高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題單變量與雙變量不等式恒成立、能成立問題

最新高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題

單變量與雙變量不等式恒成立、能成立問題

【原件版】

一、單變量不等式恒成立、能成立問題

題型一證明不等式成立

1、已知函數(shù)/(x)=e，+or.(aeR)

(1)若”0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若°=3，證明：當(dāng)x>()時(shí)，〃x)>f+3x+l恒成立.

2、已矢口/(x)=xlnx+l,g(x)=-x2+/?w-l.

(1)對一切實(shí)數(shù)xe(0,+oo),2f(x)>g(x),求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍；

12

(2)求證：任意xw(0,+oo),\nx>---.

3、已知函數(shù)〃力=".

X

(1)函數(shù)g(x)=乎,求g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

、13

(2)求證：對于Vxe(O,M)，總有

4、已知函數(shù)/(x)=alnx+L(aeR).

X

(1)討論函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值;

(2)當(dāng)。=1時(shí)，求證：對任意xe(0,+8),恒有/(?<'+3=成立.

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題型2根據(jù)恒(能)成立求參數(shù)范圍

類型1根據(jù)恒成立求參數(shù)范圍

1、已知函數(shù)/(x)=or2_(2“+i)x+lnx.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/*)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)若/(X)<。恒成立，求〃的取值范圍.

2、已知函數(shù)/(x)=a(e=ex)(axO).

(1)討論”x)的單調(diào)性：

(2)若〃x)>x+l對xe[2,y)恒成立，求”的取值范圍.

3、已知〃x)=e"2x+sinx,g(x)=+3-2x+2sinx+〃？.

(1)求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若XNO時(shí)，/(x)Ng(x)恒成立，求，”的取值范圍.

4、已知函數(shù)/。)=*一x.

(I)若曲線y=/(》)在點(diǎn)(O，/(O))處切線的斜率為I,求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式〃-加對xw(O,e]恒成立，求”的取值范圍.

5、已知函數(shù)/(x)=alnx-‘,g(x)=x+3,其中awR.

XX

(I)若a=l,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)若g(x)>f(x)對于任意的xe[l,ej恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

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類型2根據(jù)能成立求參數(shù)范圍

1、已知函數(shù)f(x)=x-alnx,g(x)=-華■(〃>()).

(I)若a=l,求函數(shù)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)Mx)="x)-g(x),求函數(shù)〃(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若存在毛?1，e],使得"與)<8(蒞)成立，求。的取值范圍.

2、已知函數(shù)/。)=加1門_/_<、在x=l處取得極值3-。，其中。也。為常數(shù).

(1)試確定“，b的值；

(2)討論函數(shù)/⑴的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對任意x>0,不等式/(幻22/有解，求c,的取值范圍.

3、已知函數(shù)〃x)=e*-依-1.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求的極值；

(2)若/(力4/在xe[O,y)上有解，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

4、已知函數(shù)〃x)=gx2-(“+2)x+2alnx(aeR).

(1)若曲線y=〃x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為"2x+b,求“+4的值；

(2)若a>0,討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=-(〃+2)x,若至少存在一個(gè)％e[e,4],使得./?■)>8■)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

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b

5、已知函數(shù)/(x)=x-alnx+-,。，.

x

(1)若a>0,匕>0,且1是函數(shù)/(X)的極值點(diǎn),求4+]的最小值；

ab

(2)若b=a+\,且存在e2，1],使/(%)<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

e

6、已知函數(shù)/(x)='+41nx(且.

x

(1)若a=l,求函數(shù)/*)的極值；

(2)若存在x°e(O,e]，使得“Xo)<O成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

二、雙變量不等式恒成立、能成立問題

1、已知曲線/(力=加+加(。,屐R)在點(diǎn)(1J(1))處的切線方程是"2=0.

(1)求/(力的解析式；

(2)若對任意?-2,3],都有(鄉(xiāng))〉，〃？，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2、已知函數(shù)/(x)=lnx+x,g(x)=[g]-m,

(1)先證明單調(diào)性，再求函數(shù)/*)在口，2]上的最小值；

(2)若對曾華[1,2],加e[0,2],使得/(占)及區(qū))，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

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3、已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)證明："X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，(0,+8)上單調(diào)遞增；

(2)設(shè)。＞0，函數(shù)g(x)=2cos2%+acosx-a-g，如果總存在玉e,對任意々,

/(菁).名(王)都成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4、已知函數(shù)/(x)=(。+2)%2+Qt-lnx(。eR).

(I)當(dāng)。=0時(shí)，求證：/(x)＞2x2-1.

2

(H)設(shè)81)=-—§/，若V*e(0,l],加e[0,l],使得〃xj..g&2)成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

5、已知函數(shù)/(?ng-—(a+l)x+alnx.

(1)求函數(shù)Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)任取aw[3,5],函數(shù)/(x)對任意外,％2e[l,3](%f)，恒有|/(再)-/(馬)1＜幻X-々成立，求

實(shí)數(shù)4的取值范圍.

6、設(shè)Ax)=：+xlnx,g(x)=j?-3.

(1)如果存在xi,愈晝[0,2],使得g3)-g(X2巨"成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；

(2)如果對于任意的s,rePk2"|,都有/(s)也⑺成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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7、已知函數(shù)於)=x-1-HnM〃<0).

⑴討論函數(shù)./U)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)0<x,<r2<l時(shí)，都有—<上，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

工1一%2

8、已知函數(shù)人x)=x-(a+1)lnx-eR),g(x)=*+ev-xex.

(1)當(dāng)xG[l,e時(shí),求加)的最小值；

(2)當(dāng)”<1時(shí)，若存在MW[e,e2],使得對任意的MH-2,0],白修⑴)成立，求a的取值范圍.

13

9、已知函數(shù)/(x)=lnx-1X+j-1

(1)求函數(shù)八》)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)igg(x)=-x+2Z?x-4,若對任意％G(O,2),X2G[1,2],不等式〃xj2g(馬)恒成立，求實(shí)數(shù)方

的取值范圍.

10、已知函數(shù)/(x)=*—gd+ar+KaeR).

(1)若x=3是函數(shù)/(X)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值;

2___

(2)當(dāng)。<2時(shí)，Vx,,X2G[0,2],"a)-/(w)|,,§恒成立，求〃的取值范圍.

11、已知函數(shù)/(無)=。猶+4/一3%(?！闞).

(1)若函數(shù)/(幻在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為尸法-2(6eR),求。，6的值及/*)的極值；

(2)若a=l,對V%,x2G[1r2],當(dāng)與v%2時(shí)，不等式/G)-/⑸)>'■-'恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值

~x?X

范圍.

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2022年高考導(dǎo)數(shù)壓軸題

單變量與雙變量不等式恒成立、能成立問題

【詳細(xì)解析版】

一、單變量不等式恒成立、能成立問題

題型一證明不等式成立

1、已知函數(shù)./'(x)=e*+ax.("eR)

(1)若。＜0,求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若°=3，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，〃x)＞d+3x+l恒成立.

【答案】(1)在(Yo』n(-。))上單調(diào)遞減，在(ln(-上單調(diào)遞增；(2)證明見解析.

【分析】(1)求導(dǎo)可得/(X)解析式，令/'(x)=O,解得x=ln(-a),

分別討論』n(-叫)和(ln(-a),欣)時(shí)，/’3的正負(fù),可得/⑴的單調(diào)區(qū)間.

(2)令g(x)=/(x)—(x2+3x+l)=e*—Y-l,可得g，(x)="-2x,再令刈月=，-2x,

利用導(dǎo)數(shù)求得/?。)的單調(diào)區(qū)間和最值，即可得g'(x)＞。恒成立，可得g(x)的單調(diào)性和最值，

得證.

【解析】(1)f\x)=e'+a,

當(dāng)。＜0時(shí)，令/''(x)=O,解得x=ln(-a).

當(dāng)》變化時(shí)，/'(x),的變化情況如下表：

X(-00,In(-a))In(-o)(in(-a),+8)

廣3—0+

小)減極小值增

所以。<0時(shí)，“X)在(Y°，ln(F))上單調(diào)遞減，在(皿-4),一)上單調(diào)遞增.

(2)證明：^g(x)=/(x)-(x2+3x+l)=ev-x2-l,則g，(x)=e*-2x.

令〃(x)=e*_2x,則”(x)=e*-2,

當(dāng)0<x<ln2時(shí)，”(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>ln2時(shí)，〃(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增;

/?(%)>/?(ln2)=e'"2-21n2=2-21n2>0,即g'(x)>0,恒成立.

所以g(x)在(0,m)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(o)=i-o-i=o,

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所以e，-x2-l>0,即當(dāng)x>0時(shí)，/（可>^+3犬+1恒成立.

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2、已知/(x)=xln.r+l,g(x)=-x2

(1)對一切實(shí)數(shù)xe(O,+8),2/(x)>g(x),求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍；

10

(2)求證：任意K￡(0,+8),lnx>-.

eex

【答案】⑴(TO,4];(2)證明見詳解.

【分析】(1)把/(x)與g(x)的解析式代入已知不等式，整理后設(shè)/心)=21門+》+[,xe(O,+8),

求出〃(x)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷增減性，進(jìn)而求出力(x)的最小值，可確定，〃取值

范圍.

(2)所證不等式兩邊同時(shí)乘以X,左邊為/("-1,右邊設(shè)為〃，(工)=5一|仁>0)，

求出左邊的最小值以及右邊的最大值，比較即可證明.

【解析】⑴若2/(x)Ng(x),貝!|一/十九1一1工2\由工+2,即〃7w21nx+x+3,

x

A(x)=2Inx+x+—,xe(0,+oo)

貝必，3=—=正號(hào)旦色羋R,

XXX，X

'.'xw(o,l)時(shí)，A*(x)<0,6(x)單調(diào)遞減；xe(l,+8)時(shí)，->0,〃(x)單調(diào)遞增；

.?./r(x)min=^(l)=4,故陽￡4,即實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為(-oo,4].

17r?

(2),工6(0,+00)等價(jià)于證明.「||1'>-^一一,

又/(x)=xlnx+1(x>0),/*(x)=ln.v+1,

令/"(x)=0,解得x=L

e

當(dāng)xe(0,1時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xwg,”)時(shí)，/'(x>>0,/(x)單調(diào)遞增；

?■?/(XL=所以>=xlnx的最小值為-%

設(shè)"，(*)=]一|(\>。)，則"(x)=￡^,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，機(jī)(x)>0,用(工)單調(diào)遞增；當(dāng)xw(l,+00)時(shí)，機(jī)(x)vO,單調(diào)遞減；

又.j=的最小值為-1，且與〃，(x)不同時(shí)取到同一個(gè)工的值，

e

從而對一切》￡(0,+8),■-二恒成立，

exe

i7

即任意xe(O,+8),lnx>-----恒成立.

eex

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3、已知函數(shù)〃x)=乙.

X

(1)函數(shù)g(x)=，D,求g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

13

(2)求證：對于Vx?0,4w),總有〃x)>/nx-j

2

【答案】(1)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(fo,0)和(2,+8)上單調(diào)遞增；極小值g(2)=(e,無極大值；

(2)證明見解析.

【分析】(1)寫出g(x)的函數(shù)表達(dá)式，通過求導(dǎo)寫出單調(diào)區(qū)間和極值即可

(2)證明〃x)>Jnx-1恒成立，結(jié)合(1)得，

等價(jià)于2>；(lnx-3)恒成立，且已知左式的最小值，只要大于右式的最大值，則不等式恒成

x4x

立

r*73+r-1/i、/、e*,e'>JC—2xe'e'(x—2)

【解析】(1)g(x)=7ng(x)=---------------=-p-,

當(dāng)0<x<2時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x<0或x>2時(shí)，g'(x)>。,

，g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(-8,0)和(2,—)上單調(diào)遞增；

故g*)有一個(gè)極小值g(2)=0,無極大值.

4

13ex13ex1

(2)證明：要證/(x)>/nx一成立，只需證三成立，即證二>；(lnx-3)成立，

44x44.V4x

14—Inx

<$-/?(x)=—(lnx-3),則“(x)=”,

4x4r

當(dāng)0<x<e岬寸，"(x)>0;當(dāng)x>e4時(shí),h'M<0,

.?(x)在(0,e4)上單調(diào)遞增，在(e4,+8)上單調(diào)遞減，

???/7。)2="(巧=5,

??,g(x)=*■由(1)可知g(x)向“=g⑵=?,

???gd1mx，,ga)>A(x),

13

,V(x)>lnx".

44

4、已知函數(shù)/(x)=alnx+!(aGR).

X

(1)討論函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，求證：對任意xe(0,+oo)，恒有/(x)<''廿『成立.

X

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【解析】(1)函數(shù)/。)=。1門+’的定義域是(0,+8),

X

r(x)=@-!=竺二.當(dāng)。,,0時(shí)，處—i<o,竺二<o，貝!ir(x)<o,

XX"XX

則函數(shù)/(X)在(0,m)上單調(diào)遞減，即函數(shù)/(X)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

故函數(shù)fM在區(qū)間［1,2］上的最小值為/(2)=?ln2+1.

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)<0，得0c;令/'(x)>。，得x>」;

aa

故函數(shù)/(X)在(o,J上單調(diào)遞減，在［5,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)L1,即&.1時(shí)，函數(shù)/(沙在區(qū)間口，2］上單調(diào)遞增，

a

故函數(shù)/(X)在區(qū)間U，2］上的最小值為f⑴=1;

當(dāng)L.2,即0<%！時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間口,2］上單調(diào)遞減，

a2

故函數(shù)fM在區(qū)間［1,2］上的最小值為/(2)=aln2+1；

當(dāng)1」<2,即，<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在」上單調(diào)遞減，在化21上單調(diào)遞增,

此時(shí)函數(shù)/(X)在區(qū)間［1,2］上的最小值為/(1)=aIn：+a.

綜上，當(dāng)知；時(shí)，函數(shù)/⑴在區(qū)間工2］上的最小值為/(2)=aIn2+；;

當(dāng)!<a<l時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值為=a；

2\a)a

當(dāng)a..1時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間",2］上的最小值為/(I)=1.

(2)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=lnx+-,

X

xx

句、T、e+cosx口、T11e+cosx

要證/(x)<--------,即證nlnx+-<---------,

XXX

因?yàn)閤>0，所以兩邊同時(shí)乘x,得xlnx+1ve"+cosx,

BPiIExlnx<ev+cosx-l.

當(dāng)0v兀，1時(shí)，x\nx,,0，而"+cosx—1>1+cosl-l=cosl>0,

e

所以xlnx<e"+cosx-1成立，即f(x)<+。?！?成立.

x

當(dāng)%>1時(shí),v,h(x)=ex+cosx-xlnx-l(x>1),

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貝[]。(工)=/一$巾元一111%一1.

igg(x)=ex-sinx-Inx-l(x>1)一則因?yàn)間(%)=e*-cosx—.

x

因?yàn)閤>l,所以g(x)="-cosx-,>e-l-l>0,

x

所以當(dāng)x>1時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)>e—sin1-1>。，即h\x)>0,

所以A(x)在(1,+o。)上單調(diào)遞增，所以〃(x)>e+cos1—1>0,即/(幻<婷+^^成立.

X

綜上，對任意XG(0,+8)，恒有/(x)<g<+COSX成立.

X

題型2根據(jù)恒(能)成立求參數(shù)范圍

類型1根據(jù)恒成立求參數(shù)范圍

1、已知函數(shù)/。)=加-(2a+l)x+lnx.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(X)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)若"幻<0恒成立，求”的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(*),(1，內(nèi)),單調(diào)遞減區(qū)間為(；1)，極大值=,極小值

/(1)=-2

(2)(-1,0]

【分析】(1)由題可求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而再求出極值即可；

(2)分情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值即可求解.

【解析】(1)當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-3x+lnx，定義域?yàn)?0,+8),

r(x)=2x-3+'=2x2-3x+lJ2..1)(x-l)

XXX

當(dāng)ra)>o時(shí),o<x<g或x>i；當(dāng)ra)<。時(shí),”<1,

所以函數(shù)/a)的單調(diào)遞增區(qū)間為,。，內(nèi))，單調(diào)遞減區(qū)間為，

所以當(dāng)X時(shí)，函數(shù)“X)取得極大值/(￡[=-：一ln2,

當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)/*)取得極小值/⑴=-2.

(2)f'(x)=2ax-(2a+1)+-=.

XX

①當(dāng)a>()時(shí)，f(x)=ax2-(.2a+])x+]nx,xe(0,+a5),

令ax2-(2a+l)x>0,解彳導(dǎo)方>2+1，

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則當(dāng)/￡(2+_,+00)時(shí)，辦：一(24+1)工0〉0，且lnx0>In2>。，

a

所以函數(shù)/")=〃2一(2。+1口+1!^〉0恒成立,不符合題意，舍去；

②當(dāng)心0時(shí)，令/'(x)>0,解得O<X<1；令/'(x)<0,解得x>l,

則函數(shù)f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1，叱)上為減函數(shù)，

所以函數(shù)〃x)在x=l處取得極大值，也是最大值，

要使得/。)<0儂立，貝！|只需/6=。一(2。+1)<0,解得1,故一l<aV0.

綜上，”的取值范圍是(TOL

2、已知函數(shù)/(x)=a(e'-ex)(a*O),

(1)討論“X)的單調(diào)性：

(2)若〃x)>x+l對xe［2,+oo)恒成立，求”的取值范圍.

【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)(/三，加°)

【分析】(1)求導(dǎo)得,在分a>(),a<0兩種情況討論求解即可；

V-_1_1

(2)根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為。/二最對xe［2,田)恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)最值即可.

【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,r(x)=a(e'-e).

當(dāng)。>0時(shí)，令f'(x)>0,得x>l,令f'(x)<0，得;

當(dāng)"0時(shí)，令ra)>o，得x<i,令ra)<o，得x>i.

綜上，當(dāng)4>。時(shí)，/(X)在(F』)上單調(diào)遞減，在(1,的)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。<0時(shí)，”X)在("』)上單調(diào)遞增，在(1，叱)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)知,函數(shù)g(x)=e，-"在［2,+oo)上單調(diào)遞增,

則g(x)Ng(2)=e(e-2)>0,

V*_1_1

所以“X)>x+1對xW2,e)恒成立等價(jià)于a>/二對X《2,y)，恒成立.

v

設(shè)函數(shù)Mx)=F±(x22),則"("=e-xe

設(shè)P(x)=e-xe'(xn2),則p'(x)=-(x+l)e*<。,則p(x)在［2,4w)上單調(diào)遞減，

所以p(x)V#2)=e-生之。，貝小)<0,

所以〃(x)在［2,”)上單調(diào)遞減，

3

所以Mx)11Mx=九⑵=/二五；

故，即a的取值范圍是［3^，+°°］.

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3、已知/(x)=e*-2x+sinx,=-x3-2x+2sinx+m.

(1)求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x20時(shí),/(x)Wg(x)恒成立,求m的取值范圍.

【答案】(1)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,內(nèi))單調(diào)遞增.(2)m<l

【分析】(1)先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再進(jìn)行分類討論判斷導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，即可得到答案；

1,1,

(2)將問題轉(zhuǎn)化為“4,-sinx在X..0恒成立,令"(x)=e、'-sinx(x..O),

再利用(1)的結(jié)論進(jìn)行求解，即可得到答案；

【解析】(1)1?,f(x)=ex-2x+sinx,二/⑶=e*-2+cosx,

①當(dāng)內(nèi),0時(shí)，e"—2e(―2,-1］,—掇ijcosx1,

e*-2+cosx,0在％,()恒成立,0,/*)在(YO,0)單調(diào)遞減,

②當(dāng)x>0時(shí)，令g(x)=ex-2+cosx,貝I」g'(x)=e*-sinx>0在x>0恒成立，

??以力在(0,xo)單調(diào)遞增,且g(0)=0,8(》)>。在(0,+8)恒成立,

即廣(x)>0在(0,+8)恒成立，

/(X)在(0,+co)單調(diào)遞增，

綜上所述：/*)在(7,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)X..0時(shí)，e'-2x+sinx..^x3-2x+2sinx+w

m,,es-x3-sinx在x..0恒成V7,令u(x)=e*-g/-sinx(x..0),

,:u(x)=ex-x2-cosx,令v(x)=ex-x2-cosx(x..0),

由(I)得M(x)=e*-2x+sinx..u'⑼=1,.”(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，且v(0)=0,

.?.〃即0在讓0恒成立,.」，(x)在0+8)單調(diào)遞增，“(0)=1,

m<w(x)mi?=M(0)=1.

4、已知函數(shù)/(x)=*-x.

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,〃。))處切線的斜率為1,求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式/(x)Ze“'lnx-辦2對xe(0,e］恒成立，求”的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為1-8,一等］,單調(diào)遞增區(qū)間為［-寫，+8)；(2)1,+?

【分析】(1)由題設(shè)/'(x)=a*T,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有/"(0)=1,可求〃，

即/'(x)=2e2v-l,進(jìn)而可求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

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(2)由題意，函數(shù)不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為xe(/O,e-］i上1上n一_」12吧Inv」—1恒成立，

ex

構(gòu)造函數(shù)g(力=yF，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得a2?在Xe(0,e］上恒成立,

InY

即在xe(Q,e］±a>(―)^即可求a的取值范圍.

【解析】(1)/'(x)=ae"—l,則7(0)=。-1=1,即。=2.

所以/'(x)=2e2'_l,令/”)=0,得％=-手.

當(dāng)x<一號(hào)時(shí)，/")<0；當(dāng)了>-(時(shí)，/")>0.

故"X)的單調(diào)遞減區(qū)間為卜°，-野)，單調(diào)遞增區(qū)間為(一野，+8

(2)由/(x)之6皿1!1》_打2,即,

.ax-1lnx-1,,Ineax-1Inx-l-

有二1N------,故僅需--->-------即可.

exex

設(shè)函數(shù)g(x)=@"，則上』匚2小」等價(jià)于g(二)?g(x)?

xex

2-lnx

因?yàn)間'(x)=

所以當(dāng)xe(O,e］時(shí)，g")>0,則g(x)在(0,e］上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)xe(0,e］時(shí)，g(*)之g(x)等價(jià)于當(dāng)xe(0,e］時(shí)，

g(e"')?g(x),eaK>x,即。之匚三恒成立.

X

設(shè)函數(shù)/?(x)=g,xe(O,e］設(shè),

九X

即h(x)在Xw(0,e］遞增，所以h(x)mm=Me)=-,貝!|a2J即可,

所以"的取值范圍為*

5、已知函數(shù)/(x)=alnx-‘,g(x)=x+q，其中aeR.

XX

(1)若a=l,求曲線y=〃x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程;

(2)若g(x)>f(x)對于任意的xc［l,e］恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)2x-y-3=0；(2)_2<4<=.

e-1

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【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而可得切線方程；

(2)將不等式對于任意的xe[l,e]恒成立轉(zhuǎn)化為任意的xe[l,e],

XX

x—aInx+>0怛成立,設(shè)〃(x)=x-alnx+^^,xe[l,e],求導(dǎo),

xx

分a+141,?+l>e,+討論，通過求%(x)>0求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【解析】(1)由題意知：/(x)=lnx--,/(D--1,即切點(diǎn)為(1,-D,

x

小)="，加)=2，

故切線方程為：y+l=2(x-l),即2x-y-3=0.

(2)由題意知：不等式x+g>alnx」對于任意的xe[l,e]恒成立，

XX

任意的xc[l，e],x-alnx+四>0恒成立，

X

i^h(x)=x-a\nx+^-^-,xG[l,e],

x

A，W=(X+1)(X-￡-1),XE[IE]

廠

①當(dāng)—1,即aKO時(shí),h'(x)>0,人⑴為增函數(shù)，

〃(幻min=力(1)=2+。>0,gpa>—2,—2vaW0滿足.

②當(dāng)a+lNe,即心e-l時(shí)，H(x)<0,力(冗)為減函數(shù),

，6(x)min="(e)=e-Q+^^>0,BPa<黃足

ee-1e-1

③當(dāng)Iva+lve時(shí)，即Ovave-l時(shí)，

當(dāng)XWUM+1]時(shí)，/?(x)<0,當(dāng)xw(〃+l,e|時(shí)，/z(x)>0,

??只需力(x)min=h(a+1)=〃+2-aln(a+l)>0,

即做外mm=。27n(a+1)+1>0,

a

2

設(shè)〃(〃)=——ln(a+l)+l,其中Ovave—1,

a

22

F(〃)=__In(a+l)+l為遞減函數(shù)，.?.F3)>F(e_l)=「〉0,

ae-1

故Ovave—l,力(x)mm=〃(。+1)=。+2-aln(〃+l)〉0,

?八e~+1

綜上：-2<a<----.

e-1

類型2根據(jù)能成立求參數(shù)范圍

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1、已知函數(shù)f(x)=x-alnx,g(x)=-9(a>0).

(1)若”1,求函數(shù)〃x)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)Mx)=/(x)—g(x),求函數(shù)〃(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若存在飛中,e],使得/(x0)<g(x。)成立，求〃的取值范圍.

、,、/V+1

【答案】(1)極小值為1,無極大值(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(l+a,4w)，單調(diào)遞減區(qū)間為(01+。).(3)―-,+=o

6—1

【分析】(1)研究〃x)=x-Inx的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出/(X)的極值；

(2)先求/(X),再解不等式”(x)>0與〃(x)<0,求出單調(diào)區(qū)間，注意題干中的〃>()的條件；

(3)先把題干中的問題轉(zhuǎn)化為在xe[l,e]上有刈刈而“<0，再結(jié)合第二問研究的〃(x)的單調(diào)區(qū)間,

對“進(jìn)行分類討論，求出不同范圍下的妝x)mi“，求出最后結(jié)果

1T一]

【解析】(1)當(dāng)4=1時(shí)，〃x)=x—lnx,定義域?yàn)?0,+巧，尸(力=1-丁三

令r(x)=o得：*=1,當(dāng)》>1時(shí)，ra)>o,“X)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<l時(shí)，r(x)<0,“X)單調(diào)遞減，

故X=1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，“X)的極小值為/⑴=1,無極大值

(2)/?(x)=/(x)-g(x)=x-alnx+^^(a>0),定義域?yàn)?0,+勿)

,,z\]a1+4/x)—cix—1—a(x+l)(x—1—4)

〃(町=1------------=----------i--------=------------------------

XX'X'X

因?yàn)?>0,所以1+4>(),令〃'(x)>0彳導(dǎo)：x>l+a,令/?'(x)<0彳導(dǎo)：()<X<l+4,

所以〃(x)在(1+4,內(nèi))單調(diào)遞增，在(0，1+。)單調(diào)遞減.

綜上：〃(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(1+4,田)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1+“).

(3)存在/e[l,e],使得"x0)<g(x。)成立,

等價(jià)于存在％叩，e]，使得〃(占)<0，即在xe[l，e]上有〃(*山<0

由(2)知，〃(X)單調(diào)遞增區(qū)間為(1+4內(nèi))，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1+“)，所以

當(dāng)1+aNe，即aNe-l時(shí)，〃(x)在xe[l,e]上單調(diào)遞減，故〃(x)在x=e處取得最小值,

由"(x)mM="(0)=?—。+坐<。彳導(dǎo)：，因?yàn)?故

ee-1e-\e-1

當(dāng)l<l+ave,即0<ave-l時(shí)，

由(2)知：/2(x)在xe(l1+。)上單調(diào)遞減，在x?l+〃,e)上單調(diào)遞增，

〃(x)在XE[1，e]上的最小值為〃(1+Q)=2+a—aIn(1+Q)

因?yàn)?vln(l+a)vl,所以0v41n(l+a)v〃，

貝！J2+o-aln(l+〃)>2,即〃(1+。)>2,不滿足題意，舍去

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綜上所述：a的取值范圍為[三,+8

2、已知函數(shù)/（x）="2inx-"2-c在x=l處取得極值3—c，其中。也。為常數(shù).

（1）試確定“，〃的值；

（2）討論函數(shù)Ax）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對任意x>0,不等式〃x）22/有解，求。的取值范圍.

【答案】（1）。=-6；b=-3；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,〃x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1收）；（3）

【分析】（1）由〃1）=3-c,求得b,由/'（1）=0,得分

（2）將⑴中得到的。涉的值代入函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而得至!l/'（x）=T2xlnx.

判定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間；

（3）由（2）知，得到函數(shù)/（X）最大值，根據(jù)不等式有解得到。的不等式求解即得.

【解析】（1）由題意知/⑴=3-。,因此—》—c=3—c,從而/，=—3.

由題意求導(dǎo)得尸（1）=0,因此2。=0,解得。=-6;

（2）由（1）知/'（x）=T2xlnx.令〃尤）=0,解得x=l.

X（0」）1(1,同

r（x）+0-

“X)極大值/⑴

因此的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1），而/（力的單調(diào)遞減區(qū)間為。，內(nèi)）；

（3）由（2）知，“X）在x=l處取得極大值/（1）=3-。，此極大值也是最最值.

要使/（X）22/（x>0）有解，只需3-cN2c2.

□

即2c2+.340，從而（2c+3）（c-l）40.解得-yc〈l.

'3'

所以c的取值范圍為