高中數(shù)學必修3同步練習《概率》含答案

這兩變量具有該函數(shù)關(guān)系

線性相關(guān)：線性相關(guān)的判斷--求回歸方程--回歸方程的應用

線性相關(guān)的判斷：若〃個觀測值對應的點大致分布在某一條直線的附近，我們就用直線來刻畫這兩個變量之間的關(guān)系,

我們稱這直線方程￡=。+以為回歸直線方程。其中。=亍一及（回歸直線過（亂刃）。

b=3色~'-2_---,-存---

，=1

回歸直線方程反應的是總體兩個變量間的關(guān)系，利用回歸直線方程可以對總體取值進行預測.

概率

一.相關(guān)概念

1.事件（實驗的某種結(jié)果）：分確定（必然事件與不可能事件）與不確定（隨機事件）

基本事件（和）并交（積）；互斥事件對立事件

事件的關(guān)系：

⑴事件B包含事件A：事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，記作8；

⑵事件A與事件B相等：若A=B,8=A,則事件A與B相等，記作A=B；

⑶并（和）事件：某事件發(fā)生，當且僅當事件A發(fā)生或B發(fā)生，記作AuB（或A+6）；

⑷交（積）事件：某事件發(fā)生，當且僅當事件A發(fā)生且B發(fā)生，記作（或A3）；

⑸事件A與B互斥：若AcB為不可能事件（，則事件A與B互斥。在一次試驗中A與B不同時發(fā)生。

（6）A與B對立：AcB為不可能事件，為必然事件，則A與B對立。在一次試驗中A與B不同時發(fā)生但必

有一個發(fā)生。

事件A發(fā)生的次數(shù)3

2.頻率f“(A)=

實驗的總次數(shù)n

二.概率的理解

①概率：隨機事件發(fā)生的隨機性（某次試驗）與規(guī)律性（大量重復），故概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。

②概率與頻率的關(guān)系：對于一個事件而言，概率是一個客觀存在的常數(shù)，而頻率則隨試驗次數(shù)變化而變化，試驗次數(shù)越多，

頻率越接近概率，頻率是樣本概念，概率是總體概念，因此可用樣本的頻率估計總體的概率。

③概率的性質(zhì)：范圍互斥加法公式對立的性質(zhì)

三.概率的計算（古典、幾何、隨機模擬法）

I.古典與幾何的區(qū)別（有限與無限）

2古典與幾何計算公式可統(tǒng)一為小山：A事件所包含的基本事件數(shù)或?qū)獏^(qū)域長度（面積或體積等）

試驗的基本事件總數(shù)或全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積等）

3.利用互斥與對立的性質(zhì)求互斥事件概率加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）；

對立事件概率公式：因P（A+B）=P（A）+P（B）=I所以P（A）=I—+P（B）；

4.隨機模擬法（有限不等可能與無限但不規(guī)則）：實質(zhì)是用隨機模擬實驗的頻率近似概率。N、

注意：幾何概型的概率，根據(jù)幾何概率公式，一般要將問題轉(zhuǎn)化為圖形的長度、面積或體積比來求。

關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機事件所對應的兒何圖形，并對幾何圖形進行度量.

幾何概型有兩種類型

①線型幾何概型：當基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時。

②面型幾何概型：基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣每個

基本事件就對應平面內(nèi)一個點，所有基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，于是就可借助平面區(qū)域的面積比來求解。

四.概率的應用

①利用極大似然法決策②用隨機模擬法可以近似計算不規(guī)則圖形的面積，即尸_也幽?叢=s?N|S規(guī)則。

S~N不規(guī)則?N

“規(guī)則2V2/v2

典例分析

1.若b,c是從2,4,6,8中任取的兩個不相等的數(shù)，則方程/+法+。=0有實數(shù)根的概

率是（A）

175〃53

A.—B.—C.-D.一

121264

解：設(shè)”方程/+云+c=0有實數(shù)根”為事件A；

由題意知從四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字作為b,c共有方=12種結(jié)果，即（2,4）,（2,6）,（2,8）,（4,2）,

(4,6),(4,8),(6,2),(6,4),(6,8),(8,2),(8,4),(8,6),其中第一個數(shù)表示b的取值，第二個數(shù)表示

c的取值.

又要使得方程有實根,需/一4cN0,滿足條件的事件A有(4,2),(6,2),(6,4),(6,8),(8,2),(8,4),(8,6)

共7種結(jié)果。

7

故所求的概率是P（A）=在

注：古典概型大題一般模式

設(shè)“”為事件A；

由題意知基本事件共有m種結(jié)果，即（，），（，）

其中事件A含有（，）共門個，

n

故所求的概率是P（A）二—

m

2.從區(qū)間（0,1）內(nèi)任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的和小于!■的概率是

(D)

b

解：記兩個數(shù)分別為。力則（。力）可以看成平面中的點，

實驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為O=｛（。,即0<”1,0<b<1｝

對應的區(qū)域為圖中正方形

事件A=<3,與〃+人<|，對應的區(qū)域為圖中陰影部分，

故所求概率為：AJ）=^-=—

%72

注：幾何概型大題一般模式

記兩個數(shù)分別為a,〃貝I（a,。）可以看成平面中的點，

實驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為集合。=｛（”,與卜，加黃足的條件｝是圖中的什么圖形

事件A對應的區(qū)域為集合A=｛（a力）卜,加茜足的條件｝是圖中陰影部分,

q

故所求的概率是P（A）=出

總結(jié)提高

概率只有兩種類型，古典概型與幾何概型，古典概型怎么求，幾何概型又怎么求，實際上就一個公式。

套公式，就要將公式中的相關(guān)量說明清楚。是古典概型，要先找基本事件數(shù)再求比；是幾何概型，要先畫

出基本事件所對應的幾何圖形，找到對應的區(qū)域再求比。

根據(jù)公式，一般要四步

一、設(shè)出問題相關(guān)的事件；

二、分析試驗全部結(jié)果對應的基本事件數(shù)或區(qū)域；

三、分析事件A對應的基本事件數(shù)或區(qū)域；

四、代入公式，求概率。

注意：幾何概型的概率，根據(jù)幾何概率公式，一般要將問題轉(zhuǎn)化為圖形的長度、面積或體積比來求。

關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機事件所對應的幾何圖形，并對幾何圖形進行度量.

幾何概型有兩種類型

①線型幾何概型：當基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時。

②面型幾何概型：基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標和

縱坐標，這樣每個基本事件就對應平面內(nèi)一個點，所有基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，于是就可借

助平面區(qū)域的面積比來求解。

概率練習題

1、某公共汽車站每隔10分鐘就有一趟車經(jīng)過，小王隨機趕到車站，則小王等車時間不超過4分鐘的概率是

2

.答案：5

2

2、在區(qū)間［一3,2］上隨機取一個數(shù)項則|x|Wl的概率是「.【答案】y

3、從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率為（B）

A.—B.—C.—D.無法確定

428

3、在區(qū)間［0,6］上隨機取一個數(shù)x,log2》的值介于。到2之間的概率為（A）

13八12

A.-B.-C.-D.-

2433

【解析】???log2》的值介于0到2之間，又x為區(qū)間［0,6］上任意一個數(shù)，，滿足題意的概率為

4-1_1

故選A

6^0-2

4、一艘輪船只有在漲潮的時候才能駛?cè)敫劭?，已知該港口每天漲潮的時間為早晨5:00至7:00和下午5:00

至6:00,則該船在一晝夜內(nèi)可以進港的概率是（D）

5、在長為10cm的線段4處任取一點R并以線段/況邊作正方形，這個正方形的面積介于25cm?與49cm?之

間的概率為（B）

6、在長為12cm的線段A3上任取一點C,現(xiàn)作一矩形，使鄰邊長分別等于線段AC、C8的長，則該矩形面

2

積大于20cm之的概率為.-

3

【解析】試題分析：設(shè)基本事件為實數(shù)x,所有事件構(gòu)成區(qū)間（0,12）

邊長等于線段AC,CB的長分別對應x,12-x,使該矩形面積大于20即x（12-x）>20得2<x<10

所以所求概率為（10-2）+（12-0）=24-3

7、某人睡午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機想聽電臺整點報時，則他等待的時間小于10分鐘的概率是

8、某人睡午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，則他等待時間不多于15分鐘的概率為（B）

【解析】試題分析：整點報時，整點之間共六十分鐘，等待時間不多于15分鐘，所以他等待時間不多于15

分鐘的概率為,，故選B.

9、A是圓上固定的一定點，在圓上其他位置任取一點B,連接A、B兩點，它是一條弦，它的長度大于等于半徑

長度的概率為

V3

解：|AB|=|AC|=0R.

圓周2TTR2

TT

10、已知點P是邊長為4的正方形內(nèi)任一點，則P到四個頂點的距離均大于2的概率是1-一

滿足條件的正方形4BCD如下圖所示：?--------

其中正方形的面積S正方形=4x4=16；A

滿足到正方形的頂點4、8、。、D的距離均不

小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示

貝US陰影=16-4TT,I_2-----J—

故該正方形內(nèi)的點到正方形的頂點4、8、。、

。的距離均不小于1的概率是a品影-二竺泮

S正方形16

s

11、在面積為S的AABC的邊AB上任取一點P,則APBC的面積大于一的概率是（C）

【解析】解：記事件A={4PBC的面積大于S4},

基本事件空間是線段AB的長度，（如圖）

因為SAPBOS/4,則有1/2BOPE>1/4X1/2BC?AD；

化簡記得到：PE/AD>1/4,

因為PE平行AD則由三角形的相似性PE/AD>1/4；

所以，事件A的幾何度量為線段AP的長度，

因為AP=3/4AB,

所以aPBC的面積大于S/4的概率=AP/AB=3/4.故選C

12、在棱長為a的正方體ABC。-AICQi內(nèi)任取一點P,則點P到點A的距離小于等于?的概率為

14,

QX-TUI3

解析：尸=^-=春

13.在棱長為2的正方體ABCD-ABCD中，點0為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-ABCD內(nèi)隨機取一點P,

則點P到點0的距離大于1的概率為.

【解析】試題分析：若以點P到點0的距離大于1,所以點P在以0為圓心，以1為半徑的球的外部，

23-4^-xl3

所以所求概率為——三——=1--.

2312

14、在棱長為2的正方體內(nèi)隨機取一點，取到的點到正方體中心的距離大于1的概率為

4兀

［解析］半徑為1的球的體積是4菰正方體的體積是8,故所求的概率是1—13=1―J親r

joO

15、已知如圖所示的矩形，長為12,寬為5,在矩形內(nèi)隨機地投擲1000粒黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆

數(shù)為600粒，則可以估計出陰影部分的面積約為.

解析：設(shè)所求的面積為S,由題意得儒=7■為，，S=36.

1UUUjA1Z

16、兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去.則求兩人會面的概率為(C)

14c57

A.-B.-C.-D.—

39910

17、甲，乙兩人約定8：00到9：00在圖書館見面，甲愿意等20分鐘，乙愿意等30分鐘，則他們見面的概

率為.

【解析】因為該試題考查的的幾何概型，根據(jù)甲乙到達的事件可得8WxW9,8WyW9

同時0〈x-y<20,0<y-x<30,那么作圖，根據(jù)事件發(fā)生的面積比來得到結(jié)論為4空7

18、某校高三年級要從3名男生a,4c,和2名女生d,e中任選3名代表參加學校的演講比賽。

(I)求男生。被選中的概率

(II)求男生。和女生d至少一人被選中的概率。

【解析】(I)所有的選擇方法有abc,abd,abe,acd,ade,ade,bed,bee,bde,cde共I。種,而男生a被選中

的情況有abc,abd,abe,acd,ade,ade,共6種,

所以男生a被選中的概率為9=3；

6分

105

(II)男生。和女生d至少一人被選中的情況有abc.ahd,ahe,acd,ade,ade,bed,bde,cde9#,所以男

9

生。和女生d至少一人被選中的概率為二.12分

10

19、一個盒子中有5只同型號的燈泡，其中有3只合格品，2只不合格品?，F(xiàn)在從中依次取出2只，設(shè)每只

燈泡被取到的可能性都相同，請用“列舉法”解答下列問題：

（1）求第一次取到不合格品，且第二次取到的是合格品的概率；

（2）求至少有一次取到不合格品的概率。

【解析】：令三只合格燈泡分別為a,b,c,兩只不合格燈泡分別為e,f,從中取出兩只燈泡，所有的取法

有ab,ac,ae,af,ba,be,be,bf,ca,cb,ce,cf,ea,eb,ec,ef,fa,fb,fc,fe總的取法共二

十種

（1）第一次取到不合格品，且第二次取到的是合格品取法有6