數(shù)學(xué)建模 2章基本方法教材

第二章基本方法2.1概論2.2幾種創(chuàng)造性思維方法2.3問題分析2.4建立模型現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界建立數(shù)學(xué)模型翻譯為實(shí)際解答始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁*數(shù)學(xué)建模沒有普遍適用的方法與技巧.

*

數(shù)學(xué)建模工作與問題的性質(zhì)、建模的目的以及建模工作者自身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和專長(zhǎng)有關(guān).*有一些普遍適用的思想方法與思維方式.

整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程由若干個(gè)有明顯差別的階段性工作組成

怎樣構(gòu)架這座橋梁？求解數(shù)學(xué)模型

實(shí)際問題分析建立數(shù)學(xué)模型提交論文與報(bào)告

模型與模型解的分析及檢驗(yàn)

2.2幾種創(chuàng)造性思維方法

數(shù)學(xué)建模過程是一種創(chuàng)新過程，在思考方法和思維方式上與學(xué)習(xí)其他課程有很大差別.數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維…….等等.要注意培養(yǎng)和訓(xùn)練自己的創(chuàng)新思維類比思維歸納思維逆向思維發(fā)散思維猜測(cè)思維

問題解決法、思想表達(dá)法、創(chuàng)造發(fā)明法等方法對(duì)于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)不可或缺.方法的共同特點(diǎn)：

不輕易否定別人的意見，懷疑一般常識(shí)，努力發(fā)現(xiàn)別人尚未察覺的事物等介紹幾種（個(gè)體和集體的）創(chuàng)造性思維方法

一、集體思考法（BrainStorming，簡(jiǎn)稱BS法）類似于現(xiàn)代科研工作，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是群體的合作活動(dòng).*現(xiàn)行的傳統(tǒng)教育模式使學(xué)生,善于獨(dú)立思考，卻拙于交流、與人合作.

*數(shù)學(xué)建模是一種集體創(chuàng)新過程,需要一種集體創(chuàng)新思維方式.集體思考法是一種較好的集體創(chuàng)新思維方式。*在合作過程中相互理解、相互協(xié)調(diào)、相互交流、從而集思廣益。

為使合作者互相啟發(fā)，互相學(xué)習(xí)，發(fā)揮特長(zhǎng)要求有良好合作的要素：需要、提倡、避免需要：相互尊重、平等相待；

提倡：積極思考、奮力拼搏、學(xué)會(huì)傾聽、勇于爭(zhēng)辯、懂得妥協(xié)；避免：武斷評(píng)價(jià)、回避責(zé)任、孤高自傲、喪失信心.突破問題的靈感與思想的火花往往產(chǎn)生于激烈的爭(zhēng)論之中

二、發(fā)散性思維方法發(fā)散性思維和猜測(cè)思維是創(chuàng)造性思維方式的重要組成部分

面對(duì)新問題，應(yīng)盡量打開自己的思路：

1.不要有一點(diǎn)想法,就輕易沿一條思路深入，不要輕易做出結(jié)論.

2.

盡量多一些想法，多一些猜測(cè)，對(duì)問題反復(fù)思考、思考、再思考.幫助展開思路的方法：

關(guān)鍵詞聯(lián)想法提問題法1.提問題法：借助于一系列問題來展開思路

面臨難題,束手無策時(shí)通過提出一系列問題來導(dǎo)出一些想法或一個(gè)好的方案.如：

（l）這個(gè)問題和什么問題相類似？（2）假如變動(dòng)問題的某些條件將會(huì)怎樣？(4)重新組合又會(huì)怎樣？(3)將問題分解成若干部分再考慮會(huì)怎樣？為進(jìn)一步打開思路可提以下問題：

(7)可否換一種數(shù)學(xué)工具來解決此問題？(5)我們還可以做什么工作？(6)有無需要進(jìn)一步完善的內(nèi)容？針對(duì)問題和初始方案可以先設(shè)計(jì)出類似的問題清單，然后反復(fù)展開.

例1穿越公路模型一條公路交通不太擁擠,以致人們養(yǎng)成“沖”過馬路的習(xí)慣,不愿行走到鄰近較遠(yuǎn)處的“斑馬線”.當(dāng)?shù)亟煌ü芾聿块T不允許任意橫穿公路,為方便行人，準(zhǔn)備在一些特殊地點(diǎn)增設(shè)“斑馬線”,讓行人可穿越公路,并且還要保證行人的平均等待時(shí)間不超過15秒.增設(shè)“斑馬線”需考慮哪些方面的問題？1.考慮問題的立場(chǎng),司機(jī)或行人的哪方面的利益更為重要？公路情況:是否有彎道？車道間是否設(shè)有安全隔離帶？……3.車流情況：車流的密度大?。?.行人情況:穿越公路的速度大?。看┰焦返娜巳好芏?？

問題分析

此問題的特點(diǎn)是機(jī)理復(fù)雜,受到較多隨機(jī)因素的影響,可采用統(tǒng)計(jì)模擬方法加以解決.一種新產(chǎn)品剛面世，廠家和商家總是采取各種措施促進(jìn)銷售，比如不惜血本大做廣告等等.他們都希望對(duì)這種新產(chǎn)品的推銷速度做到心中有數(shù),廠家用于組織生產(chǎn)，商家便于安排進(jìn)貨.例2新產(chǎn)品銷售模型怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型描述新產(chǎn)品(電飯煲)推銷速度，并由此分析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn).想一想此問題與我們遇到的哪一個(gè)建模問題相類似？重新分析Logistic人口模型，t

時(shí)刻的人口數(shù)為t≥0

Logistic模型特點(diǎn)：初期高速增長(zhǎng)，過一個(gè)特定時(shí)間點(diǎn)后增長(zhǎng)速度減緩，且有上界控制.對(duì)原問題的分析：（1）一般每戶只需用1～2只電飯煲就足夠,一個(gè)地區(qū)的需求量是有限的；（2）初期在廣告之類推銷作用下銷售速度較快,商品趨于飽和時(shí)銷售速度會(huì)減緩.電飯煲的銷售情況類似于人口增長(zhǎng)情況,可利用類比方法建立模型.記x(t)為t時(shí)刻已售出的電飯煲總數(shù),市場(chǎng)的飽和量(最大需求量)為M,利用Logistic模型來描述電飯煲的銷售速度變化情況.實(shí)際情況與Logistic銷售曲線十分吻合

思考請(qǐng)考慮現(xiàn)實(shí)中哪些變量的變化可用

Logistic模型進(jìn)行描述？例3：“9.11”事件的反思現(xiàn)代化都市里大樓林立,這些拔地而起的摩天大樓安全性不容忽視,我們經(jīng)常耳聞目睹大樓內(nèi)發(fā)生意外情況,造成令人震驚的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失.大樓內(nèi)居住人員的安全保障在于無論發(fā)生什么情況,都能使人員有組織,有秩序地進(jìn)行疏散撤離.一座大樓的管委會(huì)想進(jìn)行一次緊急疏散人員的演習(xí).問題分析演習(xí)之前需要考慮許多方面,如大樓內(nèi)的設(shè)施、人員的分布情況、撤離路線的設(shè)計(jì)、撤離的步驟等等，這是一個(gè)較龐大的系統(tǒng)工程.應(yīng)考慮將此問題分解成為若干個(gè)子問題，如*一個(gè)房間內(nèi)人員的撤離；*一個(gè)通道的撤離；*一層樓人員的撤離；……然后，再將各個(gè)子問題重新組合起來2.關(guān)鍵詞聯(lián)想法一種有效的發(fā)散思維方式

主要步驟如下：

(1)抓住問題或方案的關(guān)鍵詞,不受任何約束地進(jìn)行聯(lián)想；

(2)把聯(lián)想到的內(nèi)容用關(guān)鍵詞的方式登記在卡片上,進(jìn)一步激發(fā)產(chǎn)生新的想法,進(jìn)一步想出新的主意；

(3)再把積攢的卡片相互搭配,形成解決問題的初步思路與步驟.例4

一個(gè)飛行管理模型在約10,000米高空的某邊長(zhǎng)160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行.區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù),以便進(jìn)行飛行管理.當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣,記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞.如果會(huì)碰撞,則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行方向角，以避免碰撞.現(xiàn)假定條件如下：……請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型,列出計(jì)算步驟,對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算(方向角誤差不超過0.01度).要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小.記錄數(shù)據(jù)為：……

試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)與推廣.*對(duì)問題仔細(xì)閱讀,首先抓住題目中的關(guān)鍵詞“管理”進(jìn)行聯(lián)想.

*抓住諸如“碰撞”、“調(diào)整”、“避免碰撞”、“立即”、“判斷”等等詞語.

*聯(lián)系到解決問題的方案,不加約束繼續(xù)聯(lián)想，再將關(guān)鍵詞搭配起來.

立即判斷

碰撞

條件

實(shí)時(shí)

算法

避免碰撞

調(diào)整方向角

實(shí)時(shí)

幅度盡量小

相對(duì)距離優(yōu)化問題優(yōu)化算法優(yōu)化調(diào)整方案問題的初步理解和想法：三、

從整體上把握問題的方法有兩種把握住問題的全貌的有效方法：

(1)層次結(jié)構(gòu)法

(2)問題分解法

飛行管理問題是優(yōu)化問題,在調(diào)整方向角的幅度盡量小的同時(shí)，還必須注意調(diào)整方案及算法的實(shí)時(shí)性.著眼點(diǎn)是對(duì)各類推銷隊(duì)伍的工作效果進(jìn)行分析

原問題“推銷員人數(shù)問題”明確為：(1)不同規(guī)模的銷售隊(duì)伍會(huì)有什么影響；

(2)怎樣從他們的銷售工作中獲取最大的收益.

明確了工作的目標(biāo),即設(shè)置好問題的目標(biāo)態(tài).

1.

公司的規(guī)模有多大？

2.

該公司的推銷員的工作方式？

例1

一家大商業(yè)印刷公司的經(jīng)理就關(guān)于應(yīng)該雇多少推銷員的問題征詢你的意見.

(1)層次結(jié)構(gòu)法

推銷員人數(shù)獲取最大收益顧客地域分析確定出各有關(guān)因素,畫出問題的層次結(jié)構(gòu)圖

顧客容量

市場(chǎng)份額

現(xiàn)有定貨量潛在

轉(zhuǎn)移概率

轉(zhuǎn)變概率

現(xiàn)有潛在問題分解三要素

初態(tài)

目標(biāo)態(tài)

過程

覺察到的現(xiàn)在狀態(tài)(目前“有什么”，如條件、數(shù)據(jù)等).

覺察到的希望目標(biāo)(想要什么、希望達(dá)到什么等).

能在“初態(tài)”和“目標(biāo)態(tài)”之間發(fā)生作用的行動(dòng)(能做什么).

（2）問題分解法：是一種簡(jiǎn)單而有效的把握問題整體的方法.

常見數(shù)學(xué)題目模式

已知求（證）解題初態(tài)目標(biāo)態(tài)過程教師的主要教學(xué)目標(biāo)

*解決實(shí)際問題時(shí)，分析出問題的初態(tài)和目標(biāo)態(tài)很困難.

*未清晰地描述出問題的“初態(tài)”和“目標(biāo)態(tài)”之前，過早地進(jìn)入解決問題的階段，會(huì)條件不清、目標(biāo)不明.

盡量拓展思路的基礎(chǔ)上,再進(jìn)行充分分析得到的問題分解結(jié)果：例2．飛行管理問題

初態(tài)：現(xiàn)有飛機(jī)的飛行狀態(tài)（數(shù)據(jù)）與碰撞條件

過程：建立碰撞的判別準(zhǔn)則,優(yōu)化管理方案及相應(yīng)算法.

目標(biāo)態(tài)：實(shí)時(shí)調(diào)整，避免碰撞。2.3問題分析問題的前期分析

包括：明確問題、分析條件、分析數(shù)據(jù)

為什么問題前期分析至關(guān)重要？數(shù)學(xué)建模問題往往含混不清,可能的原因有:*提出問題的人未能清楚地表述問題.*各領(lǐng)域的應(yīng)用者提問題時(shí),未給出恰當(dāng)?shù)臈l件.*未能準(zhǔn)確理解問題.對(duì)問題進(jìn)行充分的前期分析以前,過早著手解決問題,往往會(huì)陷入一些意想不到的陷阱,或者偏離解決問題的方向.一.明確問題例2.3.1

一家大商業(yè)印刷公司的經(jīng)理就關(guān)于應(yīng)該雇多少推銷員的問題征詢你的意見.

“究竟需要做什么？”

遇到一個(gè)新問題時(shí),首先應(yīng)問自己*這些情況反而為建模人提供了機(jī)遇和挑戰(zhàn)！著眼點(diǎn)是對(duì)各類推銷隊(duì)伍的工作效果進(jìn)行分析

原問題“推銷員人數(shù)問題”明確為：(1)不同規(guī)模的銷售隊(duì)伍會(huì)有什么影響；

(2)怎樣從他們的銷售工作中獲取最大的收益.

明確了工作的目標(biāo),即設(shè)置好問題的目標(biāo)態(tài).

為明確問題

,可向有關(guān)人員詢問如下問題：1.

公司的規(guī)模有多大？

2.

該公司的推銷員的工作方式？

推銷員人數(shù)獲取最大收益顧客地域分析確定出各有關(guān)因素,畫出問題的層次結(jié)構(gòu)圖

顧客容量

市場(chǎng)份額

現(xiàn)有定貨量潛在

轉(zhuǎn)移概率

轉(zhuǎn)變概率

現(xiàn)有潛在二.條件及數(shù)據(jù)分析

設(shè)置好問題的目標(biāo)態(tài),還需要做以下工作：1.

收集必要的資料和數(shù)據(jù)。

2.

分析現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和條件,使問題進(jìn)一步明確化.

例2.3.2節(jié)水洗衣機(jī)（96年B題）我國(guó)淡水資源有限.節(jié)約用水人人有責(zé),洗衣機(jī)在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額,目前洗衣機(jī)已非常普及,節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要.假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過程為：加水—漂洗—脫水—加水—漂洗—脫水—…—加水—漂洗—脫水(稱“加水—漂洗—脫水”為運(yùn)行一輪).請(qǐng)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序（包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等),使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少.選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，對(duì)照目前常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況，對(duì)你的模型和結(jié)果出評(píng)價(jià).*衣服的洗凈效果指標(biāo)(包括污物和殘留洗滌劑)；

*不同質(zhì)地衣物的脫水率或衣物的含水量C；

*洗衣機(jī)的最高水位H、最低水位L；

*各類污物(泥土、油膩等)和洗滌劑在水中的溶解特性。

怎樣收集數(shù)據(jù)和資料？

分析：題目中沒有一個(gè)數(shù)據(jù),但問題卻需要比較多的數(shù)據(jù)及條件,如

可在各類圖書館、網(wǎng)上查閱、向?qū)＜以儐枴⑼ㄟ^試驗(yàn)來得到。

收集數(shù)據(jù)應(yīng)列入工作計(jì)劃，并注意：

1.

向有關(guān)人員調(diào)查情況應(yīng)事先設(shè)計(jì)好問題；

2.

事先確定所需資料清單、資料來源、收集方式。有條理地收集計(jì)劃可以為后期的工作創(chuàng)造良好的條件

2.4建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的建立與建模目的密切相關(guān)幾類常見建模目的:

1.

描述或解釋現(xiàn)實(shí)世界的各類現(xiàn)象

(常采用機(jī)理分析的方法,探索研究對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律性)；

2.

預(yù)測(cè)感興趣的事件是否會(huì)發(fā)生,或者事物的發(fā)展趨勢(shì).

(常采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)或模擬的方法)；需合理地定義可量化的評(píng)價(jià)指標(biāo)及評(píng)價(jià)方法.

建模過程中的幾個(gè)要點(diǎn)模型的整體設(shè)計(jì)合理的假設(shè)建立數(shù)學(xué)表達(dá)式建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)3.

優(yōu)化管理、決策或者控制

事物時(shí)刻牢記建模目的完整的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該同時(shí)描述出有關(guān)因素之間的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系

應(yīng)清楚變量、變量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式在整個(gè)模型中的地位和作用.

例2.4.1

考慮一個(gè)簡(jiǎn)化的城鎮(zhèn)供水系統(tǒng),水是由水庫經(jīng)由管道流入水箱,再由水箱向各用戶供水.問題怎樣才能有效地保障各用戶的正常用水？一.模型的整體設(shè)計(jì)按下述步驟對(duì)模型進(jìn)行整體設(shè)計(jì)

1.

分析系統(tǒng)的組成部分（研究對(duì)象、實(shí)體）

相關(guān)實(shí)體有：水庫,管道,水箱和用戶.

*

實(shí)體間的結(jié)構(gòu)關(guān)系可表示如下：

水庫管道水箱用戶*

以上各實(shí)體都可能是我們的研究對(duì)象.

*應(yīng)分析相對(duì)于各個(gè)實(shí)體的因素對(duì)供水的影響2.

分析各實(shí)體之間的關(guān)系,找出聯(lián)系各實(shí)體的變量.實(shí)體之間的作用關(guān)系圖

各實(shí)體之間的關(guān)系

管道與水箱：管道的水流量水庫與管道：水庫的水深水箱與用戶：出水口的水流量（或有效水深）用戶：總用水量

3.

根據(jù)各實(shí)體的相互關(guān)系，提煉整理需考慮的變量以及變量之的關(guān)系表達(dá)式.

假設(shè)“水庫能保證管道所需的水流量”，現(xiàn)需考慮t時(shí)刻以下變量：

*

總需水量D(t)；*

水箱的有效儲(chǔ)水量Q(t)及QM

；

或流出水流量F(t)及FM；*

管道能提供的供水量G(t)及GM.分析各變量的特征：*D(t)不可控，但可以對(duì)其進(jìn)行描述；*G(t)是可控變量.4.

用數(shù)學(xué)語言描述要解決的問題

選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)G(t)，使得有

Q(t)=G(t)－F(t),F(t)=D(t),

0＜G(t)＜GM，0＜Q(t)＜QM，同時(shí)成立.建模工作的整體設(shè)計(jì):

1)確定需求函數(shù)D(t),是保證有效控制的基礎(chǔ)；2)制定恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)指標(biāo)，以評(píng)價(jià)方案的優(yōu)劣；

3)求出相對(duì)于評(píng)價(jià)指標(biāo)最優(yōu)的水箱供水方案；

4)分析各種參數(shù)對(duì)方案的影響；

5)分析隨機(jī)因素的影響.

模型整體設(shè)計(jì)的作用

1)可將整個(gè)建模過程分解為一些可串行或并行的子任務(wù)。

2)可把握住工作的重點(diǎn)、要點(diǎn)和難點(diǎn).

做出模型的整體設(shè)計(jì)后,著手建立模型之前，撰寫一份工作提綱.

建議:二.做出假設(shè)

根據(jù)對(duì)象的特征和建模的目的對(duì)問題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語言做出假設(shè)，是建模的關(guān)鍵步驟。合理假設(shè)的作用

簡(jiǎn)化問題

明確問題

限定模型的適用范圍

一個(gè)實(shí)際問題不經(jīng)過簡(jiǎn)化假設(shè),很難抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。例2.4.2飛行管理問題中有敘述:“對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算（方向角誤差不超過0.01度）”如何理解？通過假設(shè)：

*所給飛行方向角數(shù)據(jù)的誤差不超過0.01度.

或*數(shù)據(jù)的運(yùn)算結(jié)果誤差限控制為0.01度.

使問題完全明確.

例2.4.3漁業(yè)管理問題中關(guān)于“季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖”,如何理解“產(chǎn)卵孵化期是一年的最后四個(gè)月”？有以下幾種假設(shè):

*產(chǎn)卵是均勻地分布在整個(gè)四個(gè)月的期間內(nèi)，從而孵化也是均勻進(jìn)行.

*產(chǎn)卵時(shí)間服從方差很小的正態(tài)分布.

*魚群的個(gè)體在后四個(gè)月的第一天集中產(chǎn)卵,在最后一天孵化出來.

哪一條“最好”？第三種與第二種沒有本質(zhì)的差別，處理較容易.分析：

第一種不符合魚類的生物學(xué)實(shí)際；第二種比較符合實(shí)際，但大大增加了解決問題的難度；假設(shè)起到簡(jiǎn)化問題的作用

假設(shè)“漁場(chǎng)是非開放式的,不與其它水域發(fā)生關(guān)系，從而構(gòu)成獨(dú)立的生態(tài)群落”

設(shè)計(jì)假設(shè)應(yīng)遵循的原則

*假設(shè)應(yīng)是有依據(jù)的,基于對(duì)問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)和對(duì)數(shù)據(jù)及現(xiàn)象的分析；

*善于辨別問題的主次，抓主要因素，盡量使問題簡(jiǎn)化.

*避免過于簡(jiǎn)單、過于詳細(xì)或不合理.

將建立的數(shù)學(xué)模型限定在一定的適用范圍.

例2.4.4

漁業(yè)管理問題中有條件：“平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×105個(gè),3齡魚的產(chǎn)卵量為這個(gè)數(shù)的一半,2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵”.分析:為了計(jì)算魚群的產(chǎn)卵量，需明確此條件.

有兩種假設(shè)：*雌雄魚的比例是1:1；

*“平均每條魚的產(chǎn)卵量”理解為對(duì)所有魚的平均,故在計(jì)算總產(chǎn)卵量時(shí),不考慮雌雄區(qū)別.哪一種較為合理？可假設(shè)：

*每到次年初，頭一年的1、2、3

齡魚均增1歲，將5齡魚歸并為4齡魚.問題：當(dāng)年的4齡魚,第二年如何處理？

合理性解釋：事實(shí)上，資料表明此種魚的壽命一般為3年，另一方面經(jīng)過捕撈后4齡魚的數(shù)量很少，可以忽略不計(jì).

對(duì)于假設(shè)：*有時(shí)需要對(duì)假設(shè)以及假設(shè)的推論進(jìn)行檢驗(yàn)；*應(yīng)意識(shí)到隱含的假設(shè).三.

現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)表達(dá)式繪圖法表格法數(shù)學(xué)解析式建立變量間的關(guān)系是建立數(shù)學(xué)模型的一項(xiàng)重點(diǎn)工作

三種形式可以相互轉(zhuǎn)換

翻譯能力：將變量間關(guān)系的中文語言描述轉(zhuǎn)化為教學(xué)表達(dá)式

例2.4.5

突然間下了20分鐘雨，收集到1/2英寸(約1.27厘米)的雨量?，F(xiàn)要建立一個(gè)函數(shù)R(t),用來描述降雨量隨時(shí)間變化的規(guī)律.

用中文語言描述數(shù)量現(xiàn)象往往是含混的.許多可能的選擇,譬如：

（1）假設(shè)雨連續(xù)穩(wěn)定地下落.可理解成降雨保持恒定速度，即,0≤t≤20

(2)降雨開始較慢,中間逐漸地加快,達(dá)到最大速度后又減小.

若假設(shè)降雨速度先線性增長(zhǎng)后又線性減小,得

線性降雨模型：

或考慮另一個(gè)降雨模型：

模型中有兩個(gè)待定參數(shù)a和b.

2.5求解數(shù)學(xué)模型求數(shù)學(xué)模型的解重要而困難求解純數(shù)學(xué)問題求解數(shù)學(xué)模型*涉及不同數(shù)學(xué)分支的知識(shí)，同時(shí)還需借助背景知識(shí).

*針對(duì)現(xiàn)實(shí)問題建立的數(shù)學(xué)模型,往往僅可求數(shù)值解.

*有類問題可采用分析法得到問題的實(shí)際解答(如微分方程定性分析).

例2.5.1．穩(wěn)定的椅子問題：

將一張四條腿一樣長(zhǎng)的椅子放在不平的地面上,問是否總能設(shè)法使它的四條腿同時(shí)著地？一、問題分析（1）椅子有四條腿，且每條椅腿長(zhǎng)度相同，四個(gè)椅腿的連線呈正方形，每個(gè)椅腿與地面的接觸處視為一個(gè)點(diǎn)，這樣，可以描述為：尋求四個(gè)點(diǎn)均在同一平面的方法。（2）椅子所處的地面雖不絕對(duì)平坦，但其高度應(yīng)是連續(xù)變化的，沿任何方向都不存在有間斷層面現(xiàn)象，這樣，地面就可以視為一個(gè)連續(xù)曲面，不會(huì)出現(xiàn)臺(tái)階式的地面，在這樣的地面上，椅子總能保證至少有三條腿著地。

以正方形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩條對(duì)角線分別為x軸，y軸，當(dāng)正方形繞著中心旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好表示椅子所處的位置，因而可以用旋轉(zhuǎn)角度來表示椅子在某一時(shí)刻的位置。

BB’A’CθA

C’DD’（3）用變量表示椅子的位置（4）用數(shù)學(xué)方法表示椅腳著地

當(dāng)某個(gè)椅腳與地面之間的垂直距離為零時(shí)，表示椅腳著地，因而可以用某個(gè)變量來表示椅腳與地面之間的垂直距離，而這個(gè)距離大小的不同就說明椅子在時(shí)刻t所處的位置，因而這個(gè)距離實(shí)質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)角度的函數(shù)。由于正方形的中心對(duì)稱性，只需設(shè)兩個(gè)距離函數(shù)即可。二、假設(shè)及符號(hào)：*1

地面為一個(gè)連續(xù)曲面，在Oxyz坐標(biāo)系中，設(shè)地面z=z(x,y)。*2

相對(duì)于地面的彎曲程度,方桌的腿足夠長(zhǎng).*3

將與地面的接觸看成幾何上的點(diǎn)接觸.*4

假設(shè)桌子繞中心O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)角度記為θ.*5引進(jìn)函數(shù)變量：f(θ)—A、C兩腿到地面的距離之和；g(θ)—B、D兩腿到地面的距離之和；且f(θ)、g(θ)都是連續(xù)函數(shù)。三、建立模型：進(jìn)一步分析：對(duì)任意的θ、f(θ)、g(θ)中至少有一個(gè)為0（即有兩條腿同時(shí)著地），且至少有三條腿總能同時(shí)著地，故有f(θ)g(θ)=0，θ∈[0，2π]

不妨設(shè)

f(0)=0、g(0)＞0

，椅子問題歸結(jié)為以下數(shù)學(xué)問題：

已知

f(θ)和

g(θ)都是連續(xù)函數(shù)；f(0)=0、g(0)＞0，且對(duì)任意θ，都有

f(θ)g(θ)=0，求證：存在θ0，使得f(θ0)=g(θ0)=0.

四、模型求解：當(dāng)θ=π/2時(shí),即AC和BD互換位置,

故有

f(π/2)＞0，g(π/2)=0令

h(θ)=f(θ)－g(θ)，則有h(0)＜0，h(π/2)＞0，因h(θ)在[0,π/2]上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在θ0∈[0,π/2]，使f(θ0)=g(θ0)因?qū)θ我猞扔?f(θ)g(θ)=0

f(θ0)g(θ0)=0f(θ0)=g(θ0)=0h(θ0)=f(θ0)－g(θ0)=0

結(jié)論對(duì)于四條腿等長(zhǎng),四腳呈正方形的椅子,在光滑地面上做原地旋轉(zhuǎn),在不大于π/2的角度內(nèi)，必能放平.延伸：四腳著地點(diǎn)呈任意矩形的椅子會(huì)怎樣？模型求解需要一定的技巧

例子中的建模及求解技巧：

1.用一元變量表示位置；2.用θ的函數(shù)表示距離；3.利用問題的背景條件來求解.建立坐標(biāo)一.近似求解

1.減少模型中變量個(gè)數(shù)初建立的模型往往包含許多變量，一些變量對(duì)最終結(jié)果的影響會(huì)大于其他變量的影響；減少模型中變量個(gè)數(shù),簡(jiǎn)化模型,便于求解

比較變量的數(shù)量級(jí),估計(jì)變量在模型中的作用與地位.用記號(hào)

x～O(1