備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)3.3指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)(精講)(原卷版+解析)

3.3指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一指數(shù)運(yùn)算【例1-1】（2022·江西）化簡___.【例1-2】（2022·江蘇）化簡：________．【一隅三反】1．（2022·河南）_____．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）×0＋80.25×＋(×)6－=____________3．（2021·江蘇省）已知，則的值為___________．考點(diǎn)二單調(diào)性【例2-1】（2021·安徽）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【例2-2】（2021·北京市）已知函數(shù)|在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【例2-3】（2022·河南省）已知函數(shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)，且，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·遼寧沈陽）已知函數(shù)，則函數(shù)（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足對任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，則a的取值范圍為（）A． B．(0，1) C． D．(0，3)3．（2022·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高三開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.考點(diǎn)三最值（值域）【例3-1】（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）．A． B． C． D．【例3-2】（2022·北京）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·寧夏）已知的最小值為2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2021·河南）若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．5．（2022·河南焦作·二模（理））已知函數(shù)為奇函數(shù)，且的圖象和函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段的中點(diǎn)在直線上，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．考點(diǎn)四指數(shù)式比較大小【例4-1】（2022·河南焦作）若，，，a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【例4-2】（2022·江西·二模（理））設(shè)，則(

)A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·河南洛陽）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2022·河南）已知，，，則（

）A． B．C． D．3．（2022·江蘇蘇州）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五解不等式【例5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【例5-2】（2022·浙江·舟山中學(xué)）已知函數(shù)，若都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知（為常數(shù)）為奇函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021·山東）已知函數(shù)，若對任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則的解集為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)六定點(diǎn)【例6】（2022·新疆阿勒泰）函數(shù)圖象過定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則最小值為___________.【一隅三反】1．（2022·內(nèi)蒙古）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為___________.2．（2022·云南）函數(shù)恒過定點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切線方程為_____.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線方程經(jīng)過指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)，則的最小值______________.3.3指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一指數(shù)運(yùn)算【例1-1】（2022·江西）化簡___.【答案】214【解析】原式＝＋2－3－2＋1＝214.故答案為：214.【例1-2】（2022·江蘇）化簡：________．【答案】【解析】原式故答案為：﹒【一隅三反】1．（2022·河南）_____．【答案】【解析】原式=.故答案為：.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）×0＋80.25×＋(×)6－=____________【答案】110【解析】原式＝.故答案為：1103．（2021·江蘇?。┮阎?，則的值為___________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所?故答案為：考點(diǎn)二單調(diào)性【例2-1】（2021·安徽）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則原函數(shù)可化為，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故選：A.【例2-2】（2021·北京市）已知函數(shù)|在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】由的圖象向右平移1個(gè)單位，可得的圖象，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)|在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【例2-3】（2022·河南?。┮阎瘮?shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)，且，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)，且，都有成立，所以，對任意的實(shí)數(shù)，且，，即函數(shù)是上的減函數(shù)．因?yàn)椋?，，要使在上單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞增．另一方面，函數(shù)為減函數(shù)，所以，，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：D．【一隅三反】1．（2022·遼寧沈陽）已知函數(shù)，則函數(shù)（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】A【解析】∵∴，∴函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足對任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，則a的取值范圍為（）A． B．(0，1) C． D．(0，3)【答案】A【解析】因?qū)θ我鈞1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，則f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)為R上的減函數(shù)，則函數(shù)在上是減函數(shù)，有，函數(shù)在上是減函數(shù)，有，即，并且滿足：，即，解和，綜上得，所以a的取值范圍為.故選：A3．（2022·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高三開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，，∴若，時(shí)，等號不成立，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；若，時(shí)，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增，不符合題意.綜上，有時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.故答案為：.考點(diǎn)三最值（值域）【例3-1】（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，函數(shù)，，令，則在上單調(diào)遞增，即，于是有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：B【例3-2】（2022·北京）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)得：；當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以，解得，故選；D【一隅三反】1．（2022·寧夏）已知的最小值為2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以需要當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，令，則，原式轉(zhuǎn)化為在恒成立，是二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為直線，所以在上最大值為，所以，故選：D.2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出的圖象，如圖，結(jié)合函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)，而時(shí)，，所以，綜上，，故選：D3．（2021·河南）若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，且的值域?yàn)椋?，解?故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)是R上偶函數(shù)，因，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，，令，則，因此，原函數(shù)化為：，顯然在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：A5．（2022·河南焦作·二模（理））已知函數(shù)為奇函數(shù)，且的圖象和函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段的中點(diǎn)在直線上，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，符合題意.聯(lián)立，消去得到關(guān)于y的二次方程，，設(shè)，，則，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，解得.所以，所以的值域?yàn)?故選：B考點(diǎn)四指數(shù)式比較大小【例4-1】（2022·河南焦作）若，，，a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，同時(shí)，所以.故選：A．【例4-2】（2022·江西·二模（理））設(shè)，則(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，，；，令，∴，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴，∴，即，，又，∴．故選：B．【一隅三反】1．（2022·河南洛陽）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造，，，在時(shí)為減函數(shù)，且，所以在恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即.故選：D2．（2022·河南）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，即，所以，，，則，即A錯(cuò)誤；，，所以，，，，即BC都錯(cuò)誤，D正確.故選：D.3．（2022·江蘇蘇州）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又因，且，所以，即，所以.故選：D.考點(diǎn)五解不等式【例5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，，則函數(shù)是奇函數(shù)，是R上增函數(shù)，，于是得，解得或，所以所求不等式的解集是.故選：C【例5-2】（2022·浙江·舟山中學(xué)）已知函數(shù)，若都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，，所以為奇函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)為增函數(shù)，又為奇函數(shù)，為上單調(diào)遞增函數(shù)，的圖象如下，由得，所以，即在都成立，即，解得.故選：D.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知（為常數(shù)）為奇函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，，得所以，任取，則，則，所以，，則函數(shù)為上的增函數(shù)，由，解得.故選：A.2．（2021·山東）已知函數(shù)，若對任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對任意的，，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，可得，可知函?shù)為奇函數(shù)，又由，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和單調(diào)遞增，任取，則，，可得，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上的增函數(shù)，由，有，有，可得，由題意可知，不等式對任意的恒成立，有，解得．故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以可化為：令，?下面判斷的單調(diào)性和奇偶性.因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)；而，因?yàn)樵赗上為增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增.所以可化為：，即或，解得：或.所以原不等式的解集為.故選：B考點(diǎn)六定點(diǎn)【例6】（2022·新疆阿勒泰）函數(shù)圖象過定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則最小值為___________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，過定點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，，即，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號），的最小值為.故答案為：.【一隅三反】1．（2022·內(nèi)蒙古）