蘇教版八年級數(shù)學暑假第04講線段、角的軸對稱性練習(學生版+解析)

第04講線段、角的軸對稱性【學習目標】理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質(zhì)。2、了解線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質(zhì)與判定方法?！净A(chǔ)知識】1．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．【考點剖析】一．角平分線的性質(zhì)（共6小題）1．（真題?焦作期末）點P在∠AOB的平分線上，點P到OA邊的距離等于5，點Q是OB邊上的任意一點，下列選項正確的是（）A．PQ＜5 B．PQ＞5 C．PQ≥5 D．PQ≤52．（真題?澠池縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若AB＝8，△ABD的面積為16，則CD的長為（）A．2 B．4 C．6 D．83．（真題?錫山區(qū)期末）如圖，已知△ABC的周長是10，∠B和∠C的平分線交于P點，過P點作BC的垂線交BC于點D，且PD＝2，則△ABC的面積是．4．（真題?石城縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E，且E為AB的中點．（1）求∠B的度數(shù)．（2）若DE＝5，求BC的長．5．（真題?如皋市期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為cm2．6．（2022春?丹徒區(qū)月考）如圖，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求證：DC⊥BC．二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共7小題）7．（真題?高青縣期末）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于點D，交BC于點E．若AB＝10cm，AC＝8cm，則△ACD的周長是（）A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm8．（真題?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若∠BAC＝114°，則∠EAF為（）A．40° B．44° C．48° D．52°9．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直線DE是邊AB的垂直平分線，連接BE．（1）若∠A＝35°，則∠CBE＝°；（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面積．10．（真題?鼓樓區(qū)校級月考）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G．若BC＝15，求△AEG的周長．11．（真題?梁溪區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）求∠DAF的度數(shù)；（2）如果BC＝8，求△DAF的周長．12．（2022?建湖縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，若AC＝5cm，BC＝12cm，則△ACD的周長為cm．13．（2022?宿城區(qū)校級開學）如圖，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于點D，交BC于點E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，則∠EAC＝．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2020·江蘇八年級月考）三名同學分別站在一個三角形三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應放的最適當?shù)奈恢迷谌切蔚模ǎ〢．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點2．（2021·江蘇八年級期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，，于點B，點E是BD的中點，連接AE，CE，則AE與CE的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．3．（2021·江蘇八年級專題練習）到三角形三個頂點距離相等的點是（）的交點．A．三角形三邊垂直平分線的交點 B．三角形三條高的交點C．三角形三條中線的交點 D．三角形三條角平分線的交點4．（2021·江蘇泰州中學附屬初中八年級月考）如圖，在中，分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M、N，直線與相交于點E．過點C作，垂足為點D，與相交于點F．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（2021·江蘇八年級專題練習）如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則周長等于的長．其中正確的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④二、填空題6．（2020·南京市金陵匯文學校八年級開學考試）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為點D，E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，則∠ABC=___________°．7．（2021·江蘇八年級期中）如圖，△ABC中，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D，AC＝5，△AEC的周長為12，則AB＝___．8．（2021·江蘇八年級期中）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；②分別以D，E為圓心，以大于DE的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F；③作射線BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為_____．9．（2019·江蘇）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=6，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為__________．10．（2019·江蘇蘇州·八年級月考）如圖，在中，，O為的兩角平分線的交點，且，，，則點O到邊AB的距離為__________．三、解答題11．（2018·江蘇）作圖題：（1）在圖1中，畫出關(guān)于直線的對稱圖形．（2）在圖2中，已知和、兩點，在內(nèi)部找一點，使，且到的兩邊、的距離相等．12．（2018·蘇州市吳江區(qū)青云中學八年級月考）作圖題：（1）近年來，國家實施農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革，某縣計劃在甲村、乙村之間設(shè)立一座定點醫(yī)療站點，甲、乙兩村坐落在兩相交公路內(nèi)（如圖所示）．醫(yī)療站必須符合下列條件：①到兩公路、的距離相等；②到甲、乙兩村的距離也相等．請確定點的位置．（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）（2）如圖，先將向下平移3個單位得到，再以直線為對稱軸將翻折得到，請在所給的方格紙中依次作出和．13．（2019·江蘇）已知，如圖，在△ACB中，∠C=90°．（1）作∠B的平分線BD交AC于點D．（要求尺規(guī)作圖，保留痕跡）（2）過點D作斜邊AB的垂線段，垂足為點E．（要求尺規(guī)作圖，保留痕跡）（3）求證：CD=ED．第04講線段、角的軸對稱性【學習目標】理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質(zhì)。2、了解線段的垂直平分線和角平分線的概念，探索并掌握其性質(zhì)與判定方法?！净A(chǔ)知識】1．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．【考點剖析】一．角平分線的性質(zhì)（共6小題）1．（真題?焦作期末）點P在∠AOB的平分線上，點P到OA邊的距離等于5，點Q是OB邊上的任意一點，下列選項正確的是（）A．PQ＜5 B．PQ＞5 C．PQ≥5 D．PQ≤5【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點P到OB的距離為5，再根據(jù)垂線段最短解答．【解答】解：∵點P在∠AOB的平分線上，點P到OA邊的距離等于5，∴點P到OB的距離為5，∵點Q是OB邊上的任意一點，∴PQ≥5．故選：C．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（真題?澠池縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若AB＝8，△ABD的面積為16，則CD的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)三角形的面積公式求出DE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CD．【解答】解：作DE⊥AB于E，如圖所示：則AB×DE＝16，即8×DE＝16，解得，DE＝4，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE＝4，故選：B．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．（真題?錫山區(qū)期末）如圖，已知△ABC的周長是10，∠B和∠C的平分線交于P點，過P點作BC的垂線交BC于點D，且PD＝2，則△ABC的面積是10．【分析】過P點分別作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，由角平分線的性質(zhì)可求PE＝PF＝PD＝2，結(jié)合三角形的周長，利用S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC可求解．【解答】解：過P點分別作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接AP，∵∠B和∠C的平分線交于P點，PD⊥BC，∴PE＝PF＝PD＝2，∵△ABC的周長是10，∴AB+BC+AC＝10，∴S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC＝10．【點評】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，運用角平分線的性質(zhì)求解PE＝PF＝PD＝2是解題的關(guān)鍵．4．（真題?石城縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E，且E為AB的中點．（1）求∠B的度數(shù)．（2）若DE＝5，求BC的長．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠2＝∠B，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計算，得到答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CD，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)計算即可．【解答】解：（1）∵DE⊥AB于點E，E為AB的中點，∴DE是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠2＝∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∵∠C＝90°，∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝10，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝5，∴BC＝CD+BD＝15．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（真題?如皋市期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為14cm2．【分析】過D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝AD＝4cm，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．【解答】解：過D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，對角線BD平分∠ABC，∴AD＝DE，∵AD＝4cm，∴DE＝4cm，∵BC＝7cm，∴S△BCD14（cm2），故答案為：14．【點評】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．6．（2022春?丹徒區(qū)月考）如圖，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求證：DC⊥BC．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂直的定義、三角形內(nèi)角和，可以得到∠DCE的度數(shù)，從而可以證明結(jié)論成立．【解答】證明：∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∴∠ABE＝90°，∠AED＝90°，∠4+∠1＝90°，∴∠3+∠6＝90°，∠6+∠5＝90°，∴∠3＝∠5，∴∠4+∠5＝90°，∴∠DCE＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°，∴DC⊥BC．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和、平分線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共7小題）7．（真題?高青縣期末）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于點D，交BC于點E．若AB＝10cm，AC＝8cm，則△ACD的周長是（）A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：∵DE是線段BC的垂直平分線，∴DB＝DC，∴△ACD的周長＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝18（cm），故選：B．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（真題?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若∠BAC＝114°，則∠EAF為（）A．40° B．44° C．48° D．52°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，結(jié)合圖形計算即可．【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，則∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，∵EG是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，故選：C．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．9．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直線DE是邊AB的垂直平分線，連接BE．（1）若∠A＝35°，則∠CBE＝20°；（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，進而得到∠EBA＝∠A＝35°，計算即可；（2）根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝35°，∴∠CBE＝55°﹣35°＝20°，故答案為：20；（2）∵EB＝EA＝3，∴BC2，∴△ABC的面積CA×BC＝4．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的面積計算，掌握垂直平分線上任意一點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．（真題?鼓樓區(qū)校級月考）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G．若BC＝15，求△AEG的周長．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，GA＝GC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∵GF是線段AC的垂直平分線，∴GA＝GC，∴△AEG的周長＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝15．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．11．（真題?梁溪區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）求∠DAF的度數(shù)；（2）如果BC＝8，求△DAF的周長．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠B+∠C＝75°，然后利用∠DAF＝∠BAC﹣（∠B+∠C）進行計算即可；（2）由于DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，則利用等線段代換得到△DAF的周長＝BC．【解答】解：（1）∵DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，∴DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∵∠BAC＝105°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝75°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝105°﹣75°＝30°；（2）∵DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，∴DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，∴△DAF的周長＝DA+DF+FA＝DB+DF+CF＝BC＝8．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．12．（2022?建湖縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，若AC＝5cm，BC＝12cm，則△ACD的周長為18cm．【分析】由勾股定理先求解AB的長，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得CD＝BD，繼而可得△ACD的周長為：AC+AB，則可求得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，∴AB（cm），∵DE是BC的垂直平分線，∴CD＝BD，∴△ACD的周長為：AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18（cm），故答案為：18．【點評】本題考查的是勾股定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．（2022?宿城區(qū)校級開學）如圖，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于點D，交BC于點E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，則∠EAC＝70°．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAE＝∠B＝30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，∵∠C＝50°，∴∠EAC＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝70°，故答案為：70°．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2020·江蘇八年級月考）三名同學分別站在一個三角形三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應放的最適當?shù)奈恢迷谌切蔚模ǎ〢．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，凳子的位置應該到三個頂點的距離相等，從而可確定答案．【詳解】因為三邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，這樣就能保證凳子到三名同學的距離相等，以保證游戲的公平，故選：D．【點睛】本題主要考查垂直平分線的應用，掌握垂直平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵．2．（2021·江蘇八年級期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，，于點B，點E是BD的中點，連接AE，CE，則AE與CE的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以得到，再根據(jù)垂線段最短即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，E是BD的中點，∴．又∵于點B，∴AE是斜線段，BE是垂線段．∴AE>BE．∴AE>CE．故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，和垂線段最短的定理，正確理解并應用這些知識點是解題關(guān)鍵．3．（2021·江蘇八年級專題練習）到三角形三個頂點距離相等的點是（）的交點．A．三角形三邊垂直平分線的交點 B．三角形三條高的交點C．三角形三條中線的交點 D．三角形三條角平分線的交點【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等即可判斷．【詳解】解：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，到三角形三個頂點的距離相等的點是三角形三邊垂直平分線的交點，故選：Ａ．【點睛】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應用，解題的關(guān)鍵是：掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．4．（2021·江蘇泰州中學附屬初中八年級月考）如圖，在中，分別以點A、C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M、N，直線與相交于點E．過點C作，垂足為點D，與相交于點F．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接DE，如圖，利用基本作圖得到AE=CE，則DE為斜邊AC的中線，所以DE=AE=CE，則∠ADE=∠A=34°，接著證明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性質(zhì)計算∠BFC的度數(shù)．【詳解】解：連接DE，如圖，由作法得MN垂直平分AC，∴AE=CE，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDE=90°，∵DE為斜邊AC的中線，∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A=34°，∵BD=CE，∴BD=DE，∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．故選：B．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．5．（2021·江蘇八年級專題練習）如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則周長等于的長．其中正確的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④【答案】B【分析】證明△BDF≌△ADC，可判斷①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延長CF交AB于H，證明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判斷③；根據(jù)①可以得到E是AC的中點，然后可以推出EF是AC的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)可判斷④．【詳解】解：∵△ABC中，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，F(xiàn)D=CD，故①正確，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②錯誤；延長CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正確；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=AC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周長=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周長等于AB，故④正確，綜上：①③④正確，故選B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，也利用了三角形的周長公式解題，綜合性比較強，對學生的能力要求比較高．二、填空題6．（2020·南京市金陵匯文學校八年級開學考試）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為點D，E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，則∠ABC=___________°．【答案】45【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)，先證△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．【詳解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（對頂角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，∵∠ADB=90°．∴∠ABC=∠BAD=45°．故答案為：45．【點睛】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．7．（2021·江蘇八年級期中）如圖，△ABC中，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點E、D，AC＝5，△AEC的周長為12，則AB＝___．【答案】7【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵DE是線段BC的垂直平分線，∴EB＝EC，∵△AEC的周長為12，∴AC+AE+EC＝12，∴AC+AE+EB＝AC+AB＝12，∴AB＝12﹣5＝7，故答案為：7．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（2021·江蘇八年級期中）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于D，交BC于E；②分別以D，E為圓心，以大于DE的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F；③作射線BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為_____．【答案】24【分析】如圖，過點作于，于．證明，求出，即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點作于，于．由作圖可知，平分，，，，，，，，故答案為24．【點睛】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積等知識，學會添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題是解題的關(guān)鍵．9．（2019·江蘇）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=6，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為__________．【答案】6【分析】根據(jù)垂線段最短得出當DP⊥BC時，DP的長度最小，求出∠ABD=∠CBD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出AD=DP=6，即可得出選項．【詳解】解：∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠C+∠CBD=90°，∵∠A=90°∴∠ABD+∠ADB=90°，∵∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，當DP⊥BC時，DP的長度最小，∵AD⊥AB，∴DP=AD，∵AD=6，∴DP的最小值是6，

故答案為：6．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和垂線段最短等知識點，能知道當DP⊥BC時，DP的長度最小是解此題的關(guān)鍵．10．（2019·江蘇蘇州·八年級月考）如圖，在中，，O為的兩角平分線的交點，且，，，則點O到邊AB的距離為__________．【答案】2．【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE＝OD＝OF，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接OC，∵點O為∠ABC與∠CAB的平分線的交