四川省2024-2025學年高三數(shù)學上學期第一次月考試題理含解析

Page19一、單選題（每小題5分，共60分）1.已知集合，則（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，由交集的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，，∴.故選：C2.下列函數(shù)中，與函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過分析函數(shù)的定義域、值域和對應關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域和值域都為R.對于A選項，函數(shù)的定義域為，故與不相同.對于B選項，，定義域、值域都為R，對應關(guān)系為，故與相同.對于C選項，函數(shù)的值域為，故與不相同.對于D選項，函數(shù)定義域為，故與不相同.故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合必要不充分條件的判定方法求解即可.【詳解】當時，或或，所以“”推不出“”，但是當時，，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)零點存在定理推斷．【詳解】，，，∴零點在區(qū)間上．故選：C．【點睛】本題考查零點存在定理，駕馭零點存在定理是解題基礎(chǔ)．5.已知命題若冪函數(shù)過點，則；命題在中，是的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（

）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)推斷，由正弦定理推斷，再由邏輯聯(lián)結(jié)詞的概念推斷．【詳解】命題，設，∵，∴，則，∴，所以是真命題.命題，在三角形中，若，由正弦定理得，所以；若，則，由正弦定理得.所以是的充要條件，所以命題是假命題.所以、、是假命題，ABC選項錯誤.是真命題，故選：D6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)偶函數(shù)解除C、D，再計算，可解除B，從而可得到答案.【詳解】的定義域為，因為，所以在上為偶函數(shù)，可解除C、D；又，可解除B.故選：A.7.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化恒成立問題，然后求導得最值即可.【詳解】由，可得，記，則，所以在單調(diào)遞增，所以.故選：C8.若，則下列各式的值等于1的是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將指數(shù)化為對數(shù)，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)及換底公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，，所以.故選：B.9.已知函數(shù)在處有極大值，則的值為（

）A.1 B.2 C.3 D.1或3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，列出方程求得的值，然后檢驗即可得到結(jié)果.【詳解】，，∴或，當時，，令，得或；令，得；從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有微小值，不合題意，當時，經(jīng)檢驗，滿意題意；綜上，.故選：C10.已知定義在上的奇函數(shù)滿意：的圖象是連綿起伏的且為偶函數(shù).若有，則下面結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性得到函數(shù)的周期，然后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴且的圖象關(guān)于對稱，∵為奇函數(shù)，∴的圖象關(guān)于對稱，∴為周期函數(shù)，，∵有，∴在上單調(diào)性遞減，∴由的圖象的連續(xù)性以及單調(diào)性、對稱性可得其草圖如上所示：∵，，，∴，故選：D.11.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，然后利用不等式的基本性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，因為，則，所以，，又因為，則，故，故.故選：A.12.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的根（），則的最大值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，把四個不同的根用表示，借助導數(shù)探討函數(shù)的最值解決問題.【詳解】圖，由圖可知當且僅當時，方程有四個不同的根，且，由題：，，設則，令，故在遞增，在遞減，.故選：A.二、填空題（每小題5分，共20分）13.曲線在點處的切線方程是__________【答案】【解析】【分析】求得導函數(shù)，即可求得切線的斜率，進而將代入函數(shù)解析式可知點在曲線上，即可由點斜式得切線方程.【詳解】曲線，則，所以，將代入函數(shù)解析式可得，即點在曲線上，所以該函數(shù)在點處的切線方程是，即切線方程為．故答案為：.【點睛】本題考查了導數(shù)的集合意義，切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.14.若，為假命題，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，為真命題，結(jié)合判別式即可求得答案.【詳解】因為，為假命題，故，為真命題，故，解得，即的取值范圍為故答案為：15.設，則不等式的解集為____________.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】作出函數(shù)圖象如圖所示，令得：；令得：，由圖可得：不等式的解集為，故答案為：.16.已知符號表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)，則給出以下四個結(jié)論：①的值域為；②為偶函數(shù)；③在上是減函數(shù)；④若方程有且僅有3個根，則的取值范圍是.其中正確的序號為_________．【答案】①③④【解析】【分析】依據(jù)新定義分析得到的圖象，即可推斷①②③；將方程有且僅有3個根轉(zhuǎn)化為與的圖像有個交點，然后結(jié)合圖象即可推斷④.【詳解】因為符號表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)，所以當時，，則；當時，，則；當時，，則，當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則；∴函數(shù)的圖像如圖所示：對于①，由上面的圖像可知，①是正確的，對于②，由上面的圖像可知，②是錯的，對于③，由上面的圖像可知，③是正確的，對于④，由上面的圖像可知，，，，因為方程有且僅有3個根，等價于與的圖像有個交點，結(jié)合圖像可知，當或，故答案為：①③④.三、解答題（共70分）17.已知集合，，.（1）設，，若為真，求的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由或命題的概念求解．（2）轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系列式求解．【小問1詳解】由題意得真或真，即或，∴的取值范圍.【小問2詳解】因為，所以，當時，由得：，滿意題意；當時，由，有，解得；綜上：的取值范圍為.18.等差數(shù)列的前項和為，滿意.（1）求的通項公式；（2）設，求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求其前項和.【答案】（1）；（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項公式以及前項和公式，列出方程，即可得到結(jié)果；（2）依據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義即可證明，再結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為，∴，解得，∴.【小問2詳解】由（1）可得，∴，∴數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為∴19.已知.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）（2）由三角恒等變換公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解，【小問1詳解】令，得∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】當時，，，∴，．20.設.（1）求在上的最值；（2）若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍.【答案】（1）最大值2，最小值（2）.【解析】【分析】（1）求導得到的單調(diào)性，然后求最值即可；（2）分在曲線上和不在曲線上兩種狀況探討，當不在曲線上時，將過點可作曲線的三條切線轉(zhuǎn)化為的圖像與軸有三個不同交點，然后依據(jù)的單調(diào)性列不等式即可.【小問1詳解】由題：，，令得，列表得：01202∴，.【小問2詳解】若在曲線上，則，，當切點為時有一條，設切點為，則，整理得，解得，所以過點可作曲線的兩條切線，不合題意，舍.若不在曲線上，則不是切點，設切點為，∵過點可作曲線的三條切線，∴方程有三個不等實根，即方程有三個不等實根，∴的圖像與軸有三個不同交點，∵，∴在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴且，∴，∴的取值范圍為.21.設，.（1）當時，求的極值；（2）若有恒成立，求的取值范圍；（3）當時，若，求證：.【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導得到的單調(diào)性，然后依據(jù)單調(diào)性求極值即可；（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為，然后分和兩種狀況探討最大值即可求解；（3）將證明轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，求導得到，即可得證.【小問1詳解】的定義域為由題：，，令，解得或，令，解得，∴在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，.【小問2詳解】由題：，欲使恒成立，只需，當時：∵，時，，時，，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，得，此時，；當時：若即，令，解得或，令，解得，則在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，若即，，則在上單調(diào)遞增，若即，令，解得或，令，解得，則在，上單調(diào)遞，上單調(diào)遞減，不論上述哪種狀況，均有，因此，不行能有恒成立，舍.綜上：的取值范圍為.【小問3詳解】由（2）的結(jié)論可知：當時：在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∵，∴由圖，不妨設，欲證①，只需證，即證，即證，即證，即證②，設，，，，，又∵，，，，，在上單調(diào)遞減，，∴②成立，∴①成立.【點睛】方法點睛：處理極值點偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導可得恒正或恒負；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④依據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.四、選做題（共10分）22.已知在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線和直線的直角坐標方程；（2）若直線交曲線于兩點，交軸于點，求的值．【答案】（1）曲線：，直線：（2）【解析】【分析】（1）將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)可得直線l的一般方程，依據(jù)公式化簡曲線C的極坐標方程可得曲線C的直角坐標方程；（2）將直線l的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標方程聯(lián)立，依據(jù)直線參數(shù)方程中的幾何意義即可求解.【小問1詳解】直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)，可將直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程為，將兩邊同乘，得，依據(jù)得曲線的直角坐標方程為.【小問2詳解】將代入中，可得，化簡得，設兩點對應參數(shù)分別為，則，，由題意得，且在直線上，又異號，∴.23.已知函數(shù)．