備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題02常用邏輯用語(yǔ)

專題02常用邏輯用語(yǔ)【考點(diǎn)預(yù)料】一、充分條件、必要條件、充要條件1、定義假如命題“若，則”為真(記作)，則是的充分條件；同時(shí)是的必要條件.2、從邏輯推理關(guān)系上看（1）若且，則是的充分不必要條件；（2）若且，則是的必要不充分條件；（3）若且，則是的的充要條件(也說(shuō)和等價(jià))；（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件.對(duì)充分和必要條件的理解和推斷，要搞清晰其定義的實(shí)質(zhì)：，則是的充分條件，同時(shí)是的必要條件.所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立(即假如不成立，則確定不成立).二．全稱量詞與存在童詞（1）全稱量詞與全稱量詞命題.短語(yǔ)“全部的”、“隨意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)中的隨意一個(gè)，有成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“”，讀作“對(duì)隨意屬于，有成立”.（2）存在量詞與存在量詞命題.短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在中的一個(gè)，使成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）.三．含有一個(gè)量詞的命題的否定（1）全稱量詞命題的否定為，.（2）存在量詞命題的否定為.注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見(jiàn)考點(diǎn)之一.【方法技巧與總結(jié)】1、從集合與集合之間的關(guān)系上看設(shè).（1）若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿意：“小大”.（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；（3）若，則與互為充要條件.2、常見(jiàn)的一些詞語(yǔ)和它的否定詞如下表原詞語(yǔ)等于大于小于是都是隨意（全部）至多有一個(gè)至多有一個(gè)否定詞語(yǔ)不等于小于等于大于等于不是不都是某個(gè)至少有兩個(gè)一個(gè)都沒(méi)有(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必需對(duì)限定集合中的每一個(gè)元素證明其成立，要推斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個(gè)，使得其不成立即可，這就是通常所說(shuō)的舉一個(gè)反例.(2)要推斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個(gè)使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題.【題型歸納書目】題型一：充分條件與必要條件的推斷題型二：依據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定題型五：依據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍【典例例題】題型一：充分條件與必要條件的推斷例1．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）王昌齡《從軍行》中兩句詩(shī)為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題可知：“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要不充分條件.故選：B例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“直線a與平面M內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面M垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】設(shè)直線a與平面M內(nèi)一條直線b垂直，則平面內(nèi)與直線b平行的多數(shù)條直線都與直線a垂直，則由“直線a與平面M內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直”不能得到“直線a與平面M垂直”，即“直線a與平面M內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直”不是“直線a與平面M垂直”的充分條件.故A，C錯(cuò)誤.當(dāng)直線a與平面M垂直時(shí)，由直線與平面垂直定義可得，直線a與平面M內(nèi)隨意一條直線垂直，則由“直線a與平面M垂直”可得“直線a與平面M內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直”.即“直線a與平面M內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面M垂直”的必要條件.綜上所述，“直線a與平面M內(nèi)的多數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面M垂直”的必要不充分條件.故選：B例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）荀子曰：“故不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海.“這句來(lái)自先秦時(shí)期的名言.此名言中的“積跬步”是“至千里”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由名言，可得大意為假如不“積跬步”，便不能“至千里”，其逆否命題為若要“至千里”，則必要“積跬步”，另一方面，只要“積跬步”就確定能“至千里”嗎，不確定成立，所以“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.故選：B變式1．（2024春·北京大興·高三?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞增，由可得：，充分性成立，當(dāng)時(shí)，，但不確定，必要性不成立，故選：A變式2．（2024春·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）“”成立的一個(gè)必要不充分條件為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，所以選項(xiàng)A是充要條件，選項(xiàng)B是既不充分又不必要條件，選項(xiàng)D是充分不必要條件，選項(xiàng)C是必要不充分條件.故選：C.變式3．（2024·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知，則是的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】記集合，.因?yàn)锳B，所以是的充分不必要條件.故選：A【方法技巧與總結(jié)】1、要明確推出的含義，是成立確定成立才能叫推出而不是有可能成立.2、充分必要條件在面對(duì)集合問(wèn)題時(shí)，確定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.3、充分必要條件考察范圍廣，失分率高，確定要留意各個(gè)學(xué)問(wèn)面的培育.題型二：依據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）假如不等式成立的充分不必要條件是；則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，解得：，所以成立的充分不必要條件是，故是的真子集，所以或，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知條件，條件，且是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，解得，，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，即.故選：A例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知p：，q：，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】命題p：因?yàn)椋?，解得，命題q：，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以.故選：C變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“”是“”的必要不充分條件，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，是的真子集，故.故選：B【方法技巧與總結(jié)】1、集合中推出確定是小集合推大集合，留意包含關(guān)系.2、在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時(shí)，要留意端點(diǎn)是否能取到問(wèn)題，簡(jiǎn)潔出錯(cuò).題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．且 B．或C．， D．，【答案】D【解析】A項(xiàng)：因?yàn)椋郧沂羌倜}，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：依據(jù)、易知B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：由余弦函數(shù)性質(zhì)易知，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：恒大于等于，D正確，故選：D.例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間上，遞減，在上，遞增.所以在處取得微小值也即是最小值，所以，即.所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由于A選項(xiàng)正確，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以C選項(xiàng)不正確.對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A例9．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題的否定中，真命題的是（

）A．， B．全部正方形既是矩形也是菱形C．， D．全部三角形都有外接圓【答案】AC【解析】選項(xiàng)A，，所以原命題為假命題，則原命題的否定為真命題，所以選項(xiàng)A滿意條件；選項(xiàng)B，全部正方形既是矩形也是菱形，原命題是真命題，原命題的否定為假命題，所以選項(xiàng)B不滿意條件；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，所以原命題為假命題，原命題的否定為真命題，所以選項(xiàng)C滿意條件；選項(xiàng)D，全部三角形都有外接圓，原命題是真命題，原命題的否定為假命題，所以選項(xiàng)D不滿意條件.故選：AC.變式5．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出下列命題，其中假命題為（

）A．，；B．，；C．，；D．是的充要條件.【答案】ABC【解析】.，所以該命題是假命題；.當(dāng)時(shí)，所以該命題是假命題；.當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，所以該命題是假命題；.時(shí)，時(shí)，所以是的充要條件，所以該命題是真命題.故選：ABC【方法技巧與總結(jié)】1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假推斷既要通過(guò)漢字意思，又要通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)論.2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性推斷較為簡(jiǎn)潔，留意微小環(huán)節(jié)即可.題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)命題p：，，則命題p的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】命題p的否定為，.故選：D例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得為.故選：C例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由特稱命題的否定為全稱命題，所以原命題的否定為，.故選：B變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）命題“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一個(gè)成立”的否定為（

）A．a(chǎn)，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一個(gè)成立B．a(chǎn)，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立C．a(chǎn)，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一個(gè)成立D．a(chǎn)，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立【答案】D【解析】“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一個(gè)成立”的否定為：a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.故選：D【方法技巧與總結(jié)】1、 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結(jié)論變否定.2、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要留意否定是全否，而不是半否.題型五：依據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____．【答案】【解析】命題“，使”是假命題，則命題，恒成立為真命題，所以當(dāng)時(shí)，，不恒成立，當(dāng)時(shí)，需滿意可得，解得，故的范圍為．故答案為：．例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】所以恒成立，即在恒成立，所以且，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，所以.故答案為：.例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題p：，若命題P為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___．【答案】[0，4]【解析】依據(jù)題意，恒成立，所以.故答案為：.變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若命題p：，為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，不滿意題意；∴，，則且，解得.故答案為：[，+∞）.變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若命題“?xR，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_.【答案】（﹣5，3）【解析】命題“?xR，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”為假命題，即命題“?xR，使得x2﹣（a+1）x+4＞0”為真命題，則判別式＝（a+1）2﹣4×4＜0，即＝（a+1）2＜16，則﹣4＜a+1＜4，即﹣5＜a＜3.故答案為：（﹣5，3）.【方法技巧與總結(jié)】1、在解決求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題上，可以先令兩個(gè)命題都為真命題，假如哪個(gè)是假命題，去求真命題的補(bǔ)級(jí)即可.2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問(wèn)題相對(duì)較難，要留意端點(diǎn)出點(diǎn)是否可以取到.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題中的假命題是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對(duì)于A，，，，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，值域?yàn)椋?，，D正確.故選：C.2．（2024春·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？茧A段練習(xí)）下列有關(guān)命題的說(shuō)法中正確的是（

）A．“”是“”必要不充分條件B．“x=1”是“x≥1”的必要不充分條件C．D．若命題p為“x∈R，使x2≥0”，則命題p的否定為“x∈R，都有x2≤0”【答案】C【解析】A：又A錯(cuò)；B:

“x=1”是“x≥1”的充分不必要條件，B錯(cuò)；C:依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知：，C對(duì)；D:的否定是D錯(cuò).故選：C3．（2024春·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意為真命題，所以在上恒成立，即.故選：C4．（2024春·廣西南寧·高三南寧三十六中?？茧A段練習(xí)）“”是“方程表示橢圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】方程表示橢圓，則所以且，所以且能推出，反之不成立，所以為必要不充分條件，故選：A.5．（2024春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）命題：“”為假命題，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】命題為假命題，即命題為真命題.首先，時(shí)，恒成立，符合題意；其次時(shí)，則且，即，綜上可知，－4<故選：A6．（2024春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命題“，”中含有全稱量詞，故該命題的否定須要將全稱量詞改為存在量詞，且只否定結(jié)論，不否定條件，所以該命題的否定為“，”.故選：C.7．（2024·河南洛陽(yáng)·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）已知命題，命題，則是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由，等價(jià)于，解得或，所以．因?yàn)?，且，所以是q的既不充分也不必要條件．故選：D8．（2024春·廣西貴港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，由得到，由在定義域上單調(diào)遞增，又，即，所以；故由能夠推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立，故是的充分不必要條件；故選：A9．（2024春·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，即，解得，，即，解得，則“”可以證得“”，“”不能證得“”，故“”是“”的充分而不必要條件，故選：A.10．（2024春·遼寧·高三校聯(lián)考期中）“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若命題“，”為真命題，則，則是的充分不必要條件，故選：D．11．（2024春·四川甘孜·高三校考階段練習(xí)）已知命題：，，則為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】命題：，，則為：，故選：二、多選題12．（2024春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）下列選項(xiàng)正確的有（

）A．命題“，”的否定是：“，”B．命題“，”的否定是：“，”C．是的充分不必要條件D．是的必要不充分條件【答案】ACD【解析】對(duì)于AB選項(xiàng)，由全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是：“，”，A對(duì)B錯(cuò)；對(duì)于CD選項(xiàng)，由可得或，因?yàn)榛颍?，是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，C對(duì)D對(duì).故選：ACD.13．（2024春·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）使得函數(shù)成立的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】依題意解得.所以使得函數(shù)成立的一個(gè)充分不必要條件可以是、.故選：AC14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知p：；q：.若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A．﹣2 B． C．0 D．【答案】BCD【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以A，所以時(shí)滿意題意，當(dāng)或時(shí)，也滿意題意，解得：或.故選：BCD15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)隨意實(shí)數(shù)，，，給出下列命題，其中假命題是（

）A．“”是“”的充要條件B．“”是“”的充分條件C．“”是“”的必要條件D．“是無(wú)理數(shù)”是“是無(wú)理數(shù)”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】A：由有，當(dāng)不確定有成立，必要性不成立，假命題；B：若時(shí)，充分性不成立，假命題；C：不確定，但必有，故“”是“”的必要條件，真命題；D：是無(wú)理數(shù)則是無(wú)理數(shù)，若是無(wú)理數(shù)也有是無(wú)理數(shù)，故為充要條件，假命題.故選：ABD三、填空題16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）能夠說(shuō)明“若均為正數(shù)，則”是真命題的充分必要條件為_(kāi)__________.【答案】【解析】，因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以，反之也成立，故“若均為正數(shù)，則”是真命題的充分必要條件為，故答案為：17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）命題“，”的否定是___________.【答案】“，”【解析】因?yàn)槊}“，”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即“，”，故答案為：“，”18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知p：，q：.若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】本題考查充分條件與必要條件的推斷.q：，即.p：，即.因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以且等號(hào)不同時(shí)成立，解得.故答案為：19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且“”是“”的充分不必要條件，則a的取值范圍是___________.【答案】【解析】等價(jià)于或，而且“”是“”的充分不必要條件，則．故答案為：．20．（20