任意角和弧度制 講義（知識點 考點 練習）人教A版（2019）高一數(shù)學必修第一冊

5.1任意角和弧度制

一、任意角

1.角的概念：

角可以看成平面內一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.

2.角的表示：

如圖所示：角a可記為或“Na"或"NA08”,始邊:QA,終邊:QB,頂點Q.

OA

3.角的分類:

名稱定義圖示

一條射線繞其端點按逆時針方

正角

向旋轉形成的角

一條射線繞其端點按蛔鈦方

負角

向旋轉形成的角

一條射線沒有做任何旋轉形成

零角0*--------48)

的角

二、角的加法與減法

設a,4是任意兩個角，二^為角a的相反角.

(Da+夕：把角a的終邊旋轉角6.

(2)a-[iza_6=a+(—8).

三、象限角

把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合,角的始邊與X軸的非負半

軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊

在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限.

思考“銳角”"第一象限角”“小于90。的角”三者有何不同？

四、終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合S=4W=a+k360。,

k^Z],即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

思考終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？

五、度量角的兩種制度

定義用度作為單位來度量角的單位制

角度

1度的角等于周角的表

制1度的角

弧度定義以弧度作為單位來度量角的單位制

制1弧度的角長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角

六、弧度數(shù)的計算

思考比值j與所取的圓的半徑大小是否有關?

七、角度與弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

360°=2Krad2兀rad=360°

180。=匹rad7trad=180°

71H80A

1°—rad-0.01745rad1rad=l_^_l°s57.30o

1QOUn

度數(shù)晟TT尸弧度數(shù)弧度數(shù)x(祟)。=度數(shù)

1OU

八、弧度制下的弧長與扇形面積公式

設扇形的半徑為R,弧長為/,以0*<2兀)為其圓心角，則

(1)弧長公式：l=aR.

(2)扇形面積公式：S=^lR-^aR2.

思考扇形的面積公式與哪個平面圖形的面積公式類似？對應的圖形是否也類

似？

考點一基本概念的辨析

【例1】（2020.全國高一課時練習）下列說法正確的是（）

A.終邊相同的角一定相等B.鈍角一定是第二象限角

C.第四象限角一定是負角D.小于90。的角都是銳角

【練1】（2020?浙江高一課時練習）下列命題中正確的是（）.

A.第一象限角一定不是負角B.小于90。的角一定是銳角

C.鈍角一定是第二象限角D.終邊和始邊都相同的角一定相等

考點二角度與弧度的轉換

【例2】（202。全國高一課時練習）把下列角度化成弧度：

（1）36°；（2）-150°;（3）1095°;（4）1440°.

【練2】（2019?伊美區(qū)第二中學高一月考）-300化為弧度是（）

【例3】（2020.全國高一課時練習）把下列各角度化為弧度,并寫成。-2%的角加

上2br（/:eZ）的形式.

（1）-64°；

（2）400°；

⑶一722°3()’

【練3】（2020.浙江高一課時練習）與405。角終邊相同的角是（）.

A.-45°+k-36Q\keZB.—405°+h360°,keZ

C.45°+k-36（）,keZD.45°+左」80°,左eZ

考點四象限的判斷

乃

【例4】（2020.周口市中英文學校高一期中）角*29的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【練4】（2020.廣東高一期末）下列各角中，與2019。終邊相同的角為（）

A.41°B.129°C.219°D.-231°

考點五扇形

【例5】（2020?遼寧沈陽?高一期中）一個半徑是R的扇形，其周長為3R,則該扇

形圓心角的弧度數(shù)為（）

兀

A.1B.3C.乃D.-

3

【練5】（2020.山東濰坊.高一期末）已知某扇形的半徑為4cm,圓心角為2%/,

則此扇形的面積為（）

A.32cm2B.16cm2C.8cm2D.4cm2

課后習題

1.（2021高二下?江西月考）屏風文化在我國源遠流長，可追溯到漢代.某屏風

工藝廠設計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為2.4m,

內環(huán)弧長為0.6m,徑長（外環(huán)半徑與內環(huán)半徑之差）為0.9m,若不計外

框，則扇環(huán)內需要進行工藝制作的面積的估計值為（）

A.1.20m2B.1.25m2C.1.35m2

D.1.40m2

2.（2021高一下?南通期末）英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

357

sinx=%——+-———+?-?,其中川=1x2x3x4x…x

3!5!7!

n.根據(jù)該公式可知，與T的值最接近的是

（）

A.cos57.3

B.cosl47.3

C.sin57.3°

D.sin（-32.7°）

3.（2021?湛江模擬）已知圓錐的軸截面是邊長為8的等邊三角形，則該圓錐

的側面積是（）

A.64nB.48nC.32n

D.16n

4.（2020高一上?東莞期末）圓心角為1弧度的扇形弧長為V2，則扇形的面

積為（）

A.2&B.2C.V2

D.1

5.（2020高二上?柯橋期末）已知圓錐的側面展開圖是圓心角為y,半徑為

1的扇形，則圓錐的底面半徑為，體積為.

6.（2021高一下?奉賢期中）一個扇形半徑是2,圓心角的弧度數(shù)是3,則此

扇形的面積是一

7.（2021?寶山模擬）已知圓錐的底面半徑為1,高為V3，則該圓錐側面展

開圖的圓心角e的大小為.

8.（2020高一上?福建期末）若圓心角為的扇形的弧長為n,則該扇形面

積為.

9.（2021高二上?官渡開學考）給出下列命題：

⑴設角a的始邊為%軸非負半軸，則"角a的終邊在第二、三象限”是

"cosa<0"的充要條件；

⑵若函數(shù)：y=2sin3x+今T的最小正周期為I；那么實數(shù)3=4；

⑶若一扇形的圓心角為2,圓心角所對的弦長為2,則此扇形的面積為：

1

sin2l；

⑷若A,B,C為AABC的三個內角，則：:+念的最小值為：I;

其中正確的命題是

10.（2021?榆林模擬）《九章算術》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》一

章給出了弧田（由圓弧和其所對弦所圍成）面積的計算公式：弧田面積=

［（弦x矢+矢2）.公式中“弦”指圓弧所對弦長，"矢"等于圓弧的

最高點到弦的距離.如圖，弧田是由圓弧”和其所對弦AB圍成的圖

形，若弧田的弧和長為號，弧所在的圓的半徑為4,則利用九章算術

中的弧田面積公式計算出來的面積與實際面積之差為一.

11.（2020高一上?如皋期末）已知扇形的面積為g，弧長為g，設其圓心角

66

為a

（1）求a的弧度;

/c、4cos(-+a)sin(-7T-a)

⑵求—備-----行—的值.

cos(---a)sin(—+a)

12.（2020高一上?貴港期末）已知e為第三象限角，則（）

A.sin20>0B.COS(TT+0)<0C.tan。<0

D.sin(7T-0)>0

13.（2020高一上?寧波期末）如圖所示，摩天輪的半徑為50m,最高點距離

地面高度為110m,摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個座艙，并且運行

時按逆時針勻速旋轉，轉一周大約需要12min.甲，乙兩游客分別坐在

P,Q兩個座艙里，且他們之間間隔2個座艙（本題中將座艙視為圓周上

的點）.

（1）求劣弧PQ的弧長I（單位：m）；

（2）設游客丙從最低點M處進艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為

Hm,求在轉動一周的過程中，H關于時間t的函數(shù)解析式；

（3）若游客在距離地面至少85m的高度能夠獲得最佳視覺效果，請問摩天輪

轉動一周能有多長時間使甲，乙兩位游客都有最佳視覺效果.

14.（2020高一上?望城期末）如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=2,圓心角

/POQ=g,B是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形.記

ZBOC=a,求當角a取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個

最大值.

精講答案

思考

答案銳角是第一象限角也是小于90。的角，而第一象限角可以是銳角，也可以

是大于360。的角，還可以是負角，小于90°的角可以是銳角，也可以是零角或負

角.

思考

答終邊相同的角不一定相等，它們相差360。的整數(shù)倍：相等的角終邊相同.

思考

答案一定大小的圓心角a所對應的弧長與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大

小無關.

思考

答案扇形的面積公式與三角形的面積公式類似.實際上，扇形可看作是一曲邊

三角形，弧是底，半徑是底上的高.

【例1】

【答案】B

【解析】終邊相同的角不一定相等，所以該選項錯誤；

鈍角一定是第二象限角，所以該選項正確；

第四象限角不一定是負角，如2乃是第四象限的角，但是不是負角，所以該選

O

項錯誤；

TT

小于90。的角不都是銳角，如.所以該選項錯誤.故選B

【練1】

【答案】c

【解析】-300°為第一象限角且為負角，故A錯誤；-5()。＜90。，但-50°不是銳

角，故B錯誤；終邊與始邊均相同的角不一定相等，它們可以相差

h360°,左eZ,故D錯誤.鈍角一定是第二象限角，C正確.

故選：C.

【例2】

【答案】(1)^(2)-穿(3)與『(4)8萬

jo12

【解析】⑴36。喘囁⑵一5。。喘=-浮附095。,盍=等；(4)

71

1440°x—=8^-.

180

【練2】

【答案】B

-300=—物x2;r=-紅

【解析】

3603

【例3】

74萬2萬143

【答案】(1)一2%;(2)—+2^;(3)-6^-+—

45

16萬74萬

【解析1(1)—64-2萬；

4545

202%-

(2)400°——n=——+2%;

99

144571289,143

(3)-722°30'=-722.5°----X---=-----71=-6萬H----71

21807272

【練3】

【答案】C

【解析】由于405°=360°+45°,故與405。終邊相同的角應為

45°+h360",左eZ.故選：C

【例4】

【答案】A

【解析】因為背=2乃+若，角曾是第一象限角，所以角芍的終邊所在的

象限是第一象限.

故選A.

【練4】

【答案】C

【解析】因為2019°=5x360+219°,所以219。與2019。終邊相同.故選:C.

【例5】

【答案】A

【解析】設扇形的弧長為/，則2R+/=3R,得/=/?,則扇形圓心角的弧度數(shù)

為g=1.故選：A.

R

【練5】

【答案】B

【解析】由題意，某扇形的半徑為4cm,圓心角為

根據(jù)扇形的面積公式，可得S產=1x2x42=16cm2所以此扇形的面積為

22

16c/?故選：B.

練習答案

1.【答案】C

【考點】扇形的弧長與面積

【解析】【解答】設扇環(huán)的圓心角為a,內環(huán)半徑為■,外環(huán)半徑為r2,

則/2—ri=0.9，

由題意可知，arx=0.6,ar2=2.4,所以。(4+七)=3,

所以扇環(huán)內需要進行工藝制作的面積的估計值為S=|a(r2-r2)=|a(ri+

2

r2)(r2-rj=|x3x0.9=1.35m.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意把數(shù)學問題轉化為數(shù)學問題，結合圓心角公式以及扇形的面

積公式代入數(shù)值計算出結果即可。

2.【答案】B

【考點】弧度制、角度制及其之間的換算，運用誘導公式化簡求值

【解析】原式=sin(-l)?sin(-57.3°)=sin(90°-147.3°)=

cosl47.3°o

故答案為：B

357

【分析】利用sinx=%—-+-———+…，其中n!=lx2x3x4x-x

3!5!7!

n,從而結合弧度與角度的互化公式和誘導公式，從而求出與-1+(-/+

^―?的值最接近的選項。

3.【答案】C

【考點】扇形的弧長與面積

【解析】由題意可得，圓錐底面直徑為，8半徑為4,母線長為8,

圓錐的側面展開圖是扇形，半徑為母線8,弧長為圓錐底面周長［=271X4=

87r

扇形面積為：S=I-8TT,8=32兀

故答案為：C

【分析】利用圓錐的軸截面可以求出圓錐的底面半徑，從而求出底面周長，利

用側面積公式求解即可.

4.【答案】D

【考點】扇形的弧長與面積

【解析】由弧長公式可知l=l-r=^2，

所以S=^/r=|xV2xV2=l,

故答案為：D

【分析】首先由弧長公式計算出半徑的值，再把數(shù)值代入到扇形的面積公式計

算出結果即可。

5.【答案】A；逑兀

381

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，扇形的弧長與面積

【解析】設圓錐底面半徑為r，則2b=與xl,r=1,

又圓錐母線長為1=1,故高為h==小2_(}2=手，

體積為V=-nr2A=-Jrx(-)2x—=—n.

3313，381

故答案為：5;也兀.

【分析】根據(jù)題意結合圓心角公式以及勾股定理即可求出圓錐底面半徑以及圓

錐的高線，再把數(shù)值代入到圓錐的體積公式計算出結果即可。

6.【答案】6

【考點】扇形的弧長與面積

【解析】由扇形面積公式S=1ar可得，S=|ar2=ix3x22=6

【分析】由扇形面積公式S=(aN直接求得。

7.【答案】n

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積，扇形的弧長與面積

【解析】圓錐的底面半徑為1,高為V3，則圓錐的母線長為卜+（圾2=

2,

即展開后所得扇形的半徑為2,

圓錐底面圓的周長l=2n即為展開后所得扇形的弧長，

所以根據(jù)弧長公式可知2兀=2。，

解得0=n

故答案為：n

【分析】根據(jù)圓錐的截面由勾股定理計算出母線的值，再由弧長公式計算出結

果即可。

8.【答案】

【考點】扇形的弧長與面積

【解析】設弧長為I,半徑為R,e為圓心角，所以夫=《=看=3,

3

由扇形面積公式得5=押=7-3=等。

故答案為：學。

【分析】利用已知條件結合弧長公式，進而求出扇形所對的圓心角，再利用扇

形面積公式，進而求出該扇形的面積。

9.【答案】（3）（4）

【考點】基本不等式，扇形的弧長與面積，三角函數(shù)值的符號，正弦函數(shù)的周

期性

【解析】因為角a的始邊為x軸非負半軸，若角a的終邊在第二、三象限，

則角a為第二、三象限角，所以cosa<0;若cosa<0,則角a的終邊在

第二、三象限或者在x軸的非正半軸上，故“角a的終邊在第二、三象限”是

cosa<0"的充分不必要條件，故⑴錯誤；

因為函數(shù)：y=2sin（3x+$—l的最小正周期為；則含=>解得實數(shù)

0）=±4；故（2）錯誤；

因為扇形的圓心角為2,圓心角所對的弦長為2,所以扇形的半徑為：r=

2

，弧長為2*二7=告，所以此扇形的面積為|x-Arx-Ar=-rr，故

smlsinlsml2smlsinlsmzl

（3）正確；

因為A,B,C為AABC的三個內角，所以A+B+C=n,令a=

A,0=B+C,則a+P=7i,有—=1,所以:+擊=￡+]=（￡+》x

1=（，產

'an

=-g+^+5）>--（2降至+5）=2,當且僅當苴=?，即a=2/?時取

等號，故⑷正確.

故答案為：（3）（4）.

【分析】利用象限角的定義以及三角函數(shù)在各個象限符號的判定分析選項

（1）;利用三角函數(shù)的周期公式分析選項（2）；利用扇形的弧長公式以及面積公式

分析選項（3）；利用三角形的內角和公式，再運用換元法結合基本不等式求最值分

析選項（4）,即可得到答案.

10.【答案】8百+2-等

【考點】扇形的弧長與面積

【解析】設圓弧所對圓心角的弧度為a,由題可知ax4=^，解得

2n

a=-,

故扇形AOB的面積為；X^X4=^TT,三角形AOB的面積為|xsin^x

42=48，故弧田實際的面積為-1--4V3.

作0D1AB分別交AB,AB于點D,C,則AB=4b，0D=2,

所以利用九章算術中的弧田面積公式計算出來的面積為|X（4V3X2+22）=

48+2，

則所求差值為（4V3+2）-4A③=8於+2-等.

故答案為：8怖+2一等.

【分析】據(jù)題意作出圖形，結合圖形利用直角三角形的邊角關系求出矢和弦的

1L【答案】（1）解：設扇形的半徑為r,則ar=g,所以r=￡.

OOU

1n7Tn

由S=可得-X—X-=-

26a66

解得a=J2-

cos(^+a)sin(-7T-a)

(2)解:-sinasina=tana.

cos(等一a)sin(等+Q)-sinacosa

nn

tan--tan-

tan^=tan(1-^)=___s4=2—V3.

~~__7r~7f-1+V3

1+tan3-tan4-

【考點】扇形的弧長與面積，運用誘導公式化簡求值

【解析】（1）利用已知條件結合扇形的面積公式，從而求出圓心角a的弧

度。

（2）利用誘導公式結合同角三角函數(shù)基本關系式，從而化簡求出

cos(^+a)sin(-7r-a)

"1171、./97T,~r刖恒°

cos(---a)sin(—+a)

12.【答案】A

【考點】象限角、軸線角，三角函數(shù)值的符號

【解析】【解答】因為e為第三象限角，所以sin0<0,cose<0,

tan。>0,sin26=2sin0cos0>0,cos(zr+9)=-cos0>0,sin(7r—

0)=sin。<0,A符合題意；

故答案為：A

【分析】先由0為第三象限角，判斷出sin。<0,cos0<0,tan。>

0,然后逐項進行判斷，可得答案。

13.【答案】(1)解：因為摩天輪的圓周上均勻地安裝著24個座艙，

故每個座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為篝=5，

故［=2x^x5。=等⑺)

(2)解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則M(0,-85).

轉動tmin