人教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)案143 公式法

14.3.2公式法

第1課時運用平方差公式因式分解

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能直接利用平方差公式因式分解.

2.掌握利用平方差公式因式分解的步驟.

預(yù)習(xí)

閱讀教材“思考及例3、例4"，完成預(yù)習(xí)內(nèi)容.

知識探究

L(1)填空：

4a2=(翁|4b2=()2；0.16a4=()2:a2b2=()2.

(2)因式分解：2a2—4a=；(x+y)2—3(x+y)=.

2.(1)填空：(x+2)(x-2)=；(y+5)(y—5)=.

(2)根據(jù)上述等式填空：X2-4=；y2-25=.

(3)總結(jié)公式：a2—b2=,

即兩個數(shù)的,等于這兩個數(shù)的與這兩個數(shù)的的.

自學(xué)反饋

⑴下列多項式能否用平方差公式來分解因式？為什么？

@x2+y2；@x2—y2；③-x'+y2；(4)—x2—y2.

(2)分解因式：?a2—^rb2；②9a4b*③-a'+16.

活動1小組討論

例1.分解因式：

⑴x?y—4y；(2)(a+1)2—1；(3)x1—1；

(4)—2(x—y)2+32；(5)(x+y+z)2—(x—y+z)2.

解:(1)原式=y(x°-4)=y(x+2)(x—2).

(2)原式=(a+1+1)(a+1—1)=a(a+2).

(3)原式=(d+l)那-1)=(六+1)(x+1)(x—1).

(4)原式=-2[(x—y)J—16]=-2(x—y+4)(x—y—4).

(5)原式=[(x+y+z)+(x—y+z)][(x+y+z)—(x—y+z)]

=(x+y+z+x—y+z)(x+y+z—x+y—z)

=2y(2x+2z)=4y(x+z).

點撥：有公因式的先提公因式，然后再運用平方差公式；一直要分解到不能分解為止.

例2.求證：當(dāng)n是正整數(shù)時，兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù).

證明：依題意，得(2n+l)"—(2n—1)2=(2n+l+2n—1)(2n+1—2n+1)=8n.

：8n是8的n倍，

當(dāng)n是正整數(shù)時，兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù).

點撥：先用含n的代數(shù)式表示出兩個連續(xù)奇數(shù)，列出式子后分解因式.

例3.已知x—y=2,x2—y2=6,求x,y的值.

解：依題意,得(x+y)(x—y)=6.??.x+y=3.

'_5

.Jx—y=2,.v*2'

〔x+y=3.1

J=2,

點撥：先將x?一y2分解因式后求出x+y的值，再與x—y組成方程組求x,y的值.

活動2跟蹤訓(xùn)練

1.因式分解：

(1)—1+0.09x2；(2)x2(X—y)+y2(y—x)；

(3)a5—a;(4)(a+2b)2—4(a—b)2.

2.計算:11—沙一撲一沙\1-20172)(1-20182)-

課堂小結(jié)

1.分解因式的步驟：先排列，首系數(shù)不為負(fù)；然后提取公因式；再運用公式分解，最后檢查各因式

是否能再分解.

2.不能直接用平方差公式分解的，應(yīng)考慮能否通過變形，創(chuàng)造應(yīng)用平方差公式的條件.

第2課時運用完全平方公式因式分解

學(xué)習(xí)目標(biāo)

L會判斷完全平方式.

2.能直接利用完全平方式因式分解.

3.掌握利用完全平方公式因式分解的步驟.

預(yù)習(xí)

閱讀教材“思考及例5、例6"，完成預(yù)習(xí)內(nèi)容.

知識探究

因式分解：2a2b—4ab2=；—3a3b+12ab3=.

(1)填空：(a+b)2=；(a-b)2=.

⑵根據(jù)(1)中的式子填空：a+2ab+b2=；a2-2ab+b2=.

⑶形如a2++Y與a2-+b?的式子稱為完全平方式.

完全平方公式：a2±2ab+b~=(a±b)J,

即兩個數(shù)的加上(或減去)這兩個數(shù)的,等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.

自學(xué)反饋

1.判斷下列多項式是否為完全平方式，如果是，運用完全平方公式將其因式分解.

@b2+b+1；②a~—ab+b-；(3)l+4a2；@a—a+~.

點撥：完全平方式其中有兩項能寫成兩個數(shù)或兩個式子的平方的形式，且符號相同，另一項為這兩

個數(shù)或兩個式子積的2倍或2倍的相反數(shù).

2.分解因式：

(1)X2+12X+36；(2)—2xy—x2—y2；(3)ax2+2a2x+a3.

點撥：第⑵小題先提取“一”再判斷是否能運用完全平方公式，第⑶小題先提公因式，關(guān)鍵找準(zhǔn)

a、b.

活動1小組討論

例1.分解因式：

(1)a2+ab+^b2；(2)—2x3y+4x2y—2xy；

(3)(a—b)2—6(b—a)+9；(4)(x2—2x)2+2(x2—2x)+1.

解：⑴原式=(a+；b)2

(2)原式=-2xy(x°—2x+l)=—2xy(x—l)2.

(3)原式=(a—b)-+6(a—b)+9=(a—b+3)2.

⑷原式=3—2x+l)z=[(x—l)z]z=(x—1尸.

點撥：先找準(zhǔn)兩個完全平方式，確定a、b,再判斷是否符合完全平方式結(jié)構(gòu)；第(4)小題先要把括

號里的式子看作一個整體，分解后要繼續(xù)分解到不能分解為止.

例2.已知x+-=4,求：

x

(1)/十二的值；(2)(x—gz的值.

XX

222

解:(l)x+A=(x+i)-2=4-2=14.

(2)(x--)2=(X+-)-4=42-4=12.

XX

點撥：這里需要活用公式，如x2+4=(x+g?—2,(X--)2=(X+-)2-4,將兩個完全平方公式進(jìn)行

XXXX

互相轉(zhuǎn)化.

例3已知|b—4|+a°—a+：=0,求26的值.

解：依題意，得,一4|+(a—獷=0.

b—4=0,f1

??a」=0,,?=夕=而

I2U-1b=4.

點撥：先分解因式得到兩個非負(fù)數(shù)的和，再根據(jù)絕對值和完全平方數(shù)的非負(fù)性求出a,b.

活動2跟蹤訓(xùn)練

1.因式分解：

(1)(a2—4a)2+8(a一一4a)+16；(2)2x—12x+18；

(3)^x2+xy+-1y2；(4)abx2+2abxy+aby2.

2.利用因式分解計算：2022+202X196+982.

3.如果x2+mxy+9y2是一個完全平方式，那么m的值是.

課堂小結(jié)

1.用完全平方式分解因式，關(guān)鍵在于觀察各項之間的關(guān)系，配湊a、b.

2.分解因式的步驟：先排列，使首項系數(shù)不為負(fù)；提取公因式；然后運用公式法；檢查各因式是否

能再分解.

課堂小練

一、選擇題

1.將下列多項式因式分解，結(jié)果中不含有因式(a+1)的是()

A.a"_lB.a~+aC.a2+a_2D.(a+2)(a+2)+1

2?下列多項式中，不能用公式法分解因式的是()

A.-l+x2y2B.x2+x+0.25C.-x2-y2D.4x2y2-4xy+l

3?下列多項式，能用公式法分解因式的有()

①x，+y2②-x2+y2(3)-x2-y2④x2+xy+y2@x2+2xy-y2@-x2+4xy-4y2

A.2個B.3個C.4個D.5個

4?分解因式的結(jié)果是(2x—y)(2x+y)的是()

A.—4x2+y2B.4x2+y2C.—4x2—y2D.4x2—y2

5-若一個多項式的平方的結(jié)果為4a2+12ab+m2,則m=()

A.9b2B.±3b2C.3bD.±3b

6?下列各多項式中，不能用平方差公式分解的是()

A.a2b2-1B.4-0.25a2C.-a2-b2D.-x2+l

7.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()

A.x2+4y2B.x2-2y2+lC.-x2+4y2D.-x2-4y2

8.若a、b、c為一個三角形的三邊長，則式子(a-c)2-bz的值()

A.一定為正數(shù)B.一定為負(fù)數(shù)

C.可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)D.可能為0

9.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是()

A.-a2+b2B.-x2-y2C.49x2y2-z2D.16m4-25n2p2

10.下列多項式中能用平方差公式分解因式的是()

A.a2+(-b)2B.5m2-20mn