概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用考試重點

2，設(shè)是兩個事件，，求。解：，，，5，袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求以下事件的概率?！?〕4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球?！?〕4只中至少有2只紅球?！?〕4只中沒有白球。解:〔1〕所求概率為；〔2〕所求概率為；〔3〕所求概率為。8，〔1〕設(shè)，求,.〔2〕袋中有6只白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，假設(shè)取到白球，放回，并放入1只白球；假設(shè)取到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解：〔1〕由題意可得，所以，，，，。〔2〕設(shè)表示“第次取到白球”這一事件，而取到紅球可以用它的補來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球可以表示為，它的概率為〔根據(jù)乘法公式〕12，〔1〕設(shè)隨機變量Y的概率密度為試確定常數(shù)C，求分布函數(shù)，并求，?！?〕設(shè)隨機變量X的概率密度為求分布函數(shù)，并求，。解：〔1〕根據(jù)，得到。；〔2〕；。14,設(shè)一加油站有兩套用來加油的設(shè)備，設(shè)備A是加油站的工作人員操作的，設(shè)備B是有顧客自己操作的。A，B均有兩個加油管。隨機取一時刻，A，B正在使用的軟管根數(shù)分別記為X，Y，它們的聯(lián)合分布律為YXY01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30求，；求至少有一根軟管在使用的概率；求，。解：〔1〕由表直接可得=0.2，=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42〔2〕至少有一根軟管在使用的概率為〔3〕=0.1+0.2+0.3=0.615,設(shè)隨機變量〔X，Y〕的聯(lián)合概率密度為試確定常數(shù)，并求，，。解：根據(jù)，可得，所以。；。16，設(shè)隨機變量〔X，Y〕在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。求〔X，Y〕的概率密度；求邊緣概率密度。解：〔1〕根據(jù)題意，〔X，Y〕的概率密度必定是一常數(shù)，故由，得到。〔2〕；18，設(shè)是兩個隨機變量，它們的聯(lián)合概率密度為，求關(guān)于的邊緣概率密度；求條件概率密度，寫出當時的條件概率密度；求條件概率。解：〔1〕?！?〕當時，。特別地，當時?！?〕。20，設(shè)隨機變量〔X，Y〕在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。寫出〔X，Y〕的概率密度；求邊緣概率密度；求條件概率密度，并寫出當時的條件概率密度。解：〔1〕根據(jù)題意，〔X，Y〕的概率密度必定是一常數(shù)，故由，得到。〔2〕；?！?〕當時，。特別地，當時的條件概率密度為。1，〔1〕設(shè)，求，，；〔2〕設(shè)，且，，求。解：〔1〕，〔2〕，所以；，所以，即。2，設(shè)，求，。解：因為，所以。。3，〔1〕設(shè)，試確定，使得?！?〕設(shè)，試確定，使得。解：〔1〕因為所以得到,即，。〔2〕因為，所以，即，從而，。16，以記100袋額定重量為25〔kg〕的袋裝肥料的真實的凈重，服從同一分布，且相互獨立。，求的近似值。解：根據(jù)題意可得。由獨立同分布的中心極限定理可得1，寫出以下試驗的樣本空間：連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結(jié)果中有一個結(jié)果出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結(jié)果中有一個結(jié)果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。拋一枚硬幣，假設(shè)出現(xiàn)H那么再拋一次；假設(shè)出現(xiàn)T，那么再拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的各種結(jié)果。解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。6，一公司向個銷售點分發(fā)張?zhí)嶝泦危O(shè)每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給每一銷售點是等可能的，每一銷售點得到的提貨單不限，求其中某一特定的銷售點得到張?zhí)嶝泦蔚母怕省＝猓焊鶕?jù)題意，張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給個銷售點的總的可能分法有種，某一特定的銷售點得到張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ蟹N，所以某一特定的銷售點得到張?zhí)嶝泦蔚母怕蕿椤?7，將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H”，“第二次得H”，“兩次得同一面”。試驗證A和B，B和C，C和A分別相互獨立〔兩兩獨立〕，但A,B,C不是相互獨立。解：根據(jù)題意，求出以下概率為，；，，。所以有，，。即說明A和B，B和C，C和A兩兩獨立。但是所以A,B,C不是相互獨立。13，一在線計算機系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨機選擇的進入訊號無誤差地被接受的概率。通訊線通訊量的份額無誤差的訊息的份額10.40.999820.30.999930.10.999740.20.9996解：設(shè)“訊號通過通訊線進入計算機系統(tǒng)”記為事件，“進入訊號被無誤差地接受”記為事件。那么根據(jù)全概率公式有=0.99978220，一元件〔或系統(tǒng)〕能正常工作的概率稱為元件〔或系統(tǒng)〕的可靠性。如圖設(shè)有5個獨立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設(shè)元件的可靠性均為，試求系統(tǒng)的可靠性。21第20題543解：設(shè)“元件能夠正常工作”1第20題543那么系統(tǒng)的可靠性為1，設(shè)在某一人群中有40%的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機地選人來驗血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以Y記進行驗血的次數(shù)，求Y的分布律。解：顯然，Y是一個離散型的隨機變量，Y取說明第個人是A型血而前個人都不是A型血，因此有，〔〕上式就是隨機變量Y的分布律〔這是一個幾何分布〕。3,據(jù)信有20%的美國人沒有任何健康保險，現(xiàn)任意抽查15個美國人，以X表示15個人中無任何健康保險的人數(shù)〔設(shè)各人是否有健康保險相互獨立〕。問X服從什么分布？寫出分布律。并求以下情況下無任何健康保險的概率：〔1〕恰有3人；〔2〕至少有2人；〔3〕不少于1人且不多于3人；〔4〕多于5人。解：根據(jù)題意，隨機變量X服從二項分布B(15,0.2)，分布律為?！?〕〔2〕；〔3〕；〔4〕5，某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以至產(chǎn)品成為次品，設(shè)次品率為0.001，現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率?！苍O(shè)各產(chǎn)品是否為次品相互獨立〕解：根據(jù)題意，次品數(shù)X服從二項分布B(8000,0.001)，所以〔查表得〕。7，一公司有5名訊息員，各人在t分鐘內(nèi)收到訊息的次數(shù)〔設(shè)各人收到訊息與否相互獨立〕?！?〕求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個訊息員未收到訊息的概率?！?〕求在給定的一分鐘內(nèi)5個訊息員恰有4人未收到訊息的概率?！?〕寫出在一給定的一分鐘內(nèi)，所有5個訊息員收到相同次數(shù)的訊息的概率。解：在給定的一分鐘內(nèi)，任意一個訊息員收到訊息的次數(shù)?！?〕；〔2〕設(shè)在給定的一分鐘內(nèi)5個訊息員中沒有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示，那么Y~B(5,0.1353)，所以。〔3〕每個人收到的訊息次數(shù)相同的概率為8，一教授當下課鈴打響時，他還不結(jié)束講解。他常結(jié)束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi)，以X表示鈴響至結(jié)束講解的時間。設(shè)X的概率密度為，〔1〕確定；〔2〕求；〔3〕求；〔4〕求。解：〔1〕根據(jù)，得到；〔2〕；〔3〕；〔4〕。9，設(shè)隨機變量X的概率密度為，求t的方程有實根的概率。解：方程有實根說明，即，從而要求或者。因為，所以方程有實根的概率為0.001+0.936=0.937.10，設(shè)產(chǎn)品的壽命X〔以周計〕服從瑞利分布，其概率密度為求壽命不到一周的概率；求壽命超過一年的概率；它的壽命超過20周，求壽命超過26周的條件概率。解：〔1〕；〔2〕；〔3〕。13，在集合A={1,2,3,….,n}中取數(shù)兩次，每次任取一數(shù)，作不放回抽樣，以X表示第一次取到的數(shù)，以Y表示第二次取到的數(shù)，求X和Y的聯(lián)合分布律。并用表格形式寫出當n=3時X和Y的聯(lián)合分布律。解：根據(jù)題意，取兩次且不放回抽樣的總可能數(shù)為n(n-1)，因此，〔，且〕當n取3時，,〔，且〕,表格形式為YXY123101/61/621/601/631/61/6023，設(shè)是兩個相互獨立的隨機變量，，的概率密度為試寫出的聯(lián)合概率密度，并求。解：根據(jù)題意，的概率密度為所以根據(jù)獨立定，的聯(lián)合概率密度為。24，設(shè)隨機變量具有分布律-2-10131/51/61/51/1511/30求的分布律。解：根據(jù)定義立刻得到分布律為125101/57/301/511/3025，設(shè)隨機變量，求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為，的分布函數(shù)為。那么當時，，；當時，，。所以，。26，〔1〕設(shè)隨機變量的概率密度為求的概率密度?！?〕設(shè)隨機變量，求的概率密度?！?〕設(shè)隨機變量，求的概率密度。解：設(shè)的概率密度分別為，分布函數(shù)分別為。那么〔1〕當時，，；當時，，。所以，?！?〕此時。因為，故，，所以，?！?〕當時，，故，。所以，。27，設(shè)一圓的半徑X是隨機變量，其概率密度為求圓面積A的概率密度。解：圓面積，設(shè)其概率密度和分布函數(shù)分別為。那么，故所以，。34，設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律為求的分布律。求的分布律。求的分布律。YXY01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解：〔1〕的分布律為如，，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為01231/122/329/1201/120〔2〕的分布律為如，，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為0127/4013/40〔3〕的分布律為如，，其余類似。結(jié)果寫成表格形式為01231/125/125/121/125，解：〔1〕根據(jù)，可得，因此計算得到，即。所以=6?！?〕根據(jù)題意，按照數(shù)學(xué)期望的公式可得，因此期望存在?！怖昧恕场膊环麜洗鸢浮?，解：〔1〕一天的平均耗水量為〔百萬升〕?！?〕這種動物的平均壽命為〔年〕。9，解：。〔對第一個積分進行變量代換〕11，解：R的概率密度函數(shù)為，所以。12，解：〔不符書上答案〕13，解：因為的分布函數(shù)為，所以可以求出的分布函數(shù)為，。的密度函數(shù)為，。所以的數(shù)學(xué)期望為，。14，解：求出邊緣分布律如下YXY01203/289/283/