高中數(shù)學人教A版 習題課時提升作業(yè) 三 11

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課時提升作業(yè)三

三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式

回25分鐘練/

分值：60分

一、選擇題(每小題6分，共18分)

1.函數(shù)y=x2-(l-5x)(0<x<鄉(xiāng)的最大值為()

B—C—D—

675657645675

【解析】選A.因為OWx1,

所以l-5x>0,

所以y=x2.(l-5x)炭《X?5.(1-5x)]<

「5513

4'X+^x+Q-5x)4

253-675,

當且僅當*l-5x,即x4時取.

2.設a,b,c都是正數(shù)且a+2b+c=l廁工+注+工的最小值為()

abc

A.9B.12

C.6-2V2D.6+4V2

【解析】選D.因為azb,c都是正數(shù)目a+2b+c=l,所以長+[(a+2b+c)G+

：+工)=4+”+：+￡+。+：+型“+2婦+2+2貶=6+4代,當且僅當a=c=V2b

bc/abacbc

時等號成立.

所以工+打工的最小值是6+4V2.

abc

3.(2016?商丘高二檢測)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2Vl廁2a+b+c的最

小值為()

A.V3-1B.V3+1

C.2V3+2D.2V3-2

【解析】選D.因為a(a+b+c)+bc=4-2g

BP(a+b)(a+c)=4-2V3,Xa,b;c>0

2?

所以(a+b)(a+c)[^^]=(中)

所以2a+b+c>2V3-2.

二、填空題(每小題6分，共12分)

4.已知a,b,c￡R+,且滿足a+2b+3c=1，貝甘■的最小值為_______.

a2b3c--------

【解析】因為a,b,c￡R+,且滿足a+2b+3c=1,

所以9+4+上=色+2b+3c)-g+/+,23%.2b.3c-3黑.奈?白9,當且僅

當a=2b=3c=總寸取等號.因此工+點+：的最小值為9.

3azb3c

答案：9

5.（2016?唐山高二檢測）已知x,y,z￡R+,且x+3y+4z=6,則秘心的最大值為

【解析】因為x,y,z￡R+,且x+3y+4z=6,

XY

所以6=x+3y+4z=-+-+y+y+y+4z

>6-^x2y3z,

所以x2y3z，

答案：1

三、解答題(每小題10分，共30分)

6.若a,b,c>0,

2

^<uE：a2+b2+c2+Q+^+1)26后

【證明】因為a,b,c>0,

所以a2+b2+c223-Ja2b2c2①

②

2

a2+b2+c2+f-+

\abc/

>3-Ja2b2c2+9-3(abc)-2

22?586其當且僅當a=b=c時等號成立.

7.（2016?哈爾濱高二檢測）設正實數(shù)x,y,z滿足x+2y+z=1,求^+警2的最小值.

XIyyIL.

【解析】因為正實數(shù)x,y,z滿足x+2y+z=l,

所以2_+空義=*+丫+丫+2+絲辿=1+紇+世包21+2/y+zx9（x+y）=7

x+yy+zx+yy+zx+yy+zyjx+yy+z

當且僅當籌=整，

即x+yJy+z3時，取等號.

所以也的最小值為7.

x?yy十N

2

8.已知實數(shù)a,b,c￡R,a+b+c=L求4a+平+4c的最小值，并求出取最小值時a,b,c

的值.

2

【解析】由平均不等式得4a+平+4c>

314a.4b=3^4a+b+c2（當且僅當a=b=c2時等號成立）.

因為a+b+c=l,

所以a+b=l-c,

貝!Ja+b+c2=c2_c+l=（c-：）+|,

當c二手寸,a+b+c2取得最小值去

從而當a=bq,c4時々+平+4c,取最小值，最小值為3V2.

@@gg）20分鐘練/

分值：40分

一、選擇題（每小題5分，共10分）

1.(2016?溫州高二木的則)若logxy=-2,貝!!x+y的最小值是()

A亭B.亭冷冷

【解析】選A.因為logxy=-2,

所以x>0且xwl,y>0,且y=x2,

所以x+y=M+/3那亭,

當且僅當"，即X=V5時等號成立.

2.如果圓柱的軸截面周長/為定值，那么圓柱的體積最大值是()

【解析】選A.設圓柱的底面半徑為r,高為h,

貝［J/=4r+2h,即2r+h=V/

V=nr2h<(^y^)n=(y)n.

/

當且僅當r=h=飛■時等號成立.

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.已知0<x4則x2(l-2x)的最大值為.

【解析】因為。<x4所以l-2x>0,

3

則X2(1-2X)=X-X(1-2X)<［X+X+^~2X)］節(jié)詩.當且僅當x=l-2x,即x二,時等號成

立.故x2(l-2x)的最大值為5

林玄工

【拓展延伸】用平均不等式求最值

(1)利用平均不等式求函數(shù)的最值必須同時具備"一正、二定、三相等"這三個

條件才能應用，否則會求出錯誤結果.

(2)在具體問題中，"正數(shù)”這個條件一般由已知條件容易獲得，"相等"條件也容

易驗證確定,而獲得"定值"條件往往被設計為一個難點，它需要一定的靈活性和

變形能力.

(3)"定值"條件是運用不等式求最值的關鍵,解題時應根據(jù)已知條件適當進行添

(拆)項，創(chuàng)造應用平均不等式的情境及能使等號成立的條件.

(4)當連續(xù)應用不等式時，要注意各不等式取等號時條件是否一致，否則也不能求

出最值.

4.(2016?天津高二檢測)已知關于x的不等式2X+-^-2>7在xW(a,+8)上恒成

立,則實數(shù)a的最小值為.

【解析】2x+-^=(x-a)+(x-a)+-^-2+2a

因為x-a>0,

所以2x+春司(x一a)(x-a)?露+2a=3+2a.

當且僅當x-a=』，即x=a+l時，取等號.

(x—a)z

所以2x+3的最小值為3+2a,

由題意可得3+2a27,解得a>2.

答案：2

三、解答題（每小題10分，共20分）

5.已知a,b,c同號,且互不相等,a+b+c=l,求證:1+8+工>9.

abc

111

證明---a+b+ca+b+ca+b+c

abCa*b+c

因為a,b,c同號，且a+b+c=l,

所以a>0,b>0,c>0,

r-r-pibcacab

所以ggQbqq均大于0,

又a,b,c互不相等,

cr-ixibcacab

所以3n+一"FF-

aabbcc

r〃6/bcacabc

>3+6-x-x-x-x-x-=9.

\aabbcc

所以宗+%9.

【補償訓練】設a,b,c為正實數(shù)，求證$+%%abcN2Vl

dbC

［證明］因為a,b,c為正實數(shù)由平均不等式可得5+去+1±3污

即％3晶亮

所以與+與+*4+abc2-^-+abc,

a，b，c，abc

而亮+abc22jW-abc=26,

所以當+與+=+abcN2V5.

a°bc

當且僅當a=b=c時取等號.

6.有一塊邊長為36cm的正三角形鐵皮，從它的三個角上剪下三個全等的四邊形

后做成一個無蓋的正三棱柱容器，要使這個容器的容積最大，剪下的三個四邊形

面積之和等于多少?最大容積是多少？

【解析】剪下的三個全等的四邊形如圖所示，設AiFi=xcm,則AFi=V3xcm,

所以AIBI=FIF2=36-2V3X.

所以V=y(36-2V3x)2-x

=^(6V3-x)(6