高中數(shù)學(xué)第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用53

三十七極大值與極小值

I基礎(chǔ)通關(guān)?(15分鐘30分)

1,下列關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的是()

A.導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)

B.函數(shù)的極小值一定小于它的極大值

C.函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值

D.若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a,b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)

【解析】選D.由極值的概念可知只有D正確.

2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x),且函數(shù)y=(1-x>F(x)的圖象如圖所示，則下列

結(jié)論中一定成立的是()

A.函數(shù)f(x)有極大值f⑵和極小值f⑴

B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(l)

C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)

D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)

【解析】選D.由圖可知，當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)-2<x<l時(shí)，f(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，

f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0.由此可以得到函數(shù)在x=-2處取得極大值，在x=2處取得極

小值.

教師

專用【補(bǔ)償訓(xùn)練】

函數(shù)f(X)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.；為f(x)的極大值點(diǎn)

B.-2為f(x)的極大值點(diǎn)

C.2為f(x)的極大值點(diǎn)

4

D.5為f(x)的極小值點(diǎn)

【解析】選A.對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)-2<x<g時(shí)，f(x)>0,當(dāng)；<x<2時(shí)，f(x)<0,；為f(x)

的極大值點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)x<-2時(shí)，式x)<0,當(dāng)-2<x4時(shí)，f(x)>0,

-2為f(x)的極小值點(diǎn)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng);<x<2時(shí)，F(xiàn)(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)，

f(x)>0,2為f(x)的極小值點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，由于函數(shù)y=f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，

且ND<0，所以,不是長幻的極值點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

3.已知函數(shù)f(x)=2x3+ax?+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是()

A.(2,3)

B.(3,+oo)

C.(2,+oo)

D.(-8,3)

【解析】選B.因?yàn)閒(x)=6x2+2ax+36,且在x=2處有極值，所以f(2)=0,即24+4a+36

2

=0za=-15,所以f(x)=6x-30x+36=6(x-2)(x-3),由P(x)>0得x<2或x>3.

_x

4.已知函數(shù)f(x)=2ef(e)lnx--,貝!|函數(shù)f(x)的極大值為

2ef(e)i2ef(e)i

【解析】f(x)=-------------，故f(e)=-------------

iv21

解得f(e)=［，所以f(x)=21nx,f(x)=---.

由P(x)>0得0<x<2e,由f(x)<0彳導(dǎo)x>2e.

所以函數(shù)f(x)在(0,2e)單調(diào)遞增，在(2e,+功單調(diào)遞減，

故f(x)的極大值為f(2e)=21n2e-2=21n2.

答案：21n2

5.已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1.

⑴求a,b的值；

⑵求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】⑴因?yàn)閒(x)=3x2_6ax+2b,函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值T,所

以f(l)=-1,f(l)=0,所以1-3a+2b=-1,3-6a+2b=0,

解得a=|,b=,所以f(x)=x3-x2-x.

(2)因?yàn)閒(x)=3x2-2x-1,

所以由f(x)=3x2-2x-1>0,

得oo,-￡)或(1,+oo),

由f(x)=3x2-2x-l<(^^xe(-g,l),

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,，(1，+°°)，減區(qū)間為(-g，1).

教師

專用

已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4.

⑴求a,b的值；

⑵討論f(x)的單調(diào)性,并求f(x)的極大值.

【解析】(l)f(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4

=ex(ax+a+b)-2x-4,f(0)=a+b-4=4,①

又f(0)=b=4,②

由①②可得a=b=4.

(2)f(x)=ex(4x+4)-x2-4x,

貝(If(x)=ex(4x+8)-2x-4=4ex(x+2)-2(x+2)

=(x+2)(4ex-2).令P(x)=0,得xi=-2,X2=-In2,當(dāng)x變化時(shí),F(x)與f(x)的變化情況如

表：

(—8,(2?(—In2,

X—2—In2

-2)-In2)+00)

/(])+0—0+

f(l)極大極小

f(x)在(-8,-2),(-In2,+co)上單調(diào)遞增,

在(-2,-In2)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值,

極大值為f(-2)=4(1-e-2).

國I能力進(jìn)階?(30分鐘60分)

一、單選題(每小題5分，共20分)

1.(2021.鹽城高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)P(x)的圖象如圖，若f(x)在x=xo處有極值，則

xo的值為()

A.-3B.0C.3D.7

【解析】選B.從P(x)的圖象可以看出f(x)在(-5,0)上單調(diào)遞增，在(0,7)上單調(diào)遞減，所以

f(x)在x=0處有極大值.

2.已知函數(shù)f(x)=x3+ax?+bx-a?-7a在x=1處取得極大值10，則￡的值為()

A.-§B.-2

2

C.-2或-wD.不存在

【解析】選A.因?yàn)镕(x)=3x?+2ax+b且f(x)在x=1處取得極大值10,所以「⑴=3+2a+b

=0,

f(l)=l+a+b-a2-7a=10,所以a2+8a+12=0,

所以a=-2,b=1aga=-6,b=9.

a=-2,b=l時(shí)，f(x)=3x2-4x+1=(3x-l)(x-1).當(dāng)§<x<1時(shí)，f(x)<0,當(dāng)x>1時(shí)，

F(x)>0,所以f(x)在x=1處取得極小值，與題意不符.

當(dāng)@=-6,b=9時(shí)，f(x)=3x2-i2x+9=3(x-l)(x-3)；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>0,當(dāng)1<x<3

時(shí),f(x)<0,所以f(x)在x=1處取得極大值，符合題意；

所編=4=1-

3.已知函數(shù)f(x)=-*3+笳-4在*=2處取得極值，若m,nd[-1,1],則f(m)+f(n)的最

小值是()

A.-13B,-15C.10D.15

【解析】選A.對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f(X)=-3x2+2ax,

由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知P(2)=0,

即-3x4+2ax2=0,所以a=3.

由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f(x)=-3x2+6x,

易知f(x)在［-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)m￡[-1,1]時(shí),f(m)min=f(0)=-4.

又因?yàn)閒(x)=-3x2+6x的圖象開口向下，

且對(duì)稱軸為x=1,所以當(dāng)n￡[-1,1]時(shí),

?(n)min=？(T)=-9,

故f(m)+?(n)的最小值為-13.

教師

專用

函數(shù)f(x)=：x?+(a-l)x-alnx沒有極值，則()

A.a=-1B.a>0

C.a<-1D.-1<a<0

【解析】選Af(x)=(x-1)(1+1),x>0,

當(dāng)aNO時(shí)，2+1>0,令f(x)<0,得0<x<1；

令f(x)>0,得x>Lf(x)在x=1處取極小值.

當(dāng)a<0時(shí)，方程1+1=0必有一個(gè)正數(shù)解*=-a,

2

一、(x-1).....................

①若a=-1,此正數(shù)解為x=1,此時(shí)f(x)=->0,f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，無極

X

值.

②若時(shí)-1,此正數(shù)解為x?l,P(x)=0必有2個(gè)不同的正數(shù)解，如圖，則f(x)存在2個(gè)極值.綜

上，a=-1.

4.函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)內(nèi)有且只有一個(gè)極小值，則()

A.0<b<lB.b<l

C.b>0D.b<；

f(0)<0,f-3b<0z

【解析】選A.f(x)=3x2.3b，要使f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，則即<

f(1)>0,〔3-3b>0,

解得0<b<1.

二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)

5.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示則下面結(jié)論正確的是()

A.在(1,2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù)

B.在(3,4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù)

C.在(1,3)上函數(shù)f(x)有極大值

D.x=3是函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,5］上的極小值點(diǎn)

【解析】選ABC.由圖可知，當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)>0,

當(dāng)2Vx<4時(shí)，f(x)<0,當(dāng)4Vx<5時(shí)，f(x)>0,

所以x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x=4是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，故A,B,C正確，D錯(cuò)誤.

6.對(duì)于函數(shù)f(x)=x3-3x2,給出選項(xiàng)中正確的是()

A.f(x)是增函數(shù)，無極值

B.f(x)是減函數(shù)，無極值

c.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0),(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)

D.f(0)=0是極大值，f(2)=-4是極小值

【解析】選CD.f(x)=3x2-6x.

令F(x)=3x2-6x>0,彳導(dǎo)x>2或x<0；

令f(x)=3x2-6x<0,得0<X<2,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-00,0)和(2,+oo)上單調(diào)遞增,在

區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x=0和x=2時(shí)，函數(shù)分別取得極大值0和極小值-4.

三、填空題(每小題5分，共10分)

2

7.已知曲線f(x)=x3+ax2+bx+l在點(diǎn)(1,f(l))處的切線斜率為3,且x=§是y=f(x)的極值

點(diǎn)，貝！Ja+b=.

【解析】因?yàn)閒(x)=3x2+2ax+b,

f(1)=3,

3+2a+b=3,

即,44

§+§a+b=O.

角軍得a=2,b=-4,所以a+b=2-4=-2.

答案：-2

8.已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)=xInx-ax?+x有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【解析】f(x)=Inx+2-2ax,函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則P(x)有兩個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=Inx與

函數(shù)y=2ax-2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)兩函數(shù)圖象相切時(shí)，

_____e

要使函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則0<2a<e即0<a<].

答案：0<a4

四、解答題(每小題10分，共20分)

9.函數(shù)y=x3+ax2+bx+c的圖象如圖所示,且與y=0在原點(diǎn)相切,若函數(shù)的極小值為-4.

⑴求a,b,c的值；

⑵求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【解析】⑴因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),易得c=0.

又圖象與x軸相切于點(diǎn)(0,0),且y'=3x2+2ax+b,

故0=3x02+2ax0+b,解得b=0.

所以y=x3+ax2，則y'=3x2+2ax.

2

令y'=0,解得x=0aEx=-ga,

2_..

即*=0和*=-]a是極值點(diǎn).

由圖象知函數(shù)在x=0處取極大值，

2

故在x=-ga處取極小值.

當(dāng)x=Ja時(shí)，函數(shù)有極小值-4,

整理得a3=-27,解得a=-3.

故2=-3,b=0,c=0.

⑵由(1)得y=x3-3x2,貝!]丫,=3x2-6x,

令yr<0,即3x2_6x<0,

解得0<x<2,

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).

10.設(shè)函數(shù)f(x)=-1X3+X2+(m2-l)x(xeR),其中m>0.

⑴當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(l))處的切線的斜率；

⑵求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

【解析】⑴當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=-|x3+x2,

f(x)=-X?+2x,故f(l)=1.

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(l))處的切線的斜率為1.

(2)f(x)=-x2+2x+m2-1.

令P(x)=0,角單彳導(dǎo)x=l-m或x=l+m.

因?yàn)閙>0,所以1+m>l-m.

當(dāng)X變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如表：

(一8,(1-DI.(1+m,

X1—m1+

1一］)1))+。'：)

/'(1)—0+0—

/(支)4/(1-))1)/(1+M4

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,1-m),(1+m,+00),單調(diào)遞增區(qū)間為(1-m,1+m).

函數(shù)f(x)在x=1-m處取得極小值f(l-m),

21

且f(l-m)=-m3+m2-.

函數(shù)f(x)在x=1+m處取得極大值f(1+m),

21

且f(l+m)=§m3+m2-.

國創(chuàng)新遷移》

1.若x=2是函數(shù)f(x)=x(x-m)2的極大值點(diǎn)，求函數(shù)f(x)的極大值.

【解析】因?yàn)镕(x)=(x-m)(3x-m),且f(2)=0,

所以(2-m)(6-m)=0,即m=2或m=6.

⑴當(dāng)m=2時(shí),f(x)=(x-2)(3x-2),

2

由f(x)>0得x<§或x>2；

由f(x)<0得,<x<2.

所以x=2是f(x)的極小值點(diǎn)，不合題意，故m=2舍去.

(2)當(dāng)m=6時(shí),f(x)=(x-6)(3x-6),

由P(x)>0得x<2或x>6；由f(x)<0得2<x<6.所以x=2是f(x)的極大值，所以f(2)=2x(2

-6)2=32.

即函數(shù)f(x)的極大值為32.

2.(2021.鹽城高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=ex(x2-ax+a2-3a+1)在x=xi和x=X2時(shí)取極值，且

X1<X2.

(1)已知Xi=-2,求X2的值；

⑵已知xi+X2<0,求f(Xl>f(X2)的取值范圍.

【解析]⑴因?yàn)閒(x)=ex(x2-ax+a2-3a+1),

所以f(x)=ex[x2+(2-a)x+a2-4a+1],

因?yàn)閒(x)在x=Xi和x=X2時(shí)取極值，

所以f(Xl)=P(X2)=0,

所以Xi,X2是x2+(2-a)x+a2-4a+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根,

所以Xi+X2=-2+x2=a