備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)7.2空間幾何的體積與表面積(精講)(原卷版+解析)

7.2空間幾何的體積與表面積（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一柱錐臺(tái)表面積【例1-1】（2022·青海）以邊長為4的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C．32 D．16【例1-2】（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知圓錐的母線長與底面直徑都等于2，一個(gè)圓柱內(nèi)接于這個(gè)圓錐，即圓柱的上底面是圓錐的一個(gè)截面，下底面在圓錐的底面內(nèi)，則圓柱側(cè)面積的最大值為(

)A． B． C． D．3【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點(diǎn)和底面上各點(diǎn)均在該球面上），求此圓錐側(cè)面積和球表面積之比（

）A． B． C． D．2．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）如圖所示的建筑物是號(hào)稱“神州第一圓樓”的福建土樓——二宜樓，其外形是圓柱形，圓樓直徑為73.4m，忽略二宜樓頂部的屋檐，若二宜樓的外層圓柱墻面的側(cè)面積略小于底面直徑為40m，高為10m的圓錐的側(cè)面積的，則二宜樓外層圓柱墻面的高度可能為（

）A．16m B．17m C．18m D．19m3．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知.底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二柱錐臺(tái)的體積【例2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【例2-2】（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【例2-3】（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知四面體中，，則體積的最大值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·江蘇）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．2．（2022·廣西桂林）一個(gè)三棱錐S-ABC的側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D，E，F(xiàn)，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=3：1，則這個(gè)容器最多可盛放原來容器的（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，如圖所示.已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)，滿足面ABC，，若，則該“鞠”的體積的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三球的體積與表面積【例3】（2022·甘肅省武威第一中學(xué)）如圖，半徑為4的球中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與圓柱的表面積之差為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全國·贛州市第三中學(xué)）已知某正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心恰好重合，如果其內(nèi)切球的半徑為，其外接球的體積為，那么這個(gè)三棱錐的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·天津·耀華中學(xué)二模）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為（

）A． B． C． D．3．（2022·山東青島·二模）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱長都為1，則這個(gè)幾何體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四空間幾何的截面【例4-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的母線長為2，側(cè)面積為，則過頂點(diǎn)的截面面積的最大值等于（

）A． B． C．3 D．2【例4-2】．（2022·湖南·長沙一中模擬預(yù)測）（多選）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個(gè)圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的表面積之比為B．平面DEF截得球的截面面積最小值為C．四面體CDEF的體積的取值范圍為D．若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為【一隅三反】1．（2022·江西鷹潭·二模）《算數(shù)術(shù)》竹簡于上世紀(jì)八十年代出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.現(xiàn)有一圓錐底面周長為，側(cè)面面積為，其體積的近似公式為，用此π的近似取值（用分?jǐn)?shù)表示）計(jì)算過該圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值為（

）A．15 B． C． D．82．（2022·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生對(duì)圓臺(tái)體木塊進(jìn)行平面切割，已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，要求切割面經(jīng)過圓臺(tái)的兩條母線且使得切割面的面積最大.若圓臺(tái)的高為，則切割面的面積為______；若圓臺(tái)的高為，則切割面的面積為______.3．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)）已知圓錐的底面直徑為，過一母線的截面是面積的等邊三角形，則該圓錐的體積為________．7.2空間幾何的體積與表面積（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一柱錐臺(tái)表面積【例1-1】（2022·青海）以邊長為4的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C．32 D．16【答案】A【解析】以邊長為4的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底面半徑，高，故其側(cè)面積．故選：A【例1-2】（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知圓錐的母線長與底面直徑都等于2，一個(gè)圓柱內(nèi)接于這個(gè)圓錐，即圓柱的上底面是圓錐的一個(gè)截面，下底面在圓錐的底面內(nèi)，則圓柱側(cè)面積的最大值為(

)A． B． C． D．3【答案】A【解析】如圖，，，，則，設(shè)，，則，，則，∴圓柱側(cè)面積為：，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：A．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點(diǎn)和底面上各點(diǎn)均在該球面上），求此圓錐側(cè)面積和球表面積之比（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直角圓錐底面半徑為，則其側(cè)棱為，所以頂點(diǎn)到底面圓圓心的距離為：，所以底面圓的圓心即為外接球的球心，所以外接球半徑為，所以.故選：A.2．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）如圖所示的建筑物是號(hào)稱“神州第一圓樓”的福建土樓——二宜樓，其外形是圓柱形，圓樓直徑為73.4m，忽略二宜樓頂部的屋檐，若二宜樓的外層圓柱墻面的側(cè)面積略小于底面直徑為40m，高為10m的圓錐的側(cè)面積的，則二宜樓外層圓柱墻面的高度可能為（

）A．16m B．17m C．18m D．19m【答案】A【解析】底面直徑為40m，高為10m的圓錐的母線長為，所以該圓錐的側(cè)面積為，設(shè)二宜樓外層圓柱墻面的高度為，則由，解得因?yàn)槎藰堑耐鈱訄A柱墻面的側(cè)面積略小于底面直徑為40m，高為10m的圓錐的側(cè)面積的，所以二宜樓外層圓柱墻面的高度可能為，故選：A3．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖.已知.底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得圓錐體的母線長為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為（），故選：C考點(diǎn)二柱錐臺(tái)的體積【例2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因?yàn)槭沁呴L為的正三角形，所以外接圓的半徑，所以點(diǎn)到平面的距離，為球的直徑，點(diǎn)到平面的距離為，此棱錐的體積為，故選：A．【例2-2】（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【解析】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因?yàn)?，所以，因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，則,由可得平面，設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為則則該幾何體的體積為.故選：D.【例2-3】（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知四面體中，，則體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)M為CD的中點(diǎn)，連接AM,BM,設(shè)四面體A-BCD的高為h，則,由于，故,則,設(shè)，則,所以，當(dāng)且僅當(dāng)平面ACD與平面BCD垂直且即時(shí)取等號(hào)，故選：C【一隅三反】1．（2022·江蘇）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.2．（2022·廣西桂林）一個(gè)三棱錐S-ABC的側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D，E，F(xiàn)，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=3：1，則這個(gè)容器最多可盛放原來容器的（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，這個(gè)容器最多可盛放原來容器的比例為，設(shè)到平面的距離為，則.又，故故選：C3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，如圖所示.已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)，滿足面ABC，，若，則該“鞠”的體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中點(diǎn)為,過作,且,因?yàn)槠矫鍭BC,所以平面.由于,故,進(jìn)而可知,所以是球心,為球的半徑.由,又,當(dāng)且僅當(dāng),等號(hào)成立,故此時(shí),所以球半徑,故,體積最小值為故選:C4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵球的體積為，所以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.考點(diǎn)三球的體積與表面積【例3】（2022·甘肅省武威第一中學(xué)）如圖，半徑為4的球中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與圓柱的表面積之差為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖.設(shè)圓柱底面半徑為，球的半徑與圓柱底面夾角為，則，，圓柱的高，圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，圓柱的側(cè)面積最大，為，球的表面積與圓柱的表面積之差為.故選：D．【一隅三反】1．（2022·全國·贛州市第三中學(xué)）已知某正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心恰好重合，如果其內(nèi)切球的半徑為，其外接球的體積為，那么這個(gè)三棱錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影點(diǎn)為等邊的中心，取線段的中點(diǎn)，連接，則，易知三棱錐的外接球球心在線段上，設(shè)正三棱錐的外接球半徑為，則，解得，設(shè)正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，故，平面，平面，，易知，則，所以，，故，所以，，由勾股定理可得，所以，正三棱錐是邊長為的正四面體，因此，正三棱錐的表面積為.故選：B.2．（2022·天津·耀華中學(xué)二模）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐的高為，內(nèi)切球的半徑為，其軸截面如圖所示，設(shè)為內(nèi)切球球心，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，得，即，所以，所以，因?yàn)椤?，所?所以，得，所以圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為，故選：A3．（2022·山東青島·二模）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱長都為1，則這個(gè)幾何體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接,交于點(diǎn),取的中點(diǎn)，則平面,,取的中點(diǎn),連接,作,垂足為，如圖所示由題意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即這個(gè)幾何體的外接球的球心為，半徑為，所以這個(gè)幾何體的外接球的體積為.故選：B.考點(diǎn)四空間幾何的截面【例4-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的母線長為2，側(cè)面積為，則過頂點(diǎn)的截面面積的最大值等于（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【解析】由圓錐的母線長為2，側(cè)面積為，假設(shè)底面圓周長為，因此，故底面圓周長為，底面圓的半徑為.由于軸截面為腰長為2，底邊長為底面圓直徑的等腰三角形，因此軸截面的頂角是.故當(dāng)截面為頂角是的等腰三角形時(shí)面積最大，此時(shí).故選：D【例4-2】．（2022·湖南·長沙一中模擬預(yù)測）（多選）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個(gè)圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的表面積之比為B．平面DEF截得球的截面面積最小值為C．四面體CDEF的體積的取值范圍為D．若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，則球表面積為，圓柱的表面積，所以球與圓柱的表面積之比為，故A錯(cuò)誤；過作于，則由題可得，設(shè)到平面DEF的距離為，平面DEF截得球的截面圓的半徑為，則，，所以平面DEF截得球的截面面積最小值為，故B正確；由題可知四面體CDEF的體積等于，點(diǎn)到平面的距離，又，所以，故C正確；由題可知點(diǎn)在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面的射影為，則，設(shè)，則，，所以，所以，故D正確.故選：BCD.【一隅三反】1．（2022·江西鷹潭·二模）《算數(shù)術(shù)》竹簡于上世紀(jì)八十年代出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.