數(shù)列排列規(guī)律(一)

數(shù)列的排列規(guī)律善德文藝中心找出數(shù)列的排列規(guī)律（一）找規(guī)律是我們在生活、學習、工作中經(jīng)常使用的一種思想方法，在解數(shù)學題時人們也常常使用它，下面我們利用找規(guī)律的方法來解一些簡單的數(shù)列問題。（一）思路指導例1.在下面數(shù)列的（）中填上適當?shù)臄?shù)。

1，2，5，10，17，（），（），50

分析與解：這個數(shù)列的排列規(guī)律是什么？我們逐項分析：第一項是：1

第二項是：2，第三項是：5，第四項是：10，

……

可以看出，這個數(shù)列從第二項起，每一項都等于它的前一項依次分別加上單數(shù)1，3，5，7，9……，這樣我們就可以由第五項算出括號內(nèi)的數(shù)了，即：第一個括號里應填；第2個括號里應填。例2.自1開始，每隔兩個整數(shù)寫出一個整數(shù)，這樣得到一個數(shù)列：

1，4，7，10……

問：第100個數(shù)是多少？

分析與解：這個題由于數(shù)太多，很難像例1那樣遞推，我們可以換一種思路：數(shù)列中每相鄰兩個數(shù)的差都是3，我們把這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列。我們把“3”叫做這個等差數(shù)列的公差。觀察下面的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它們的公差是幾？（1）2，3，4，5，6，7……

（2）5，10，15，20，25，30……

（3）1，2，4，8，16……

（4）12，14，16，18，20……

現(xiàn)在我們結(jié)合例2找一找每一項與第一項，公差有什么關系？第1項是1，第二項比第一項多3，第三項比第一項多2個3，第四項比第一項多3個3，……依次類推，第100項就比第一項多99個3，所以第100個數(shù)是。由此我們可以得出這樣的規(guī)律：等差數(shù)列的任一項都等于：第一項＋（這項的項數(shù)－1）×公差我們把這個公式叫做等差數(shù)列的通項公式。利用通項公式可以求出等差數(shù)列的任一項。試試看：你能求出數(shù)列3，5，7，9……中的第92個數(shù)是多少嗎？例3.已知一列數(shù)：2，5，8，11，14，……，44，……，問：44是這列數(shù)中的第幾個數(shù)？分析與解：顯然這是一個等差數(shù)列，首項（第一項）是2，公差是3。我們觀察數(shù)列中每一個數(shù)的項數(shù)與首項2，公差3之間有什么關系？以首項2為標準，第二項比2多1個3，第三項比首項多2個3，第四項比首項多3個3，……，44比首項2多42，多14個3，所以44應排在這個數(shù)列中的第15個數(shù)。由此可得，在等差數(shù)列中，每一項的項數(shù)都等于：（這一項－首項）÷公差＋1

這個公式叫做等差數(shù)列的項數(shù)公式，利用它可以求出等差數(shù)列中任意一項的項數(shù)。試試看：數(shù)列7，11，15，……195，共有多少個數(shù)？

例4.觀察下面的序號和等式，填括號。()+()+7983=()序號1234。。

。（）

分析與解：

表中等式的第1個加數(shù)是1，3，5，7，9……，是一個等差數(shù)列，公差是2，第二個加數(shù)也是一個等差數(shù)列，公差是3，第三個加數(shù)也是一個等差數(shù)列，公差是4，和同樣是一個等差數(shù)列，公差是9。由于第三個加數(shù)的最后一項是7983，可以根據(jù)等差數(shù)列的項數(shù)公式求出7983是3，7，11，15……這個等差數(shù)列的第幾項，也就是序號。。這樣我們就可以分別求出各個等差數(shù)列的第1996項是多少了，利用通項公式：

綜上所述，括號里應填的數(shù)是：（1996）（3991）＋（5987）＋7983＝（17961）

例5.已知數(shù)列1，4，3，8，5，12，7，16，……，問：這個數(shù)列中第1997個數(shù)是多少？第2000個數(shù)呢？分析與解：從整體觀察不容易發(fā)現(xiàn)它的排列規(guī)律，注意觀察這個數(shù)列的單數(shù)項和雙數(shù)項，它們各自的排列規(guī)律為：單數(shù)項：1，3，5，7，……

雙數(shù)項：4，8，12，16，……

顯然，它們各自均成等差數(shù)列。為了求出這個數(shù)列中第1997個數(shù)和第2000個數(shù)分別是多少，必須先求出它們各自在等差數(shù)列中的項數(shù)，其中：第1997個數(shù)在等差數(shù)列1，3，5，7，……中是第個數(shù)；第2000個數(shù)在等差數(shù)列4，8，12，16，……中是第1000個數(shù)。所以，第1997個數(shù)是。第2000個數(shù)是（二）嘗試體驗

1.按規(guī)律填數(shù)。

（1）1，2，4，（），16；

（2）1，4，9，16，（），36，49；

（3）0，3，7，12，（），25，33；

（4）1，1，2，3，5，8，（），21，34；

（5）2，7，22，64，193，（）。答案：（1）后一個數(shù)是前一個數(shù)的2倍：1，2，4，（8），16；（2）從1開始自然數(shù)的平方數(shù)：1，4，9，16，（25），36，49；（3）相鄰兩個數(shù)的差是逐漸增加的：0，3，7，12，（18），25，33；（4）前兩個數(shù)之和等于后面的數(shù)：1，1，2，3，5，8，（13），21，34；（5）后一個數(shù)總是前一個數(shù)的3倍多1：2，7，22，64，193，（580）。2.數(shù)列3，6，9，12，15，……，387共有多少個數(shù)？其中第50個數(shù)是多少？

3.有數(shù)組（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，求第100組的三個數(shù)之和。每組第1個數(shù)是按自然數(shù)順序排列的，公差是1的等差數(shù)列每組第2個數(shù)是平方數(shù)每組第3個數(shù)是立方數(shù)第100組的三個數(shù)之和是

答：共有129個數(shù)，其中第50個數(shù)是150。4.下面各列數(shù)中都有一個“與眾不同”的數(shù)，請將它們找出來：

（1）6，12，3，27，21，10，15，30，……；

（2）2，3，5，8，12，16，23，