2025屆浙江省杭州濱江區(qū)六校聯(lián)考數(shù)學九上期末經典試題含解析

2025屆浙江省杭州濱江區(qū)六校聯(lián)考數(shù)學九上期末經典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知，，是反比例函數(shù)的圖象上的三點，且，則、、的大小關系是（）A． B． C． D．2．下列事件不屬于隨機事件的是（）A．打開電視正在播放新聞聯(lián)播 B．某人騎車經過十字路口時遇到紅燈C．拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上 D．若今天星期一，則明天是星期二3．化簡的結果是（）A． B． C． D．4．下列是世界各國銀行的圖標，其中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．在平面直角坐標系中，點所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知2是關于x的方程的一個根，則這個方程的另一個根是()A．3 B．-3 C．-5 D．67．為了估計湖里有多少條魚，小華從湖里捕上條并做上標記，然后放回湖里，經過一段時間待帶標記的魚完全混合于魚群中后，第二次捕得條，發(fā)現(xiàn)其中帶標記的魚條，通過這種調查方式，小華可以估計湖里有魚（）A．條 B．條 C．條 D．條8．下列關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根的是（）A． B． C． D．9．用直角三角板檢查半圓形的工件，下列工件合格的是（）A． B．C． D．10．下列圖形中，主視圖為①的是（）A． B． C． D．11．如圖，在矩形中，于，設，且，，則的長為（）A． B． C． D．12．拋物線y＝x2﹣4x+2不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題（每題4分，共24分）13．若，且，則的值是__________．14．如圖是一位同學設計的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖．點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，測得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么該古城墻的高度CD是米．15．一枚質地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，張兵同學擲一次骰子，骰子向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率是_____．16．已知兩個相似三角形對應中線的比為，它們的周長之差為，則較大的三角形的周長為__________．17．如圖，在中，，，，點是上的任意一點，作于點，于點，連結，則的最小值為________．18．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，則BC=__________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖①，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC垂足為D，弧AE＝弧AB，BE分別交AD、AC于點F、G．（1）判斷△FAG的形狀，并說明理由；（2）如圖②若點E與點A在直徑BC的兩側，BE、AC的延長線交于點G，AD的延長線交BE于點F，其余條件不變（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．（3）在（2）的條件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直徑BC．20．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當DE∥BC時，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．21．（8分）解方程：（1）2x2-4x-31=1；（2）x2-2x-4=1．22．（10分）如圖，拋物線與軸相交于兩點，點在點的右側，與軸相交于點.求點的坐標；在拋物線的對稱軸上有一點，使的值最小，求點的坐標；點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使以四點構成的四邊形為平行四邊形?若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.23．（10分）如圖，在中，，的中點．（1）求證：三點在以為圓心的圓上；（2）若，求證：四點在以為圓心的圓上．24．（10分）小明代表學校參加“我和我的祖國”主題宣傳教育活動，該活動分為兩個階段，第一階段有“歌曲演唱”、“書法展示”、“器樂獨奏”3個項目（依次用、、表示），第二階段有“故事演講”、“詩歌朗誦”2個項目（依次用、表示），參加人員在每個階段各隨機抽取一個項目完成.（1）用畫樹狀圖或列表的方法，列出小明參加項目的所有等可能的結果；（2）求小明恰好抽中、兩個項目的概率.25．（12分）我們規(guī)定：方程的變形方程為．例如：方程的變形方程為．（1）直接寫出方程的變形方程；（2）若方程的變形方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍；（3）若方程的變形方程為，直接寫出的值．26．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC邊上一點，且DA＝DB，O是AB的中點，CE是△BCD的中線．(1)如圖a，連接OC，請直接寫出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關系：；(2)點M是射線EC上的一個動點，將射線OM繞點O逆時針旋轉得射線ON，使∠MON＝∠ADB，ON與射線CA交于點N．①如圖b，猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，當∠AON＝15°時，請直接寫出線段ME的長度(用含m的代數(shù)式表示)．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)y=的系數(shù)2>0判斷出函數(shù)圖象在一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小，再根據(jù)x1<x2<0<x3，判斷出y1、y2、y3的大小.【詳解】解：函數(shù)大致圖象如圖，∵k>0，則圖象在第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小，又∵x1<x2<0<x3，∴y2<y1<y3.故選C.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.2、D【分析】不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．據(jù)此可判斷出結論．【詳解】A．打開電視正在播放新聞聯(lián)播，是隨機事件，不符合題意；B．某人騎車經過十字路口時遇到紅燈，是隨機事件，不符命題意；C．拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上，是隨機事件，不符合題意，D．若今天星期一，則明天是星期二，是必然事件，符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．關鍵是理解不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．3、D【解析】將除法變?yōu)槌朔?，化簡二次根式，再用乘法分配律展開計算即可.【詳解】原式=×=×（+1）=2+.故選D.【點睛】本題主要考查二次根式的加減乘除混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解題關鍵.4、D【解析】本題考查的是軸對稱圖形的定義．把圖形沿某條直線折疊直線兩旁的部分能夠重合的圖形叫軸對稱圖形．A、B、C都可以，而D不行，所以D選項正確．5、D【分析】根據(jù)各象限內點的坐標特征進行判斷即可得.【詳解】因則點位于第四象限故選：D.【點睛】本題考查了平面直角坐標系象限的性質，象限的符號規(guī)律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，熟記象限的性質是解題關鍵.6、A【解析】由根與系數(shù)的關系，即2加另一個根等于5，計算即可求解．【詳解】由根與系數(shù)的關系，設另一個根為x，則2+x=5，即x=1．故選：A．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，用到的知識點：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根，那么x1+x2=-p．7、B【分析】利用樣本出現(xiàn)的概率估計整體即可.【詳解】設湖里有魚x條根據(jù)題意有解得，經檢驗，x=800是所列方程的根且符合實際意義，故選B【點睛】本題主要考查用樣本估計整體，找到等量關系是解題的關鍵.8、D【解析】利用一元二次方程的根的判別式逐項判斷即可.【詳解】一元二次方程的根的判別式為，逐項判斷如下：A、，方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符題意B、，方程有兩個相等的實數(shù)根，符合題意C、，方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符題意D、，方程沒有實數(shù)根，符合題意故選：D.【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，對于一般形式有：（1）當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當時，方程沒有實數(shù)根.9、C【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角逐一判斷即可．【詳解】解：A、直角未在工件上，故該工件不是半圓，不合格，故A錯誤；B、直角邊未落在工件上，故該工件不是半圓，不合格，故B錯誤；C、直角及直角邊均落在工件上，故該工件是半圓，合格，故C正確；D、直角邊未落在工件上，故該工件不是半圓，不合格，故D錯誤，故答案為：C．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角的實際應用，熟知直徑所對的圓周角是直角是解題的關鍵．10、B【解析】分析：主視圖是從物體的正面看得到的圖形，分別寫出每個選項中的主視圖，即可得到答案．詳解：A、主視圖是等腰梯形，故此選項錯誤；B、主視圖是長方形，故此選項正確；C、主視圖是等腰梯形，故此選項錯誤；D、主視圖是三角形，故此選項錯誤；故選B．點睛：此題主要考查了簡單幾何體的主視圖，關鍵是掌握主視圖所看的位置．11、C【分析】根據(jù)矩形的性質可知：求AD的長就是求BC的長，易得∠BAC=∠ADE，于是可利用三角函數(shù)的知識先求出AC，然后在直角△ABC中根據(jù)勾股定理即可求出BC，進而可得答案.【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAC=90°，BC=AD，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAC=，在直角△ABC中，∵，，∴，∴AD=BC=.故選：C.【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理和解直角三角形的知識，屬于?？碱}型，熟練掌握矩形的性質和解直角三角形的知識是解題關鍵.12、C【分析】求出拋物線的圖象和x軸、y軸的交點坐標和頂點坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的性質判斷即可．【詳解】解：y＝x2﹣4x+4﹣2＝（x﹣2）2﹣2，即拋物線的頂點坐標是（2，﹣2），在第四象限；當y＝0時，x2﹣4x+2＝0，解得：x＝2，即與x軸的交點坐標是（2+，0）和（2﹣，0），都在x軸的正半軸上，a＝1＞0，拋物線的圖象的開口向上，與y軸的交點坐標是（0，2），即拋物線的圖象過第一、二、四象限，不過第三象限，故選：C．【點睛】本題考查了求函數(shù)圖像與坐標軸交點坐標和頂點坐標，即求和x軸交點坐標就要令y=0、求與y軸的交點坐標就要令x=0，求頂點坐標需要配成頂點式再求頂點坐標二、填空題（每題4分，共24分）13、-2【分析】根據(jù)比例的性質得到3b=4a，結合a+b=14求得a、b的值，代入求值即可．【詳解】解：由a：b=3：4知3b=4a，所以b=，所以由a+b=14得到：，解得a=1．

所以b=8，所以a-b=1-8=-2．

故答案為：-2．【點睛】考查了比例的性質，內項之積等于外項之積．若，則ad=bc.14、1．【解析】試題分析：根據(jù)題目中的條件易證△ABP∽△CDP，由相似三角形對應邊的比相等可得，即，解得CD=1m．考點：相似三角形的應用．15、1【分析】共有6種等可能的結果數(shù)，其中點數(shù)是3的倍數(shù)有3和6，從而利用概率公式可求出向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率．【詳解】解：擲一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的有3，6，故骰子向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3的倍數(shù)的概率是：26故答案為13【點睛】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)．16、15【分析】利用相似三角形對應中線的比可得出對應周長的比，根據(jù)周長之差為10即可得答案．【詳解】設較小的三角形的周長為x，∵兩個相似三角形對應中線的比為1：3，∴兩個相似三角形對應周長的比為1：3，∴較大的三角形的周長為3x，∵它們的周長之差為10，∴3x-x=10，解得：x=5，∴3x=15，故答案為：15【點睛】本題考查相似三角形的性質，相似三角形對應中線、高、周長的邊都等于相似比；面積比等于相似比的平方．17、【分析】連接，根據(jù)矩形的性質可知：，當最小時，則最小，根據(jù)垂線段最短可知當時，則最小，再根據(jù)三角形的面積為定值即可求出的長．【詳解】中，，，，，連接，于點，于點，四邊形是矩形，，當最小時，則最小，根據(jù)垂線段最短可知當時，則最小，．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的運用、矩形的判定和性質以及直角三角形的面積的不同求法，題目難度不大，設計很新穎，解題的關鍵是求的最小值轉化為其相等線段的最小值．18、1【分析】根據(jù)DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，得到，即可求BC的長．【詳解】解：∵AE：EC=2：3，

∴AE：AC=2：5，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵DE=4，

∴BC=1．

故答案為：1．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）△FAG是等腰三角形，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）BC＝．【分析】（1）首先根據(jù)圓周角定理及垂直的定義得到∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，從而得到∠BAD＝∠C，然后利用等弧對等角等知識得到AF＝BF，從而證得FA＝FG，判定等腰三角形；（2）成立，同（1）的證明方法即可得答案；（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，推出∠BAD＝∠ABG，得到F為BG的中點根據(jù)直角三角形的性質得到AF＝BF＝BG＝13，求得AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，根據(jù)勾股定理得到BD＝12，AB＝4，由∠ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°可證明△ABC∽△DBA，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）△FAG等腰三角形；理由如下：∵BC為直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形．（2）成立，理由如下：∵BC為直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形．（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，∴∠BAD＝∠ABG，∴AF＝BF，∵AF＝FG，∴BF=GF，即F為BG的中點，∵△BAG為直角三角形，∴AF＝BF＝BG＝13，∵DF＝5，∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，∵∠ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABC∽△DBA，∴＝，∴＝，∴BC＝，∴⊙O的直徑BC＝．【點睛】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質及勾股定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似；熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．20、（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）135°.【分析】試題（1）由DE∥BC，得到，結合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉得到的結論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉構造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理計算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形，再簡單計算即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為=，（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉性質可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如圖，將△CPB繞點C旋轉90°得△CEA，連接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【點睛】考點：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例.21、（1）x1=-3，x2=5；（2）x1=，x2=【分析】（1）利用等式的性質將方程化簡，再利用因式分解法解得即可；（2）利用公式法求解即可.【詳解】解：（1）方程變形為：x2-2x-15=1，即（x+3）（x-5）=1，解得：x1=-3，x2=5；（2）由方程可得：a=1，b=-2，c=-4，∴==，∴x1=，x2=.【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解題的關鍵是選擇適當?shù)慕忸}方法，注意解題需細心．22、（1），；（2）；（3）點的坐標為，或.【分析】（1）把y=0代入函數(shù)解析式，解方程可求得A、B兩點的坐標；把x=0代入函數(shù)解析式可求得C點的坐標.

（2）連接BC，交對稱軸于P，P即為使PB+PC的值最小，設直線BC的解析式，把B、C的坐標代入即可求得系數(shù)，進而求得解析式，令x=2時，即可求得P的坐標；

（3）分兩種情況：

①當存在的點N在x軸的上方時，根據(jù)對稱性可得點N的坐標為（4，）；

②當存在的點N在x軸下方時，作輔助線，構建三角形全等，證明得，即N點的縱坐標為-，列方程可得N的坐標．【詳解】（1）當時，當時，，化簡，得.解得.連接，交對稱軸于點，連接.點和點關于拋物線的對稱軸對稱，.要使的值最小，則應使的值最小，所以與對稱軸的交點使得的值最小.設的解析式為.將代入，可得，解得，拋物線的對稱軸為直線當時，，①當在軸上方，此時，且.則四邊形是平行四邊形.②當在軸下方;作，交于點.如果四邊形是平行四邊形...又，.當時，，綜上所述，點的坐標為，或.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．軸對稱的性質、平行四邊形的判定、三角形全等的性質和判定等知識，難度適中，第2問解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定，采用分類討論的思想和數(shù)形結合的思想解決問題．23、（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連結OC，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得OA=OB=OC，所以A，B，C三點在以O為圓心，OA長為半徑的圓上；（2）連結OD，可得OA=OB=OC=OD，所以A，B，C，D四點在以O為圓心，OA長為半徑的圓上.【詳解】（1）連結OC，在中，，的中點，∴OC=OA=OB，∴三點在以為圓心的圓上；（2）連結OD，∵，∴OA=OB=OC=OD，∴四點在以為圓心的圓上.【點睛】此題考查了圓的定義：到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上，所以證明幾個點共圓，只需要證明這幾個點到某個定點的距離相等即可.24、（1）見解析；（2）.【分析】（1）畫樹狀圖得出所有等可能結果；（2）從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算可得．【詳解】（1）畫樹狀圖如下：（2）由樹狀圖知共有6種等可能結果，其中小明恰好抽中B、D兩個項目的只有1種情況，

所以小明恰好抽中B、D兩個項目的概率為：．【點睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．25、（1）；（2）；（3）1【分析】(1)根據(jù)題目的規(guī)定直接寫出方程化簡即可.(2)先將方程變形,再根據(jù)判別式解出范圍即可.(3)先將變形前的方程列出來化簡求出a、b、c,相加即可求解.【詳解】（1）由題意得,化簡后得:.（2）若方程的變形方程為，即.由方程的變形方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得方程的根的判別式，即.解得（3）變形前的方程為:,化簡后得: