2024屆浙江省新陣地教育聯(lián)盟高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省新陣地教育聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題部分，共60分）一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，所以，因為，所以以，所以，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A3.已知向量，，若與反向共線，則的值為（）A.0 B.48 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，得，又與反向共線，故，此時，故.故選：C.4.已知函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，因此，不符合題意，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，并且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C5.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗表示的為雙曲線，故，且焦點在軸上，由題意得，解得，負(fù)值舍去.故選：B.6.過點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為A，B，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓的圓心為，因為過點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為，，所以，，，四點在以為直徑的圓上，設(shè)為，故的方程為，即，將兩圓聯(lián)立方程組，解得，故直線：，點到直線：的距離為，在圓中，點到直線：的距離為，所以，解得，所以的面積為.故選：B.7.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以平方得，，，即，，兩式相加可得，即，故，.故選：D.8.記為公比不是1的等比數(shù)列的前n項和．設(shè)甲：，，依次成等差數(shù)列．乙：，，依次成等差數(shù)列．．則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，充分性：若，，依次成等差數(shù)列，則，則，有，，所以，，依次成等差數(shù)列.充分性滿足.必要性：若，，依次成等差數(shù)列，有，則，，所以，，依次成等差數(shù)列，必要性滿足.所以是充要條件.故選：C二、多選題9.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為不全相等的正實數(shù)．下列說法正確的是（）A.樣本甲的極差可能等于樣本乙的極差B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差C.若為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為D.若為樣本甲的平均數(shù)，則樣本乙的平均數(shù)為〖答案〗CD〖解析〗樣本甲的極差為，樣本乙的極差為，由為不全相等的正實數(shù)，所以，則樣本甲和乙的極差不相等，故A錯誤；設(shè)甲的方差為，那么乙的方差為，所以樣本甲的方差小于樣本乙的方差，故B錯誤；根據(jù)中位數(shù)的定義可知，若為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為，故C正確；根據(jù)平均數(shù)公式可知，，樣本乙的平均數(shù)，故D正確.故選：CD10.聲強(qiáng)級（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）之間的關(guān)系是：，其中指的是人能聽到的最低聲強(qiáng)，對應(yīng)的聲強(qiáng)級稱為聞閾．人能承受的最大聲強(qiáng)為，對應(yīng)的聲強(qiáng)級為，稱為痛閾.某歌唱家唱歌時，聲強(qiáng)級范圍為（單位：），下列選項中正確的是（）A.聞閾的聲強(qiáng)級為B.此歌唱家唱歌時的聲強(qiáng)范圍為（單位：）C.如果聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?倍，對應(yīng)聲強(qiáng)級也變?yōu)樵瓉淼?倍D.聲強(qiáng)級增加，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?0倍〖答案〗BD〖解析〗由題意，，則，所以，當(dāng)時，，故A錯誤；當(dāng)時，即，則，當(dāng)時，即，則，故歌唱家唱歌時的聲強(qiáng)范圍為（單位：），故B正確；將聲強(qiáng)為對應(yīng)的聲強(qiáng)級作商為，故C錯誤；將，對應(yīng)聲強(qiáng)作商為，故D正確.故選：BD.11.已知正方體的棱長為4，正四面體的棱長為a，則以下說法正確的是（）A.正方體的內(nèi)切球直徑為4B.正方體的外接球直徑為C.若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最大值是D.若正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最小值是〖答案〗ACD〖解析〗對于A，正方體內(nèi)切球直徑即其棱長，所以直徑為4，A正確；對于B，正方體的外接球直徑即其體對角線，所以直徑為，B錯誤；正四面體的棱長為a因為正四面體的外接球的球心O到點F、G、H的距離相等，所以O(shè)在平面BCD內(nèi)的射影，到點F、G、H的距離相等，又因為在正四面體中是正三角形，所以是的中心，進(jìn)而在正四面體中，有平面，所以球心O在高線上，同理：球心O也在其它面的高線上，又正四面體中各面上的高都相等，所以由得，點O到正四面體各面的距離相等，所以點O也是正四面體的內(nèi)切球的球心，這樣正四面體的內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合．記正四面體的高為，則.因此，只要求出其中一個，則另一個也出來了.因為在正四面體中，是正三角形，是其中心，所以，因為平面,平面，所以，在中，由勾股定理，得，所以，解得，，故所求的外接球的半徑和內(nèi)切球的半徑分別為.對于C，若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球，又由棱長為a的正四面體的外接球半徑，C正確；對于D，正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球，又由棱長為a的正四面體的內(nèi)切球半徑，D正確.故選：ACD.12.已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（）A. B.4是的一個周期C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A項，由已知，，可得，，整理可得，.當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有.所以，，故A項錯誤；對于B項，由已知可得，，兩邊同時求導(dǎo)可得，，，所以，，.所以，關(guān)于直線對稱，關(guān)于點對稱，所以，4是的一個周期，故B正確；對于C項，由B知，當(dāng)時，有，故C項正確；對于D項，由A知，.所以有，，，，，.又時，代入，即可得出，所以，，故D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題部分，共90分）三、填空題13.已知圓臺的上下底面半徑分別為2，4，母線長為6，則該圓臺的表面積是______．〖答案〗〖解析〗設(shè)上底面半徑，下底面半徑，母線，則圓臺的表面積.故〖答案〗為：14.首個全國生態(tài)主場日活動于2023.8.15在浙江湖州舉行，推動能耗雙控轉(zhuǎn)向碳排放雙控．有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6項議程在該天舉行，每個議程有半天會期．現(xiàn)在有甲、乙、丙三個會議廳可以利用，每個會議廳每半天只能容納一個議程．若要求A，B兩議程不能同時在上午舉行，而C議程只能在下午舉行，則不同的安排方案一共有______種．（用數(shù)字作答）〖答案〗252〖解析〗分兩種情況，第一種，A，B議程中有一項在上午，有一項在下午舉行，先從3個上午中選1個和3個下午中選一個，由A，B議程進(jìn)行選擇，有種選擇，再從剩余的2個下午中選擇1個安排C議程，有種選擇，剩余的3場會議和3個時間段進(jìn)行全排列，有種選擇，所以有種選擇，第二種，A，B議程都安排在下午，C議程也按照在下午，故下午的3個時間段進(jìn)行全排列，有種選擇，再將剩余的3個議程和3個上午時間段進(jìn)行全排列，有種選擇，所以有種選擇，綜上：不同的安排方案一共有種選擇.故〖答案〗為：25215.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的最大值是______．〖答案〗〖解析〗因為，且，所以，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，所以，解得且，故，解得，因為，故或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.故〖答案〗為：.16.已知拋物線的焦點為，圓與拋物線相切于點，與軸相切于點，則______．〖答案〗2〖解析〗拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，依題意不妨令在第一象限，設(shè)，則圓的半徑，設(shè)（），則圓的方程為，由，可得，則，所以拋物線在點處的切線的斜率，依題意可得與拋物線在點處的切線垂直，所以，則①，又點圓上，所以，則②，所以，整理可得，解得或（舍去），所以，即，所以.故〖答案〗為：四、解答題17.如圖，在三棱錐中，，．（1）證明：；（2）若，，點D滿足，求二面角的大?。?）證明：取中點O，連接，．∵，∴，在與中，，，∴，∴，∴，又，平面，平面，所以平面，又平面，∴；（2）解：過點O作平面．由（1）知，建立如圖空間坐標(biāo)系，如圖：則，，，∵，，，∴設(shè)，得：解得，∴，∴，，，因為，所以設(shè)平面一個法向量，則，，即，取，設(shè)平面的一個法向量為，則，，取，，∴二面角夾角為45°．18.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）若，求邊上的中線的長．解：（1）∵，∴，∴，∴，即，由正弦定理可得，∵，∴，又∵，∴，∴．∴.（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．（1）解：，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）證明：由（1）得：要證：，即證：即證：令，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；所以，從而命題得證．20.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，數(shù)列的前n項和為．（1）求數(shù)列和的通項公式．（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，，，求．解：（1）當(dāng)時，，∴，∵，∴，兩式相減得：，設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為q，則，解得或，當(dāng)時，，不合題意，舍去，當(dāng)時，符合題意，∴，.（2）∵，，∴，令，，①，②①式減去②式得，，當(dāng)時，數(shù)列每一項均相等且為，，當(dāng)時，，又，∴．21.杭州亞運(yùn)會定于2023年9月23日至10月8日舉行．在此期間，參加亞運(yùn)會的運(yùn)動員可以在亞運(yùn)村免費食宿．亞運(yùn)村的某餐廳從第一天起到最后一天，晩餐只推出“中式套餐”和“西式套謷”．已知某運(yùn)動員每天晚餐會在該食堂提供的這兩種套餐中選擇．已知他第一晚選擇“中式套餐”的概率為，而前一晚選擇了“中式套餐”，后一晚繼續(xù)選擇“中式套餐”的概率為，前一晚選擇“西式套餐”，后一晚繼續(xù)選擇“西式套餐”的概率為，如此往復(fù)．（1）求該運(yùn)動員第二晚“中式套餐”套餐的概率；（2）記該運(yùn)動員第晚選擇“中式套餐”的概率為（i）求；（ii）求該運(yùn)動員在這16晚中選擇“中式套餐”的概率大于“西式套餐”概率的晚數(shù)．解：（1）記該運(yùn)動員第二晚“中式套餐”套餐的概率，由題意知：；（2）該運(yùn)動員第晚選擇“中式套餐”的概率為，（i），∴，又∵，∴，∴數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．∴；（ii）由題意知，只需即，，即，顯然必為奇數(shù)，偶數(shù)不成立，故當(dāng)，3，5，…，15時，有即可.當(dāng)時，，顯然成立；當(dāng)時，，因為，故當(dāng)時，成立；當(dāng)時，與比較大小，，所以當(dāng)時，不成立.又因為單調(diào)遞減，所以時不成立．綜上，只有2晩.22.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，動點與定點的距離和D到定直線的距離的比是常數(shù)2，設(shè)動點D的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）已知定點，，過點P作垂直于x軸的直線，過點P作斜率大于0的直線與曲線C交于點G，H，其中點G在x軸上方，點H在x軸下方．曲線C與x軸負(fù)半軸交于點A，直線，與直線分別交于點M，N，若A，O，M，N四點共圓，求t的值．解：（1）由已知得：，兩邊平分并化簡得：即為曲線的方程．（2）設(shè)點，．直線與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得．由韋達(dá)定理：，．由條件，直線AG的方程為，直線AH的方程為，于是可得，．因為A，O，M，N四點共圓，所以，所以，于是．即，化簡得，又，，代入整理得：．將韋達(dá)定理代入化簡得：．浙江省新陣地教育聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題部分，共60分）一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，所以，因為，所以以，所以，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A3.已知向量，，若與反向共線，則的值為（）A.0 B.48 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，得，又與反向共線，故，此時，故.故選：C.4.已知函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，因此，不符合題意，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，并且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C5.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗表示的為雙曲線，故，且焦點在軸上，由題意得，解得，負(fù)值舍去.故選：B.6.過點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為A，B，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓的圓心為，因為過點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為，，所以，，，四點在以為直徑的圓上，設(shè)為，故的方程為，即，將兩圓聯(lián)立方程組，解得，故直線：，點到直線：的距離為，在圓中，點到直線：的距離為，所以，解得，所以的面積為.故選：B.7.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以平方得，，，即，，兩式相加可得，即，故，.故選：D.8.記為公比不是1的等比數(shù)列的前n項和．設(shè)甲：，，依次成等差數(shù)列．乙：，，依次成等差數(shù)列．．則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，充分性：若，，依次成等差數(shù)列，則，則，有，，所以，，依次成等差數(shù)列.充分性滿足.必要性：若，，依次成等差數(shù)列，有，則，，所以，，依次成等差數(shù)列，必要性滿足.所以是充要條件.故選：C二、多選題9.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為不全相等的正實數(shù)．下列說法正確的是（）A.樣本甲的極差可能等于樣本乙的極差B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差C.若為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為D.若為樣本甲的平均數(shù)，則樣本乙的平均數(shù)為〖答案〗CD〖解析〗樣本甲的極差為，樣本乙的極差為，由為不全相等的正實數(shù)，所以，則樣本甲和乙的極差不相等，故A錯誤；設(shè)甲的方差為，那么乙的方差為，所以樣本甲的方差小于樣本乙的方差，故B錯誤；根據(jù)中位數(shù)的定義可知，若為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為，故C正確；根據(jù)平均數(shù)公式可知，，樣本乙的平均數(shù)，故D正確.故選：CD10.聲強(qiáng)級（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）之間的關(guān)系是：，其中指的是人能聽到的最低聲強(qiáng)，對應(yīng)的聲強(qiáng)級稱為聞閾．人能承受的最大聲強(qiáng)為，對應(yīng)的聲強(qiáng)級為，稱為痛閾.某歌唱家唱歌時，聲強(qiáng)級范圍為（單位：），下列選項中正確的是（）A.聞閾的聲強(qiáng)級為B.此歌唱家唱歌時的聲強(qiáng)范圍為（單位：）C.如果聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?倍，對應(yīng)聲強(qiáng)級也變?yōu)樵瓉淼?倍D.聲強(qiáng)級增加，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?0倍〖答案〗BD〖解析〗由題意，，則，所以，當(dāng)時，，故A錯誤；當(dāng)時，即，則，當(dāng)時，即，則，故歌唱家唱歌時的聲強(qiáng)范圍為（單位：），故B正確；將聲強(qiáng)為對應(yīng)的聲強(qiáng)級作商為，故C錯誤；將，對應(yīng)聲強(qiáng)作商為，故D正確.故選：BD.11.已知正方體的棱長為4，正四面體的棱長為a，則以下說法正確的是（）A.正方體的內(nèi)切球直徑為4B.正方體的外接球直徑為C.若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最大值是D.若正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最小值是〖答案〗ACD〖解析〗對于A，正方體內(nèi)切球直徑即其棱長，所以直徑為4，A正確；對于B，正方體的外接球直徑即其體對角線，所以直徑為，B錯誤；正四面體的棱長為a因為正四面體的外接球的球心O到點F、G、H的距離相等，所以O(shè)在平面BCD內(nèi)的射影，到點F、G、H的距離相等，又因為在正四面體中是正三角形，所以是的中心，進(jìn)而在正四面體中，有平面，所以球心O在高線上，同理：球心O也在其它面的高線上，又正四面體中各面上的高都相等，所以由得，點O到正四面體各面的距離相等，所以點O也是正四面體的內(nèi)切球的球心，這樣正四面體的內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合．記正四面體的高為，則.因此，只要求出其中一個，則另一個也出來了.因為在正四面體中，是正三角形，是其中心，所以，因為平面,平面，所以，在中，由勾股定理，得，所以，解得，，故所求的外接球的半徑和內(nèi)切球的半徑分別為.對于C，若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球，又由棱長為a的正四面體的外接球半徑，C正確；對于D，正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球，又由棱長為a的正四面體的內(nèi)切球半徑，D正確.故選：ACD.12.已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（）A. B.4是的一個周期C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A項，由已知，，可得，，整理可得，.當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有.所以，，故A項錯誤；對于B項，由已知可得，，兩邊同時求導(dǎo)可得，，，所以，，.所以，關(guān)于直線對稱，關(guān)于點對稱，所以，4是的一個周期，故B正確；對于C項，由B知，當(dāng)時，有，故C項正確；對于D項，由A知，.所以有，，，，，.又時，代入，即可得出，所以，，故D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題部分，共90分）三、填空題13.已知圓臺的上下底面半徑分別為2，4，母線長為6，則該圓臺的表面積是______．〖答案〗〖解析〗設(shè)上底面半徑，下底面半徑，母線，則圓臺的表面積.故〖答案〗為：14.首個全國生態(tài)主場日活動于2023.8.15在浙江湖州舉行，推動能耗雙控轉(zhuǎn)向碳排放雙控．有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6項議程在該天舉行，每個議程有半天會期．現(xiàn)在有甲、乙、丙三個會議廳可以利用，每個會議廳每半天只能容納一個議程．若要求A，B兩議程不能同時在上午舉行，而C議程只能在下午舉行，則不同的安排方案一共有______種．（用數(shù)字作答）〖答案〗252〖解析〗分兩種情況，第一種，A，B議程中有一項在上午，有一項在下午舉行，先從3個上午中選1個和3個下午中選一個，由A，B議程進(jìn)行選擇，有種選擇，再從剩余的2個下午中選擇1個安排C議程，有種選擇，剩余的3場會議和3個時間段進(jìn)行全排列，有種選擇，所以有種選擇，第二種，A，B議程都安排在下午，C議程也按照在下午，故下午的3個時間段進(jìn)行全排列，有種選擇，再將剩余的3個議程和3個上午時間段進(jìn)行全排列，有種選擇，所以有種選擇，綜上：不同的安排方案一共有種選擇.故〖答案〗為：25215.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的最大值是______．〖答案〗〖解析〗因為，且，所以，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，所以，解得且，故，解得，因為，故或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.故〖答案〗為：.16.已知拋物線的焦點為，圓與拋物線相切于點，與軸相切于點，則______．〖答案〗2〖解析〗拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，依題意不妨令在第一象限，設(shè)，則圓的半徑，設(shè)（），則圓的方程為，由，可得，則，所以拋物線在點處的切線的斜率，依題意可得與拋物線在點處的切線垂直，所以，則①，又點圓上，所以，則②，所以，整理可得，解得或（舍去），所以，即，所以.故〖答案〗為：四、解答題17.如圖，在三棱錐中，，．（1）證明：；（2）若，，點D滿足，求二面角的大?。?）證明：取中點O，連接，．∵，∴，在與中，，，∴，∴，∴，又，平面，平面，所以平面，又平面，∴；（2）解：過點O作平面．由（1）知，建立如圖空間坐標(biāo)系，如圖：則，，，∵，，，∴設(shè)，得：解得，∴，∴，，，因為，所以設(shè)平面一個法向量，則，，即，取，設(shè)平面的一個法向量為，則，，取，，∴二面角夾角為45°．18.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）若，求邊上的中線的長．解：（1）∵，∴，∴，∴，即，由正弦定理可得，∵，∴，又∵，∴，∴．∴.（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．（1）解：，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）證明：由（1）得：要證：，即證：即證：令，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；所以，從而命題得證．20.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，數(shù)列的前n項和為．（1）求數(shù)列和的通項公