高中數(shù)學(xué)第6章6.5數(shù)學(xué)建模案例（三）人數(shù)估計教案

湘教版必修第二冊《6.5》教學(xué)設(shè)計一、課程標(biāo)準(zhǔn)讓學(xué)生理解利用“人數(shù)估計”數(shù)學(xué)建模案例，形成研究報告，展示研究成果，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).二、教學(xué)目標(biāo)：1.了解人數(shù)估計的方法，能夠選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計模型解決實際問題；2.通過建立和求解統(tǒng)計模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；3.學(xué)生在模型求解及推廣的過程中，感受不同假設(shè)條件下選取模型結(jié)果的差異性；同時感受數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用價值。三、教學(xué)重點：能夠理解數(shù)學(xué)建模的意義與作用；能夠運用數(shù)學(xué)語言，清晰、準(zhǔn)確表達數(shù)學(xué)建模的過程與結(jié)果.四、教學(xué)難點：應(yīng)用數(shù)學(xué)語言，表達數(shù)學(xué)建模過程中的問題以及解決問題的過程與結(jié)果，形成研究報告，展示研究成果.五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課在日常生活或科學(xué)研究中，經(jīng)常碰到只知道部分信息，卻需要從已知的部公息出發(fā)去估計出全部信息的問題。例如，醫(yī)療科研機構(gòu)調(diào)查某慢性病的患者人數(shù)，其地旅游局統(tǒng)計當(dāng)年到該地旅游的總?cè)藬?shù)，等等。這時統(tǒng)計模型與方法就成為解決這類問題的重要工具。下面我們討論一個較簡單的實際問題，體會統(tǒng)計模型的思有與方法。設(shè)計意圖：實際情景引入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.（二）自主學(xué)習(xí)，熟悉概念1.要求：學(xué)生閱讀P2582602.思考：（1）數(shù)學(xué)建模的流程有哪些？（2）問題背景下，為了使估計值盡量接近真值，建立了幾種模型解決這個問題?（3）什么是MSE？檢驗自學(xué)，強化概念1.問題背景問題：某大學(xué)美術(shù)系平面設(shè)計專業(yè)的報考人數(shù)連創(chuàng)新高，今年報名剛結(jié)束，某考生想知道報考人數(shù)?？忌目继柺前?001,0002，…的順序從小到大依次排列,該考生隨機了解了50個考生的考號,具體如下：請你給出一種方法，根據(jù)這50個隨機抽取的考號，估計考生總數(shù)。2.問題解析（1）模型建立與求解模型一：用樣本最大值估計總體的最大值用給出數(shù)據(jù)的最大值N1=xn(例如，986)因此，該方法在實際應(yīng)用中很可能出現(xiàn)低估N的情況。模型二：用樣本中位數(shù)估計總體中位數(shù)當(dāng)n為奇數(shù)時，樣本的中位數(shù)為xn+12，而總體的中位數(shù)取N+12，由于樣本中位數(shù)可以近似看成總體中位數(shù)，因而有xn+1N2=2xn為偶數(shù)時，樣本的中位數(shù)為xn2+xn2+12，從而有為了避免這種方法得到的估計值偏小的問題，可以考慮用下面的方法對考生總數(shù)N進行調(diào)整：N在本問題中，n

=50且x50>x25+一般情況下，樣本點越多，估計值會越合理。而上述方法的求解過程并沒有利獲得的全部樣本信息，因此我們需要建立更為合理的數(shù)學(xué)模型。模型三：用樣本的平均值估計總數(shù)的平均值假設(shè)隨機抽取的50個數(shù)的平均值近似等于所有考號的平均值，以此來估計考生總數(shù)N。由于這50個數(shù)的算術(shù)平均值為24572÷50=491.44，它應(yīng)該與N2接近。因此取N3=491.44×2≈983作為N的估計值。由于983小于樣本的最大值986，因此可用模型四：用分區(qū)間方法求解把這50個樣本從小到大排列，利用它將N個數(shù)據(jù)分段，選取不同端點，則得到不同的估計值。分區(qū)間的一種方法是：利用50個樣本數(shù)據(jù)，將區(qū)間[1,N]分成51個小區(qū)間[1,x1),[x1,x2),…,[x50,N]。這51個小區(qū)間長度均值為N?151，而前50個區(qū)間的平均長度為x50?1上述分區(qū)間的方法忽略了x50可能取到N的情況，因此，我們也可以將區(qū)間[1,N]改為[1,N+1]，即把[1,N+1]分成51個小區(qū)間[1,x1),[x1,x2),…,[x50,N+1]，取N設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)建模將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.幫助學(xué)生找到更合理的數(shù)學(xué)模型問題，探討兩種分區(qū)的原因，進一步理解數(shù)學(xué)建模的多樣性。（2）模型的進一步討論前面我們采用不同的方法對考生總數(shù)進行了估計，發(fā)現(xiàn)估計方法不同得到的考生總數(shù)也不同，存在一定的差異。而分區(qū)間方法由于劃分小區(qū)間所采用的分段方式不同，也有可能得到不同的估計值。但這些結(jié)果都是在某種合理的假設(shè)前提下得到的，不能說哪種方法得到的估計值一定是錯的。這也體現(xiàn)了統(tǒng)計方法的特點。按照不同的估計方法往往會得到不同的估計值，那么有沒有評價估計方法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)呢?我們可以利用計算機模擬各種估計方法，然后通過計算估計值與真值之間的偏離程度來評價估計方法的優(yōu)劣。具體實施步驟如下：步驟(1)設(shè)定N以及試驗次數(shù)k的值；步驟(2)在1，2，..N這N個自然數(shù)中不放回地隨機抽取50個數(shù)據(jù)，組成一個樣本；步驟(3)將樣本中的50個數(shù)據(jù)按從小到大排列，即x1<x2<…<步驟(4)按照不同的估計方法分別得到不同的估計值；步驟(5)重復(fù)上述步驟(1)~(4)k次。模擬完后，對估計值偏離真值N的程度進行計算：設(shè)第m(1≤m≤k)次試驗得到的估計值為Nm，k次模擬得到的估計值與真直NN?將其值記為MSE。結(jié)論：當(dāng)試驗次數(shù)k足夠大時，MSE的大小反映了采用不同估計方法得到的估計值偏離真值N的程度。具有較小MSE值的估計方法更為合理。設(shè)計意圖：讓學(xué)生當(dāng)試驗次數(shù)k足夠大時，具有較小MSE值的估計方法更合理。(四)課堂練習(xí)及檢測P261問題研究(五)歸納小結(jié)1.問題解析；2.模型建立與求