函數(shù)與方程講義-高三數(shù)學一輪復習2

函數(shù)與方程授課類型：復習課眉山天府新區(qū)實驗中學李艷復習目標：理解函數(shù)零點與方程的聯(lián)系.理解函數(shù)存在性定理，并能簡單應用.了解用二分法求方程的近似解.掌握二次函數(shù)的圖像與零點的關(guān)系復習重點：函數(shù)零點與方程的根，函數(shù)圖像與橫軸交點的聯(lián)系函數(shù)零點存在性定理二分法求近似值復習難點：零點存在性定理的應用判斷函數(shù)零點個數(shù)及零點所在區(qū)間二分法的應用二分法求方程近似值復習方法：引導，嵌入，講練結(jié)合教學過程：知識梳理：函數(shù)的零點：.函數(shù)零點的定義：使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.三個等價關(guān)系：方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點.函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a,b）,使得f(c)=0,這個c就是f(x)=0的根.二分法對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.二次函數(shù)(a＞0)的圖像與零點的關(guān)系Δ＞0Δ=0Δ＜0二次函數(shù)(a＞0)的圖像與x軸的交點（，0），（，0）（，0）無交點零點個數(shù)210重要結(jié)論：若y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像連續(xù)不斷，且有f(a)f(b)＜0,則函數(shù)y=f(x)一定有零點.f(a)f(b)＜0是y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有零點的充分不必要條件.若函數(shù)f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù)，且f(x)的圖像連續(xù)不斷，則f(a)f(b)＜0函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上只有一個零點..典例分析考點一：函數(shù)零點所在區(qū)間的判定（2023重慶巴蜀中學模擬）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A.(2,3)B.(3,)C.(,4)D.(4,5)解析：函數(shù)是由函數(shù)（x＞0）和y=x5兩個增函數(shù)組成的，所以函數(shù)在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，f(3)=1＜0，f()＜0,f(4)＞0,故函數(shù)的零點所在區(qū)間為(,4)，故選C若a＜b＜c,則函數(shù)的兩個零點分別位于區(qū)間（）(a,b)和(b,c)內(nèi)(∞，a)和（a,b）內(nèi)（b,c）和（c,+∞）內(nèi)（∞，a）和（c,+∞）內(nèi)解析：函數(shù)y=f(x)是圖像開口向上的二次函數(shù)，最多有兩個零點，由于a＜b＜c，則ab＜0,ac＜0,bc＜0,因此f(a)=(ab)(ac)＞0，f(b)=(bc)(ba)＜0,f(c)=(ca)(cb)＞0,所以f(a)f(b)＜0,f(b)f(c)＜0,即f(x)在區(qū)間(a,b)和區(qū)間(b,c)內(nèi)各有一個零點.故選A.(2023湖南長郡中學模擬)已知函數(shù)(a＞0，且a≠1).當2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)f(x)的零點，則n=___________.解析：對于函數(shù)，當x=2時，可得y＜1，當x=3時，可得y＞1，如圖，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=,y=x+b的圖像，判斷兩個函數(shù)圖像的交點的橫坐標在區(qū)間（2，3）內(nèi)，所以函數(shù)f(x)的零點時，n=2.反思總結(jié)：確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法.利用函數(shù)零點存在性定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)＜0,若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)必有零點.數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖像，觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.函數(shù)零點存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，不滿足條件時，一定要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進行分析判斷.考點二確定函數(shù)零點的個數(shù)例1：(1)函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是（）.(2023廣西模擬預測)已經(jīng)函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且當x∈[1,1]時，，則函數(shù)F(x)=f(x)|lgx|的零點個數(shù)是（）解析：（1）.方法一：因為f(0)f(1)=(1)×1=1＜0，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增且連續(xù)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有1個零點.故選B.方法二：設(shè)，在同一平面直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖像，在區(qū)間（0，1）內(nèi)，兩圖像的交點個數(shù)即為f(x)的零點個數(shù).故函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有1個零點.故選B.由函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)，畫出函數(shù)y=f(x)的圖像，再作出函數(shù)y=|lgx|的圖像，所以y=f(x)與y=|lgx|圖像共有10個考點攻略：判定函數(shù)零點個數(shù)的方法(1）直接求零點：令f(x)=0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點。(2）函數(shù)零點存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b］上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如單調(diào)性）才能確定函數(shù)有多少個零點。(3）將函數(shù)拆分成兩個簡單函數(shù)，畫出兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點。［素能演練1](1)(2023．青海海東第一中學模擬預測）函數(shù)f(x)=|x2|Inx在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為（）A.0B.1C.2(2)(2023·云南玉溪第一中學模擬預測）函數(shù)y=lg|x|sinx的零點個數(shù)為____________.解析：(1）由題意可知f(x）的定義域為(0,+∞)，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=|x2|(x>0),y=Inx(x>0）的圖象，如圖所示．由圖可知函數(shù)f(x）在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2．故選C.在同一平面直角坐標系中，分別作出y=lg|x|與y=sinx的圖象，如圖所示．由圖可知，兩函數(shù)圖象共有6個交點，故原函數(shù)有6個零點?？键c三函數(shù)零點的應用［例2](1)(2022·內(nèi)蒙古呼和浩特一模）設(shè)f(x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f(2x)=f(2+x)，且當x∈[2,0］時，，若關(guān)于x的方程f(x)loga(x+2)=0(a>1)在區(qū)間（2,6］內(nèi)恰有3個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是()A.()B.(,2)C.(,2]D.(,2](2)(2023·江蘇蘇州質(zhì)檢）函數(shù)f(x)=x·kx2在區(qū)間（1,2）內(nèi)有零點，則實數(shù)k的取值范圍是_______.解析：(1）因為f(x）為偶函數(shù)，故f(2x)=f(x2)，所以f(x+2)=f(x2)，故f(x）的周期為4,因為當x∈[2,0］時，f(x)=1，故f(x)在（2,6］上的圖象如圖所示，因為f(x)(x+2)=0(a>1）在區(qū)間（一2,6］內(nèi)有3個不同實根，所以f(x）的圖象與y=(x+2)(a>1）的圖象有3個不同的交點，故,即3＞，,3＜，解得<a<2．故選B.(2）令f(x)=0，所以x·kx2=0，即k=，即y=k與(x)=,x∈(1,2）的圖象有交點，又(x)=在（1,2）上單調(diào)遞增，且(1)=0,(2)=3．所以0<k<3.考點攻略：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）的常用方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍。(2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決．數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．（三）小結(jié)：函數(shù)的零點，函數(shù)零點存在定理，二分法，二次函數(shù)(a＞0)的圖像與零點的關(guān)系（四）練習：(1)(2023·湖南雅禮中學檢測）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f(x)=2a(a∈R)恰有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(.1)B.{}C.(,]U(1,+∞)D.R(2)(2023·山東省實驗中學模擬）若函數(shù)f(x)=(m2)+mx