2024屆江蘇省淮安市五校聯(lián)盟高三上學期10月學情調(diào)查測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省淮安市五校聯(lián)盟2024屆高三上學期10月學情調(diào)查測試數(shù)學試題一?單項選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得又，所以，故選：A.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，故選：D.3.已知，命題，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗為真命題，則，故，由于，所以是的必要不充分條件，故選：B4.數(shù)學家楊輝在其專著《詳析九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列.其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項分別為，則的最小值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗數(shù)列前六項分別為，依題知，疊加可得：，得，當時，，滿足，所以，所以，當且僅當時，即時，等號成立，又，所以等號取不了，所以最小值在取得，當時，，所以最小值為.故選：C.5.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，所以，，故選：D6.已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由于的定義域為，關于原點對稱，且故為偶函數(shù)，而當為單調(diào)遞增函數(shù)，故當，單調(diào)遞減，由可得，平方得，解得或，故的取值范圍是，故選：C7.已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗由于所以，要使為整數(shù)，則為24的因數(shù)，由于，故可以為，故滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)為7個，故選：B8.已知，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，由可得，進而可得故，同理可得，令或，故均為方程的實數(shù)根，故，，由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，故選:B二?多項選擇題9.已知為等比數(shù)列，是其前項和.若與的等差中項為20，則（）A. B.公比C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由得，又與的等差中項為20，則，所以公比為，故，故，故ACD正確，B錯誤，故選:ACD10.已知正數(shù)滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為9C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗BD〖解析〗A：因為是正數(shù)，所以，當且僅當時取等號，即當時，有最大值為，因此本選項不正確；B：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當取等號，故本選項正確；C：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當時，有最小值，因此本選項不正確；D：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當時，的最小值為因此本選項正確，故選：BD11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于原點中心對稱B.在區(qū)間上的最小值為C.過點有且僅有1條直線與曲線相切D.若過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是〖答案〗AD〖解析〗的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故圖象關于原點對稱，故A正確，，令得或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，最小值為，故B錯誤，設切點為，則切點處切線方程為，若切線經(jīng)過，則將代入可得，所以或，故經(jīng)過會有兩條切線，C錯誤，若切線經(jīng)過，則將代入得，令，則當因此在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，作出的圖象如下：，要使過點存在3條直線與曲線相切，則直線過點與的圖象有三個不同的交點，故，D正確，故選：AD12.已知函數(shù)，則（）A.是方程的兩個不等實根，且最小值為，則B.若在上有且僅有4個零點，則C.若在上單調(diào)遞增，則在上的零點最多有3個D.若的圖象與直線連續(xù)的三個公共點從左到右依次為，若，則〖答案〗ABD〖解析〗A選項：由題可知，所以，A正確；B選項：若，令得，即，所以，函數(shù)由小到大的第4個零點為，第5個零點為，由題知，，解得，B正確；C選項：由得，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，若在上有3個零點，則，解得，因，所以C錯誤；D選項：由圖可知，，又，所以，即，因為，所以，所以，D正確.故選：ABD.三?填空題13.數(shù)列滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗由題設，所以是周期為3的數(shù)列，則.故〖答案〗為：14.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由得，由于函數(shù)的定義域為，故令,解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故〖答案〗：15.在中，角的對邊分別為為邊中點，若則面積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗由于為邊中點,所以,平方,因此,由于，所以，當且僅當時等號成立，故，由于在單調(diào)遞減，故當時，最小，且為鈍角，,由于在單調(diào)遞增，故當取最小值時，此時面積最大，故當時，此時最小，進而最小，故面積最大，由可得，故面積的最大值為，故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的所有整數(shù)的取值集合為__________.（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗〖解析〗由題意且，當時，即在上遞減，又，所以，定義域內(nèi)存在，不符合題意；當時，時，遞減；時，遞增；所以，要使恒成立，只需，令且，則，所以，時，遞增；時，遞減；由，所以在各有一個零點，且取兩個零點之間的值（含零點）時，故整數(shù)時恒成立.故〖答案〗為：四?解答題17.已知函數(shù)，且的最大值為3，最小正周期為.（1）求的〖解析〗式；（2）求在上的值域，并指出取得最大值時自變量的值.解：（1），所以的最小正周期，則；且的最大值，則.所以.（2）因為，所以，則，則，所以的值域為.當取得最大值時，，所以自變量的值為.18.已知是等差數(shù)列的前項和，且.（1）求數(shù)列通項公式與前項和；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的前項和.（2）由得，所以當時，，；由得，所以當時，，.所以，當時，；當時，.所以，.19.已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的極值；（2）若在上的最小值為，求的取值范圍.解：（1），，.因為在處取得極值，所以，則.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以的極大值為，極小值為.（2）.①當時，，所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，滿足題意；②當時，令，則或，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，的最小值為，不滿足題意；③當時，在上單調(diào)遞減，的最小值為，不滿足題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍時.20.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求證：數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以①當時，，所以；當時，②①-②得，即，則，所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，所以.（2）因為，所以，所以.21.中，角的對邊為.（1）求角的大??；（2）若內(nèi)切圓的半徑，求的面積.解：（1）由正弦定理得，因為，所以，則，即，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，因為，所以（*）.又的面積，即，則，代入（*）式得，即，所以，則，所以的面積.22.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點處的切線與函數(shù)的圖象有公共點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，則在點處的切線斜率為，所以切線方程為，即.由得，即.因為函數(shù)定義域為，所以方程有非零實數(shù)根，當時，，符合題意，當時，則，即，且，所以實數(shù)a的取值范圍是.（2）因為函數(shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點，所以，即無實根，所以當時，無實根，因為，即是偶函數(shù)，所以在上無實根.，記則，.①當時，，又，則，所以，滿足在上無實根.②當時，在上有實根，不合題意，舍去.③當時，，所以在單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，滿足在上無實根.④當時，因為在單調(diào)遞增，且，，則存在唯一的，使，列表得-0+↘極小值↗所以當時，，則在單調(diào)遞減，則，又因為，且在上連續(xù)，所以在上有實根，不合題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.江蘇省淮安市五校聯(lián)盟2024屆高三上學期10月學情調(diào)查測試數(shù)學試題一?單項選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得又，所以，故選：A.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，故選：D.3.已知，命題，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗為真命題，則，故，由于，所以是的必要不充分條件，故選：B4.數(shù)學家楊輝在其專著《詳析九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列.其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項分別為，則的最小值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗數(shù)列前六項分別為，依題知，疊加可得：，得，當時，，滿足，所以，所以，當且僅當時，即時，等號成立，又，所以等號取不了，所以最小值在取得，當時，，所以最小值為.故選：C.5.已知為銳角，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于，所以，，故選：D6.已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由于的定義域為，關于原點對稱，且故為偶函數(shù)，而當為單調(diào)遞增函數(shù)，故當，單調(diào)遞減，由可得，平方得，解得或，故的取值范圍是，故選：C7.已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗由于所以，要使為整數(shù)，則為24的因數(shù)，由于，故可以為，故滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)為7個，故選：B8.已知，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，由可得，進而可得故，同理可得，令或，故均為方程的實數(shù)根，故，，由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，故選:B二?多項選擇題9.已知為等比數(shù)列，是其前項和.若與的等差中項為20，則（）A. B.公比C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由得，又與的等差中項為20，則，所以公比為，故，故，故ACD正確，B錯誤，故選:ACD10.已知正數(shù)滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為9C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗BD〖解析〗A：因為是正數(shù)，所以，當且僅當時取等號，即當時，有最大值為，因此本選項不正確；B：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當取等號，故本選項正確；C：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當時，有最小值，因此本選項不正確；D：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當時，的最小值為因此本選項正確，故選：BD11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于原點中心對稱B.在區(qū)間上的最小值為C.過點有且僅有1條直線與曲線相切D.若過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是〖答案〗AD〖解析〗的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故圖象關于原點對稱，故A正確，，令得或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，最小值為，故B錯誤，設切點為，則切點處切線方程為，若切線經(jīng)過，則將代入可得，所以或，故經(jīng)過會有兩條切線，C錯誤，若切線經(jīng)過，則將代入得，令，則當因此在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，作出的圖象如下：，要使過點存在3條直線與曲線相切，則直線過點與的圖象有三個不同的交點，故，D正確，故選：AD12.已知函數(shù)，則（）A.是方程的兩個不等實根，且最小值為，則B.若在上有且僅有4個零點，則C.若在上單調(diào)遞增，則在上的零點最多有3個D.若的圖象與直線連續(xù)的三個公共點從左到右依次為，若，則〖答案〗ABD〖解析〗A選項：由題可知，所以，A正確；B選項：若，令得，即，所以，函數(shù)由小到大的第4個零點為，第5個零點為，由題知，，解得，B正確；C選項：由得，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，若在上有3個零點，則，解得，因，所以C錯誤；D選項：由圖可知，，又，所以，即，因為，所以，所以，D正確.故選：ABD.三?填空題13.數(shù)列滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗由題設，所以是周期為3的數(shù)列，則.故〖答案〗為：14.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗由得，由于函數(shù)的定義域為，故令,解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故〖答案〗：15.在中，角的對邊分別為為邊中點，若則面積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗由于為邊中點,所以,平方,因此,由于，所以，當且僅當時等號成立，故，由于在單調(diào)遞減，故當時，最小，且為鈍角，,由于在單調(diào)遞增，故當取最小值時，此時面積最大，故當時，此時最小，進而最小，故面積最大，由可得，故面積的最大值為，故〖答案〗為：16.已知函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的所有整數(shù)的取值集合為__________.（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗〖解析〗由題意且，當時，即在上遞減，又，所以，定義域內(nèi)存在，不符合題意；當時，時，遞減；時，遞增；所以，要使恒成立，只需，令且，則，所以，時，遞增；時，遞減；由，所以在各有一個零點，且取兩個零點之間的值（含零點）時，故整數(shù)時恒成立.故〖答案〗為：四?解答題17.已知函數(shù)，且的最大值為3，最小正周期為.（1）求的〖解析〗式；（2）求在上的值域，并指出取得最大值時自變量的值.解：（1），所以的最小正周期，則；且的最大值，則.所以.（2）因為，所以，則，則，所以的值域為.當取得最大值時，，所以自變量的值為.18.已知是等差數(shù)列的前項和，且.（1）求數(shù)列通項公式與前項和；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的前項和.（2）由得，所以當時，，；由得，所以當時，，.所以，當時，；當時，.所以，.19.已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的極值；（2）若在上的最小值為，求的取值范圍.解：（1），，.因為在處取得極值，所以，則.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以的極大值為，極小值為.（2）.①當時，，所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，滿足題意；②當時，令