5.1平面向量的概念及線性運算-高考復(fù)習(xí)

§5.1平面向量的概念及線性運算1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b與a共線，則存在實數(shù)λ使得b＝λa，對嗎？提示不對，因為當(dāng)a＝0，b≠0時，不存在λ滿足b＝λa.2．如何理解數(shù)乘向量？提示λa的大小為|λa|＝|λ||a|，方向要分類討論：當(dāng)λ>0時，λa與a同方向；當(dāng)λ<0時，λa與a反方向；當(dāng)λ＝0或a為零向量時，λa為零向量，方向不確定．3．如何理解共線向量定理？提示如果a＝λb，則a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，則一定存在唯一一個實數(shù)λ，使得a＝λb.題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。?√)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)．(√)(3)若a∥b，b∥c，則a∥c.(×)(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．(×)(5)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立．(√)(6)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反．(×)題組二教材改編2．[P86例4]已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)答案b－a－a－b解析如圖，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.3．[P108B組T5]在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD的形狀為________．答案矩形解析如圖，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|.由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形．題組三易錯自糾4．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．5．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝____________.答案eq\f(1,2)解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).6．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．答案eq\f(1,2)解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).題型一平面向量的概念1．給出下列命題：①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；③若A，B，C，D是不共線的四點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中真命題的序號是________．答案③解析①錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；②錯誤，若b＝0，則a與c不一定共線；③正確，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；④錯誤，當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；⑤錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．故填③.2．判斷下列四個命題：①若a∥b，則a＝b；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若|a|＝|b|，則a∥b；④若a＝b，則|a|＝|b|.其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案A解析只有④正確．思維升華向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度．(5)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線．題型二平面向量的線性運算命題點1向量加、減法的幾何意義例1(2017·全國Ⅱ)設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則()A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|答案A解析方法一∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故選A.方法二利用向量加法的平行四邊形法則．在?ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故選A.命題點2向量的線性運算例2(1)(2019·運城模擬)在平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．－eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bC．－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b答案C解析eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b，故選C.(2)(2018·全國Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析作出示意圖如圖所示．eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.命題點3根據(jù)向量線性運算求參數(shù)例3在銳角△ABC中，eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(x,y)＝________.答案3解析由題意得eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝3(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))，即4eq\o(AM,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，亦即eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4).故eq\f(x,y)＝3.思維升華平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法則．(2)求已知向量的和．共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．(3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值．跟蹤訓(xùn)練1(1)在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(5,12)b B.eq\f(1,3)a－eq\f(13,12)bC．－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b D．－eq\f(1,3)a＋eq\f(13,12)b答案C解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a－eq\f(5,12)b，故選C.(2)(2018·威海模擬)在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x－y＝________.答案2解析由題意得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y))eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,2)＋y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以x－y＝2.題型三共線定理的應(yīng)用例4設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．(1)證明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)解假設(shè)ka＋b與a＋kb共線，則存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.引申探究1．若將本例(1)中“eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b”改為“eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb”，則m為何值時，A，B，D三點共線？解eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即eq\o(BD,\s\up6(→))＝4a＋(m－3)b.若A，B，D三點共線，則存在實數(shù)λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→)).即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.故當(dāng)m＝7時，A，B，D三點共線．2．若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？解因為ka＋b與a＋kb反向共線，所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1，))所以k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故當(dāng)k＝－1時兩向量反向共線．思維升華(1)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時成立，則向量a，b不共線．跟蹤訓(xùn)練2已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.證明(1)若m＋n＝1，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))共線．又∵eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))有公共點B，則A，P，B三點共線．(2)若A，P，B三點共線，則存在實數(shù)λ，使eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→)).故有meq\o(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.∵O，A，B不共線，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.

1．對于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若a＋2b＝0，則a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，則a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．2．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線答案B解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線，由于eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))有公共點B，因此A，B，D三點共線，故選B.3.如圖，在正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC上的一個靠近點B的三等分點，那么eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案D解析在△CEF中，有eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)).因為點E為DC的中點，所以eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→)).因為點F為BC上的一個靠近點B的三等分點，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故選D.4．(2018·唐山模擬)在△ABC中，點G滿足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在點O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，則m－n等于()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))))，可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴m＝－eq\f(3,2)，n＝－eq\f(1,2)，m－n＝－1，故選D.5.如圖，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)－eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a＋b答案D解析連接OC，OD，CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均為邊長等于圓O半徑的等邊三角形，所以四邊形OACD為菱形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，故選D.6.如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)m的值為()A.eq\f(9,11) B.eq\f(5,11)C.eq\f(3,11) D.eq\f(2,11)答案B解析注意到N，P，B三點共線，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，從而m＋eq\f(6,11)＝1，所以m＝eq\f(5,11).7．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________.答案2eq\r(3)解析因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是邊長為2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).8．若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為________．答案直角三角形解析因為eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，△ABC為直角三角形．9．若M是△ABC的邊BC上的一點，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ的值為________．答案eq\f(3,4)解析由題設(shè)知eq\f(CM,MB)＝3，過M作MN∥AC交AB于N，則eq\f(MN,AC)＝eq\f(BN,BA)＝eq\f(BM,BC)＝eq\f(1,4)，從而eq\f(AN,AB)＝eq\f(3,4)，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(3,4).10．(2019·欽州質(zhì)檢)已知e1，e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點共線，則λ＝________.答案－4解析因為M，N，P三點共線，所以存在實數(shù)k使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝keq\o(NP,\s\up6(→))，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.11．如圖所示，設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，求△ABC與△AOC的面積之比．解取AC的中點D，連接OD，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，∴O是AC邊上的中線BD的中點，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC與△AOC面積之比為2∶1.12.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，BF與CD交于點O，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示向量eq\o(AO,\s\up6(→)).解方法一由D，O，C三點共線，可設(shè)eq\o(DO,\s\up6(→))＝k1eq\o(DC,\s\up6(→))＝k1(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,2)k1a＋k1b(k1為實數(shù))，同理，可設(shè)eq\o(BO,\s\up6(→))＝k2eq\o(BF,\s\up6(→))＝k2(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a))＝－k2a＋eq\f(1,2)k2b(k2為實數(shù))，①又eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)k1a＋k1b))＝－eq\f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，②所以由①②，得－k2a＋eq\f(1,2)k2b＝－eq\f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，即eq\f(1,2)(1＋k1－2k2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k2－k1))b＝0.又a，b不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)1＋k1－2k2＝0，,\f(1,2)k2－k1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝\f(1,3)，,k2＝\f(2,3).))所以eq\o(BO,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b))＝eq\f(1,3)(a＋b)．方法二延長AO交BC于點E，O為△ABC的重心，則E為BC的中點，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)．13．如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，則λ2＋μ2等于()A.eq\f(5,8)B.eq\f(1,4)C．1D.eq\f(5,16)答案A解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(e