2017年第二十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷(小高組)

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2017年第二十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷（小高組）一、選擇題（每小題10分，共60分.以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將表示正確答案的英文字母寫(xiě)在每題的圓括號(hào)內(nèi).）1．（10分）兩個(gè)有限小數(shù)的整數(shù)部分分別是7和10，那么這兩個(gè)有限小數(shù)的積的整數(shù)部分有種可能的取值．A．16 B．17 C．18 D．192．（10分）小明家距學(xué)校，乘地鐵需要30分鐘，乘公交車需要50分鐘．某天小明因故先乘地鐵，再換乘公交車，用了40分鐘到達(dá)學(xué)校，其中換乘過(guò)程用了6分鐘，那么這天小明乘坐公交車用了分鐘．A．6 B．8 C．10 D．123．（10分）將長(zhǎng)方形對(duì)角線平均分成12段，連接成如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)部空白部分面積總和是10平方厘米，那么陰影部分面積總和是平方厘米．A．14 B．16 C．18 D．204．（10分）請(qǐng)?jiān)趫D中的每個(gè)方框中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得乘法豎式成立．那么乘積是A．2986 B．2858 C．2672 D．27545．（10分）在序列中，從第5個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都是前面4個(gè)數(shù)字和的個(gè)位數(shù)，這樣的序列可以一直寫(xiě)下去．那么從第5個(gè)數(shù)字開(kāi)始，該序列中一定不會(huì)出現(xiàn)的數(shù)組是A．8615 B．2016 C．4023 D．20176．（10分）從0至9中選擇四個(gè)不同的數(shù)字分別填入方框中的四個(gè)括號(hào)中，共有種填法使得方框中話是正確的．這句話里有個(gè)數(shù)大于1，有個(gè)數(shù)大于2，有個(gè)數(shù)大于3，有個(gè)數(shù)大于4．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（每小題10分，共40分）7．（10分）若，那么的值是．8．（10分）如圖中，“華羅庚金杯”五個(gè)漢字分別代表這五個(gè)不同的數(shù)字．將各線段兩端點(diǎn)的數(shù)字相加得到五個(gè)和，共有種情況使得這五個(gè)和恰為五個(gè)連續(xù)自然數(shù)．9．（10分）如圖中，是平行四邊形，為的中點(diǎn)，和的交點(diǎn)為，和的交點(diǎn)為，和的交點(diǎn)為，四邊形的面積是15平方厘米，則的面積是平方厘米．10．（10分）若2017，1029與725除以的余數(shù)均為，那么的最大值是．

2017年第二十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽試卷（小高組）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題10分，共60分.以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將表示正確答案的英文字母寫(xiě)在每題的圓括號(hào)內(nèi).）1．（10分）兩個(gè)有限小數(shù)的整數(shù)部分分別是7和10，那么這兩個(gè)有限小數(shù)的積的整數(shù)部分有種可能的取值．A．16 B．17 C．18 D．19【分析】?jī)蓚€(gè)小數(shù)的整數(shù)部分分別是7和10，那么這兩個(gè)小數(shù)的積的整數(shù)部分最小是；這兩個(gè)小數(shù)的積的整數(shù)部分最大不超過(guò)，所以，這兩個(gè)小數(shù)的積的整數(shù)部分在70與88之間，包括70，單不包括88，共有18種可能，據(jù)此解答．【解答】解：根據(jù)題意與分析：這兩個(gè)小數(shù)的積的整數(shù)部分最小是；這兩個(gè)小數(shù)的積的整數(shù)部分最大不超過(guò)；所以，這兩個(gè)小數(shù)的積的整數(shù)部分在70與88之間，包括70，但不包括88，共有：種可能；答：這兩個(gè)有限小數(shù)的積的整數(shù)部分有18種可能的取值．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是求出這兩個(gè)小數(shù)的積的整數(shù)部分的取值范圍，然后再進(jìn)一步解答．2．（10分）小明家距學(xué)校，乘地鐵需要30分鐘，乘公交車需要50分鐘．某天小明因故先乘地鐵，再換乘公交車，用了40分鐘到達(dá)學(xué)校，其中換乘過(guò)程用了6分鐘，那么這天小明乘坐公交車用了分鐘．A．6 B．8 C．10 D．12【分析】總共用時(shí)是40，去掉換乘6分鐘．分鐘．地鐵是30分鐘，客車是50分鐘，實(shí)際是34分鐘，根據(jù)時(shí)間差，比例份數(shù)法即可．【解答】解：乘車時(shí)間是分，假設(shè)全是地鐵是30分鐘，時(shí)間差是分鐘，需要調(diào)整到公交推遲4分鐘，地鐵和公交的時(shí)間比是，設(shè)地鐵時(shí)間是3份，公交是5份時(shí)間，，公交時(shí)間為分鐘．故選：．【點(diǎn)評(píng)】工程問(wèn)題結(jié)合比例關(guān)系是常見(jiàn)的典型問(wèn)題，份數(shù)法是奧數(shù)中常見(jiàn)的思想，很多題型都可以用．求出單位份數(shù)量即可解決問(wèn)題．3．（10分）將長(zhǎng)方形對(duì)角線平均分成12段，連接成如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)部空白部分面積總和是10平方厘米，那么陰影部分面積總和是平方厘米．A．14 B．16 C．18 D．20【分析】設(shè)把中間最小的空白長(zhǎng)方形的面積看作單位，那么與它相鄰的陰影部分的面積就是，同理，相鄰的空白部分的面積就是，依此規(guī)律，面積依次下去為7，9，11，則空白部分的面積總和是，而實(shí)際空白部分面積總和是10平方厘米，可得單位1的實(shí)際面積是（平方厘米）；同理，那么陰影部分面積總和是：，然后進(jìn)一步解答即可．【解答】解：設(shè)把中間最小的空白長(zhǎng)方形的面積看作單位，那么與它相鄰的陰影部分的面積就是，同理，相鄰的空白部分的面積就是，依此規(guī)律，面積依次下去為7，9，11，則空白部分的面積總和是，而實(shí)際空白部分面積總和是10平方厘米，可得單位1的實(shí)際面積是（平方厘米）；那么陰影部分面積總和是：，則實(shí)際面積是：（平方厘米）；答：陰影部分面積總和是14平方厘米．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是通過(guò)方程思想，確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，然后把要求的量統(tǒng)一到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下再解答．4．（10分）請(qǐng)?jiān)趫D中的每個(gè)方框中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得乘法豎式成立．那么乘積是A．2986 B．2858 C．2672 D．2754【分析】根據(jù)特殊情況入手，結(jié)果中的數(shù)字2如果有進(jìn)位那么0上邊只能是9，根據(jù)910多除以7得130多，7前面只能是1，與數(shù)字0矛盾，那么就是沒(méi)有進(jìn)位．根據(jù)已知數(shù)字進(jìn)行分析沒(méi)有矛盾的就是符合題意的．【解答】解：首先根據(jù)結(jié)果中的首位數(shù)字是2，如果有進(jìn)位那么0上邊只能是9，根據(jù)910多除以7得130多，7前面只能是1，與數(shù)字0矛盾那么乘數(shù)中的三位數(shù)的首位只能是1或者2，因?yàn)槌藬?shù)中有7而且結(jié)果是三位數(shù)，那么乘數(shù)中三位數(shù)首位只能是1．那么已知數(shù)字7前面只能是2，根據(jù)已知數(shù)字0再推出乘數(shù)三位數(shù)中的十位數(shù)字是0．再根據(jù)乘數(shù)中的數(shù)字7與三位數(shù)相乘有1的進(jìn)位，尾數(shù)只能是2．所以是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)特殊情況來(lái)分析，豎式的問(wèn)題多用于排除法，有多種情況的枚舉出來(lái)根據(jù)已知數(shù)字進(jìn)行推理，同時(shí)不要忘記有進(jìn)位的情況，問(wèn)題解決．5．（10分）在序列中，從第5個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都是前面4個(gè)數(shù)字和的個(gè)位數(shù)，這樣的序列可以一直寫(xiě)下去．那么從第5個(gè)數(shù)字開(kāi)始，該序列中一定不會(huì)出現(xiàn)的數(shù)組是A．8615 B．2016 C．4023 D．2017【分析】分析結(jié)果中的奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)，如果四個(gè)數(shù)字中出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)，那么下一個(gè)數(shù)字的結(jié)果一定是奇數(shù)，則2個(gè)奇數(shù)加兩個(gè)偶數(shù)結(jié)果就是偶數(shù)．分析枚舉找到規(guī)律即可．【解答】解：枚舉法0170的數(shù)字和是8下一個(gè)數(shù)字就是8．1708的數(shù)字和是16下一個(gè)數(shù)字就是6．7086的數(shù)字和是21下一個(gè)數(shù)字就是1．0861的數(shù)字和是15下一個(gè)數(shù)字是5．8615的數(shù)字和是20下一個(gè)數(shù)字是0．6150的數(shù)字和為12下一個(gè)數(shù)字就是2．規(guī)律總結(jié)：查看數(shù)字中奇數(shù)的個(gè)數(shù)，奇數(shù)一出現(xiàn)就是2個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)也是數(shù)字問(wèn)題中的奇數(shù)偶數(shù)連接的問(wèn)題，數(shù)字中有一個(gè)奇數(shù)那么數(shù)字和一定是奇數(shù)，所以數(shù)字和一定是兩個(gè)奇數(shù)連在一起的，選項(xiàng)中只有1個(gè)奇數(shù)兩邊都是偶數(shù)不符合題意．選項(xiàng)中奇數(shù)在后可以再接一個(gè)奇數(shù)．問(wèn)題解決．6．（10分）從0至9中選擇四個(gè)不同的數(shù)字分別填入方框中的四個(gè)括號(hào)中，共有種填法使得方框中話是正確的．這句話里有個(gè)數(shù)大于1，有個(gè)數(shù)大于2，有個(gè)數(shù)大于3，有個(gè)數(shù)大于4．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先考慮共4個(gè)空的數(shù)字不相同而且還有1，2，3，4一共是8個(gè)數(shù)字，如果有0和1，那么至少大于1的數(shù)字還有5個(gè)，大于4的數(shù)字最多是4個(gè)，最少是1個(gè)，根據(jù)這些條件進(jìn)行枚舉篩選．【解答】解：依題意可知：設(shè)有個(gè)數(shù)是大于1的，有個(gè)數(shù)是大于2的，有個(gè)數(shù)是大于3的，有個(gè)數(shù)是大于4的．因?yàn)?，2，3，4各有一個(gè)，還有4個(gè)空，那么有．且，①若，那么在這8個(gè)數(shù)字中需要有4個(gè)數(shù)字大于4，目前只有，，是大于4的不滿足條件．②若時(shí)，那么在這8個(gè)數(shù)中需要有3個(gè)數(shù)是大于4的，，，都是大于4的滿足條件．則大于3的數(shù)字共個(gè)4．與矛盾③若時(shí)，則，大于4，不大于4，則是取3或者4，分析，，，依次是7，5，3，2或者7，5，4，2④若時(shí)，則是大于4的，，是不大于4的，由3，4，都是大于2的，所以，則大于2的數(shù)共4個(gè)，所以，此時(shí)大于3的數(shù)有，，4此時(shí)，那么大于2的數(shù)字共5個(gè)，矛盾故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題的突破口首先是，的范圍，縮小了枚舉的范圍，根據(jù)題意枚舉出來(lái)進(jìn)行篩選，找出矛盾的即可排除，問(wèn)題解決．二、填空題（每小題10分，共40分）7．（10分）若，那么的值是4．【分析】先把繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)，求出關(guān)于未知數(shù)的方程，然后根據(jù)等式的性質(zhì)解方程即可．【解答】解：故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)和解方程的綜合應(yīng)用，注意計(jì)算要準(zhǔn)確，否則容易出錯(cuò)．8．（10分）如圖中，“華羅庚金杯”五個(gè)漢字分別代表這五個(gè)不同的數(shù)字．將各線段兩端點(diǎn)的數(shù)字相加得到五個(gè)和，共有10種情況使得這五個(gè)和恰為五個(gè)連續(xù)自然數(shù)．【分析】根據(jù)“每條線段兩端點(diǎn)上的數(shù)字和恰為5個(gè)連續(xù)自然數(shù)”可以看出這5個(gè)和比原來(lái)1、2、3、4、5要大些；五角星5個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)都算了兩次，所以可以算出5個(gè)和的總和為：，原來(lái)5個(gè)自然數(shù)的和是：，新的5個(gè)連續(xù)自然數(shù)比原來(lái)5個(gè)連續(xù)自然數(shù)多了：，平均每個(gè)多，則新的5個(gè)連續(xù)自然數(shù)為：、、、、，即4、5、6、7、8；然后結(jié)合最小和最大的自然數(shù)即可確定每個(gè)頂點(diǎn)處有幾種選值，再確定共有幾種情況．【解答】解：五角星5個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)都算了兩次，所以可以算出5個(gè)和的總和為：，原來(lái)5個(gè)自然數(shù)的和是：，新的5個(gè)連續(xù)自然數(shù)比原來(lái)5個(gè)連續(xù)自然數(shù)多了：，平均每個(gè)多，則新的5個(gè)連續(xù)自然數(shù)為：、、、、，即4、5、6、7、8；觀察這新的5個(gè)連續(xù)自然數(shù)，最小的自然數(shù)4只能是，最大的自然數(shù)8只能是，并且2與1，4與5不能組合，這樣就有如下組合：因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)有2種不同的選值，所以共有種；答：共有10種情況使得這五個(gè)和恰為五個(gè)連續(xù)自然數(shù)．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)字分析與組合能力，關(guān)鍵是確定一個(gè)頂點(diǎn)有幾種選值．9．（10分）如圖中，是平行四邊形，為的中點(diǎn)，和的交點(diǎn)為，和的交點(diǎn)為，和的交點(diǎn)為，四邊形的面積是15平方厘米，則的面積是180平方厘米．【分析】如圖，連接，，根據(jù)三角形的面積和底的正比關(guān)系，判斷出、、與的關(guān)系，推出與的關(guān)系，再根據(jù)四邊形的面積是15平方厘米，求出的面積是多少即可．【解答】解：如圖，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以；因?yàn)楹偷慕稽c(diǎn)為，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，所以；因?yàn)?，且，所以，，所以，所以；所以，所以（平方厘米）答：的面積是180平方厘米．故答案為：180．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的面積和底的正比關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出、、與的關(guān)系．10．（10分）若2017，1029與725除以的余數(shù)均為，那么的最大值是35．【分析】根據(jù)題意可得，，，，均能被整除，則，，，這三個(gè)數(shù)也能被整除，即988，1292，304均能被整除，不難得出，三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是76，即的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余數(shù)可看成；然后分別用725