE=55>40=A。，所以點(diǎn)。位于點(diǎn)4和點(diǎn)E之間，且E。=AE—A。=15.

過(guò)點(diǎn)E作EP_LBC于點(diǎn)P,則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.

在RtAQPE中，

PE=QEsin乙PQE=QE-sinZAQC=QE-sin(450-NABC)=15x曰=<7.

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

東

點(diǎn)評(píng)：本題以教材上所常用的航海問(wèn)題為背景，考查利用正余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的能

力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)坐標(biāo)方位畫(huà)出正確的解題圖.本題容易出現(xiàn)兩個(gè)方面的錯(cuò)

誤，一是對(duì)方位角的認(rèn)識(shí)模糊，畫(huà)圖錯(cuò)誤；二是由于運(yùn)算相對(duì)繁瑣，在運(yùn)算上出錯(cuò).

題型5三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合：三角函數(shù)與平面向量的關(guān)系最為密切，這二者的結(jié)

合有的是利用平面向量去解決三角函數(shù)問(wèn)題，有的是利用三角函數(shù)去解決平面向量問(wèn)

題，更多的時(shí)候是平面向量只起襯托作用，三角函數(shù)的基本問(wèn)題才是考查的重點(diǎn).

例8(2009年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科第18題)已知向量

a=(2coscox,cos2(wc),b=(sin5,1),(。>0),令/(x)=a?2,且f(x)的周期為R.

(1)求的值；⑵寫(xiě)出〃x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式將函數(shù)/（X）的解析式求出來(lái)，再根據(jù)/（X）的周

期為萬(wàn)就可以具體確定這個(gè)函數(shù)的解析式，下面只要根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決即

可.

解析：（1）

f（x）=a-b=2cossincox+cos2a）x=sin2a）x+cosIcox-V2sin（2&w+—-）,

f(x)的周期為%.a)=l,/(x)=V2sin(2x+—)

4

（2）由于/（x）=J^sin（2x+三），

4

當(dāng)一1+2上%42x+74^+2左萬(wàn)CkeZ）時(shí)，/（x）單增，

377TTTTTT

即——+k7r<x<-+k7r（女eZ）,?：xe［一一,-］

8822

.??/（X）在［—工，弓］上的單調(diào)遞增區(qū)間為［—網(wǎng),生］.

2288

點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為入n,但本質(zhì)上是考查的三角函數(shù)的性質(zhì),

這是近年來(lái)高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).

例9（2009江蘇泰州期末15題）

昔，2萬(wàn)），且

已知向量Q=(3sina,cosa),B=(2sina,5sina-4cosa),aG

aLb.

（1）求tana的值;

a7i

(2)求cos的值.

23

分析：根據(jù)兩個(gè)平面向量垂直的條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)的等式，通過(guò)這個(gè)等式

探究第一問(wèn)的答案，第一問(wèn)解決后，借助于這個(gè)結(jié)果解決第二問(wèn).

解析：(1);QJ_方，二=0.而a=(3sina,cosa),b=(2sina,5sina-4cosa),

故Q?B=6sin2a+5sinacosa-4cos2a=0,由于cosa^0

6tan2a+5tana-4=0,

41,3兀、

解得tana=——，或tana=—.V?G—,2K,tana<0,

32I2)

14

故tana=—(舍去).tana=——.

23

(2)Vaef—,27tLA-e(S)兀

UJ24

由tana=--,求得tan—=-—,tan—=2(舍去).

3222

..a亞a2也

??sin—=—,cos—=-------f

2525

，a萬(wàn))amt.a.275+715

cos——i——|=cos—cos——sin—sin—=

(23)232310

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的垂直為依托，實(shí)質(zhì)上考查的是三角恒等變換.在解題要注意角的范

圍對(duì)解題結(jié)果的影響.

題型6三角形中的三角恒等變換：這是一類(lèi)重要的恒等變換，其中心點(diǎn)是三角形的內(nèi)角

和是乃，有的時(shí)候還可以和正余弦定理相結(jié)合，利用這兩個(gè)定理實(shí)現(xiàn)邊與角的互化，然

后在利用三角變換的公式進(jìn)行恒等變換，是近年來(lái)高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型.

例10.(安徽省皖南八校2009屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)17題)三角形的三內(nèi)角A,

B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,設(shè)向量根=(c-a,匕-a),〃=(a+"c),若加//“，

(1)求角B的大?。?/p>

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

分析：根據(jù)兩個(gè)平面向量平行的條件將向量的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，結(jié)合余

弦定理解決第一問(wèn)，第一問(wèn)解決后，第二問(wèn)中的角A,C就不是獨(dú)立關(guān)系了，可以用其中

的一個(gè)表達(dá)另一個(gè)，就把所要解決的問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)角的三角函數(shù)問(wèn)題.

解析：(1)vm!In,c(c-a)-(b-a)(a+b),

22i2[

c2-ac^b2-a2,：.—+—~=1.由余弦定理，得cosB=L,B=%.

ac23

2乃

(2)?:4+8+C=乃,.=A+C=—

3

2^^2^7>

/.sin4+sinC=sinA+sin(-—A)=sinA+sin—cosA-cos—sinA

=—sinA+^-cosA=V3sin(A+-)

226

2萬(wàn))，乃54

v0<A<——/.—<A+—<—

3666

1

-Vsin(A+—)<1,/.——<sinA+sinC<V3

262

點(diǎn)評(píng):本題從平面向量的平行關(guān)系入手，實(shí)質(zhì)考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等

變換,解決三角形中的三角恒等變換要注意三角形內(nèi)角和定理和角的范圍對(duì)結(jié)果的影

響.

題型7用平面向量解決平面圖形中的問(wèn)題：由于平面向量既有數(shù)的特征（能進(jìn)行類(lèi)似數(shù)

的運(yùn)算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解決平面圖形中的問(wèn)題就是必然的了，

這在近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn).考試大綱明確指出用會(huì)用平面向量解決平面幾何問(wèn)題.

例IL如圖，已知點(diǎn)G是AA8。的重心，點(diǎn)尸在上，點(diǎn)。在。5上，且P。過(guò)

AABO的重心G,OP=mOA,0Q=nOB,試證明,+工為常數(shù)，并求出這個(gè)常

mn

數(shù).

分析：根據(jù)兩向量共線的充要條件和平面向量基本定理，把題目中需要的向量用基向量

表達(dá)出來(lái)，本題的本質(zhì)是點(diǎn)P,G,Q共線，利用這個(gè)關(guān)系尋找機(jī)，〃所滿足的方程.

解析：令物=Z,OB=b,則麗=加3,OQ^nb,設(shè)AB的中點(diǎn)為例，顯然

OM^-（a+b）.,因?yàn)镚是A48C的重心，所以而=］麗.由P、

G、。三點(diǎn)共線，有所、詼共線，所以，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)幾，使PG=AGQ,

而元=而_而=10+3）_旭3=（1_用）￡+攵，

.,.?，，■??■”—?I—?—?I-?I—?

GQ=OQ-OG=nb--(a+b)=--a+(n-^)b,

1一1一1一1一

所以(——團(tuán))〃+-/?=〃——Q+(〃——)b\.

—m=—A

又因?yàn)镚、B不共線，由平面向量基本定理得133，消去X,

1"1、

整理得3機(jī)〃=機(jī)+〃，故'+』=3.結(jié)論得證.這個(gè)常數(shù)是3.

mn

【點(diǎn)評(píng)】平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要工具，它有著廣泛的應(yīng)用，用它解決平面幾何問(wèn)題

是一個(gè)重要方面，其基本思路是根據(jù)采用基向量或坐標(biāo)把所要解決的有關(guān)的問(wèn)題表達(dá)出

來(lái)，再根據(jù)平面向量的有關(guān)知識(shí)加以處理.課標(biāo)區(qū)已把兒何證明選講列入選考范圍，應(yīng)

引起同學(xué)們的注意.

題型8用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)問(wèn)題：導(dǎo)數(shù)是我們?cè)谥袑W(xué)里引進(jìn)的一個(gè)研究函數(shù)的重要工

具，利用導(dǎo)數(shù)探討三角函數(shù)問(wèn)題有它極大的優(yōu)越性，特別是單調(diào)性和最值.

JTJT

例12.已知函數(shù)/(%)=cos?x+Z/sinxcosx-sin?x,若函數(shù)/(x)在區(qū)間(一，一］上

126

是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

分析：函數(shù)的/(x)導(dǎo)數(shù)在(￡,2］大于等于零恒成立.

解析：函數(shù)/(x)在區(qū)間哈，不上是增函數(shù)，則等價(jià)于不等式/'(X)20在區(qū)間臉，不

上恒成立，即/'(x)=—2sin2x+2fcos2xN0在區(qū)間(工二］上恒成立，從而

126

fNtan2x在區(qū)間哈5］上恒成立，而函數(shù)y=tan2x在區(qū)間嗜?5］上為增函數(shù)，

所以函數(shù)y=tan2x在區(qū)間(C二］上的最大值為ymax=tan(2x-)=V3,Wr>V3

1266

為所求.

點(diǎn)評(píng)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的?種重要的

思想意識(shí).本題如將/(x)化為/(x)=rsin2x+coslx-V?2+1sin(2.x+(p)的形式，

則夕與，有關(guān)，討論起來(lái)極不方便，而借助于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題就很容易解決.

題型9三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用：將三角函數(shù)和其它的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合而產(chǎn)生一些綜合性

的試題，解決這類(lèi)問(wèn)題往往要綜合運(yùn)用我們的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，全方位的多方向進(jìn)

行思考.

例13.設(shè)二次函數(shù)/(x)=x2+bx+c3,ceR),已知不論a,4為何實(shí)數(shù)，恒有

/(sinor)>0利/(2+cos/?)<0.

(1)求證：h-\-c=—\；

(2)求證：c23；

(3)若函數(shù)/(sina)的最大值為8,求b,c的值.

分析：由三角函數(shù)的有界性可以得出/(1)=0,再結(jié)合有界性探求.

解析：(1)因?yàn)?14sin夕41且/(sina)20恒成立，所以/(1)>0，又因?yàn)?/p>

142+cos643且/(2+cos￡)W0恒成立，所以/⑴<0,從而知/⑴=0,

l+b+c=0,即b+c=-l.

(2)由142+cos用43且/(2+COS04O恒成立得/⑶40,即9+3b+c40,

將。=一1—c代如得9-3—3c+cW0,即cN3.

,1+c)2+C一甘E

(3)/(sina)=sin2a+(-1-c)sina+c=(sina———

1+cT-b+c=8

因?yàn)?gt;2,所以當(dāng)sina=-1時(shí)[/(sin6Z)]=8,由\解得

max1+b+c=0

6=-4,c=3.

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是b+c=-l,由I"sina)20利用正余弦函數(shù)的有界性得出

/(2+cos/?)<0

“1)2。

從而/⑴=0,使問(wèn)題解決，這里正余弦函數(shù)的有界性在起了重要作用.

/⑴4。

【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】

一、選擇題

1.若ae[0,2%),且Jl-cos2a+Vl-sin2a-sina-cosa，則a的取值范圍是()

TTTT37r3乃

A.[0,-]B.C.[^，―]D.[-M

2222

2.設(shè)a是銳角，且Ig(l-cosa)=機(jī)，1g---5---=n,則lgsina=()

1+cosa

11、cm—n-11、

A.in-nB.—(zjn--)C.-----D.一(z---〃)

2n22m

3.若lZl=2sinl5°,Rl=4cosl5°,3與B的夾角為30°,則=)

C.273D.-

AB.6

-T2

4.若。為A46C的內(nèi)心，且滿足（。3-。0（。5+。。-204）=0,則兒48。的形狀為

（）

A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

5.在A4BC中，若，—?jiǎng)tAA3C是（）

cosAcosBcosC

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

6.已知向量。%=(2,0)、OC=(2,2),C4=(V2cosa，V2sina),則直線OA與直線。8

的夾角的取值范圍是()

A.[2,當(dāng)B.?嗎5"D?［吟

1212412

二、填空題

7.sin6x+cos6x+3sin2xcos2x的化簡(jiǎn)結(jié)果是.

8.若向量，與1的夾角為則稱ZxB為它們的向量積，其長(zhǎng)度為|￡xBl=EgBlsin。,

已知lZl=l,正1=5,且2石=一4,則lZx區(qū)|=.

9.一貨輪航行到某處，測(cè)得燈塔S在貨輪的北偏東15。，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪

按北偏西30。的方向航行30分鐘后，又得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為每小

時(shí)海里.

三、解答題

Isin2(工-a)+4cos2a

10.已知：tan("+a)=一一，tan(a+￡)=-------------------

3lOcos'a-sin2a

(1)求tan(a+/7)的值;

(2)求tan￡的值.

11.已知函數(shù)=J^sin2x-—1+2sin(x------)(xG/?).

(1)求函數(shù)/(力的最小正周期；

(2)求使函數(shù)/(x)取得最大值的x的集合.

12.已知向量a=(cosa,sina),h=(cos/?,sin,卜一?=2^1.

(1)求cos(。一1)的值；

jr7[5

(2)若0<a<一,---</?<0,且sin/?=-------,求sina.

2213

【參考答案】

1.解析：B由已知可得sina?(),且cosaKO,故得正確選項(xiàng)B.

2.解析:Clg(l+cosa)=-“與lg(l-cosa)=/n相加得lg(l-co相a)=/n-〃,

21gsina=m-n,故選C.

3.解析：Bab-4sin30°cos30=2sin60=6，選B.

4.解析：A己知即Q?(而+衣)=0,即邊BC與頂角/BAC的平分線互相垂直，這表

明A46c是一個(gè)以AB、AC為兩腰的等腰三角形.

5.解析：B依題意，由正弦定理得sinA=cosA,且sin8=cos8,sinC=cosC,故得.

6.解析：A由ICAI=2為定值，A點(diǎn)的軌跡方程為(x—2)2+(y—2)2=2,由圖形易知

所求角的最大、最小值分別是該圓的切線與x軸的夾角，故得.

7.解析：1原式=(sin)x+cos,x)3-3sin4xcos2x-3sin?xcos"x+3sin?xcos?x=1.

43-_3

8.解析：3由夾角公式得cos6=——，.?.sine=1,.,.lax加=lx5x—=3.

555

9