2023-2024學年高二數(shù)學2019選擇性試題第2章圓與方程綜合能力測試

第2章圓與方程綜合能力測試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓和的位置關系是（

）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為1，圓可化為，圓心為，半徑為4，而兩圓心的距離為，故兩圓外切，故選：D2．圓心坐標為，并經(jīng)過點，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可設圓的標準方程為：，，圓的標準方程為：.故選：D.3．直線被圓所截得的弦長為（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由圓的方程，則其圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，則弦長.故選：C.4．如圖所示，是直線上的兩點，且，兩個半徑相等的動圓分別與相切于兩點，是兩個圓的公共點，則圓弧與線段圍成圖形面積的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，由題意知，當兩動圓外切時，圍成圖形面積取得最大值，此時四邊形為矩形，且.答案：C5．圓在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓的圓心，顯然點在此圓上，直線的斜率為，所以所求切線斜率為，切線方程為，即.故選：D6．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點到兩個定點的距離之比為常數(shù)（，且），那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點到，的距離之比為，則點到直線的距離的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，則，化簡得，即點的軌跡方程為以為圓心，為半徑的圓，則點到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即，點到直線的距離最小值為.故選：A7．已知圓：，一條光線從點射出經(jīng)軸反射，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．圓關于軸的對稱圓的方程為B．若反射光線平分圓的周長，則入射光線所在直線方程為C．若反射光線與圓相切于，與軸相交于點，則D．若反射光線與圓交于，兩點，則面積的最大值為【答案】C【解析】對于A，由圓方程可得，故圓心，半徑，圓關于軸對稱的圓的圓心為，半徑為，所求圓的方程為：，即，A正確；對于B，反射光線平分圓的周長，反射光線經(jīng)過圓心，入射光線所在直線經(jīng)過點，，入射光線所在直線方程為：，即，B正確；對于C，反射光線經(jīng)過點關于軸的對稱點，，，則，C錯誤；對于D，設，則圓心到直線的距離，，，則當時，，D正確.故選：C.8．已知點為直線：上的動點，過點作圓：的切線，，切點為，當最小時，直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為圓：可化為，所以圓心，半徑為，因為，是圓的兩條切線，則，由圓的知識可知，四點共圓，且，，所以，又，所以當最小，即時，取得最小值，此時的方程為，聯(lián)立，解得，即，故以為直徑的圓的方程為，即，，又圓，兩圓的方程相減即為直線的方程：.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．圓被直線分成兩段圓弧，且較短弧長與較長弧長之比為，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由題意知，圓的標準方程為，較短弧所對圓心角是，因為較短弧長與較長弧長之比為，所以圓心到直線的距離為，即，解得或.故選：BC.10．如圖所示，已知直線l的方程是，并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點，一個半徑為1.5的圓C，圓心C從點(0，1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動，當圓C與直線l相切時，該圓運動的時間可以為（

）A．6 B．8 C．10 D．16【答案】AD【解析】設當圓與直線相切時，設圓心坐標為，則圓心到直線的距離為，解得或，所以該圓運動的時間為或.故選：AD.11．設有一組圓，下列命題正確的是（）A．不論k如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過點C．經(jīng)過點的圓有且只有一個D．所有圓的面積均為4【答案】AB【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑.對于選項A：不論k如何變化，圓心始終在直線上，故A正確；對于選項B：令，整理得，因為，可知方程無解，所以所有圓均不經(jīng)過點，故B正確；對于選項C：令，整理得，因為，可知方程有兩個不同的解，所以經(jīng)過點的圓有且只有兩個，故C錯誤；對于選項D：因為半徑，所以所有圓的面積均為，故D錯誤；故答案為：AB.12．已知動直線：和：，是兩直線的交點，、是兩直線和分別過的定點，下列說法正確的是（

）A．點的坐標為 B．C．的最大值為10 D．的軌跡方程為【答案】BC【解析】直線的方程可化為，所以直線過定點，直線的方程可化為，所以直線過定點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以A錯誤，由已知，所以直線與直線垂直，即，B正確，因為，所以，故，所以，當且僅當時等號成立，C正確；因為，故，設點的坐標為，則，化簡可得，又點不是直線的交點，點在圓上，故點的軌跡為圓除去點，D錯誤；故選：BC.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，已知圓，圓，若圓心在x軸上的圓C同時經(jīng)過圓C1和圓C2的圓心，則圓C的方程是．【答案】【解析】由圓的性質(zhì)可知，線段的垂直平分線過圓心，易知，則線段的中點坐標為，即，直線的斜率，所以線段的垂直平分線方程為，令，即圓心的坐標為，其半徑，所以圓的方程為.故答案為：14．已知是圓上的點，則的最小值是．【答案】【解析】圓，即，所以圓的圓心為，半徑為，原點到圓心的距離是，所以圓上的點到原點的距離的最小值是，則的最小值是.故答案為：15．若圓：與圓：相交于兩點，則公共弦的長為．【答案】【解析】由解得或，不妨設，所以.故答案為：16．在平面直角坐標系中，已知圓，點，若圓上的點均滿足，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】或【解析】設，由點，即點滿足，即，設點，即恒成立則，圓上所有點到定點最小值大于，又圓，半徑為，圓上所有點到定點最小值即為：..即，化簡得，解得或.故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）如圖，已知兩點和.

(1)求以為直徑的圓的方程；(2)試判斷點是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？【解析】（1）設圓心，半徑r，則由C為的中點得，.又由兩點間的距離公式得，∴所求圓的方程為.（2）分別計算點到圓心的距離：；；.因此，點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內(nèi).18．（12分）已知圓C的圓心在直線上，并經(jīng)過點，與直線相切．(1)求圓C的方程；(2)已知，動點到圓C的切線長等于的2倍，求出點的軌跡方程．【解析】（1）設圓心坐標為，故，解得：，故圓心為，半徑為，故圓C的方程為；（2）設，則，故動點到圓C的切線長為，，所以，化簡得：，故點的軌跡方程為：.19．（12分）圓C：內(nèi)有一點，過點P作直線l交圓C于A，B兩點.(1)當弦AB最長時，求直線l的方程；(2)當直線l被圓C截得的弦長為時，求l的方程.【解析】（1）圓C：化為標準方程為，則圓C的圓心為.又弦AB最長時，直線l過點和，所以直線l的方程為，即.（2）當直線斜率存在時，設直線的方程為，即，弦長為時，由圓的半徑為3，由垂徑定理和勾股定理得，圓心到直線距離為，即，解得，此時直線l的方程為，經(jīng)檢驗k不存在時的直線也符合條件.所以直線l的方程為或.20．（12分）已知曲線，直線．(1)試探究曲線的形狀；(2)若直線與曲線有兩個公共點，求的取值范圍．【解析】（1）由，得，則，由，得（，）所以曲線是以為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示．（2）直線恒過定點，當直線與半圓相切，為切點時，圓心到直線的距離，所以，解得．當直線過點時，直線的斜率，則直線與半圓有兩個不同的交點時，實數(shù)的取值范圍為．21．（12分）已知直線過定點，且與圓交于兩點．(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)若為坐標原點，直線的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【解析】（1）法一：圓的標準方程為，圓心為，半徑為．若直線的斜率不存在，此時直線與圓相切，不合乎題意．所以，直線的斜率存在，設直線的方程為，即由題意可得，解得．

因此，直線的斜率的取值范圍是．法二：若直線的斜率不存在，此時直線與圓相切，不合乎題意．所以，直線的斜率存在，設直線的方程為．聯(lián)立，得，其中因為直線與圓相交，所以，解得，

因此，直線的斜率的取值范圍是．（2）設，，設直線的方程為．聯(lián)立，得，其中，所以，，則，所以為定值．22．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓M過坐標原點O且圓心在曲線上.(1)設直線l：與圓M交于C，D兩點，且，求圓M的方程；(2)設直線與（1）中所求圓M交于E，F(xiàn)兩點，點P為直線上的動點，直線PE，PF與圓M的另一個交點分別為G，H，且G，H在直線EF兩側(cè)，求證：直線GH過定點，并求出定點坐標.【解析】（1）因為圓心在曲線上，所以設圓心為，又圓M過坐標原點O，則半徑為：，設圓的方程為，又直線l：與圓M交于C，D兩點，且,所以，則，解得，當時，圓的方程為，此時，圓心到直線的距離，符合題意；當時，圓的方程為：，此時，圓心