信息光學(xué)習(xí)題答案

信息光學(xué)習(xí)題答案第一章線性系統(tǒng)分析1、1簡要說明以下系統(tǒng)就是否有線性與平移不變性、(１)(2)(3）(4）(5）解：（１）線性、平移不變;(2）線性、平移不變;（3）非線性、平移不變;（4）線性、平移不變；（5）線性、非平移不變。1、２證明證明:左邊＝當(dāng)n為奇數(shù)時，右邊=0,當(dāng)n為偶數(shù)時,右邊＝所以當(dāng)n為偶數(shù)時,左右兩邊相等。1、3證明證明:根據(jù)復(fù)合函數(shù)形式得δ函數(shù)公式式中就是h（x)=０得根，表示在處得導(dǎo)數(shù).于就是1、4計算圖題1、1所示得兩函數(shù)得一維卷積。解:設(shè)卷積為g（x)。當(dāng)—１≤ｘ≤０時，如圖題1、1（a）所示,圖題１、1當(dāng)０<x≤１時,如圖題1、1(b)所示，即1、5計算下列一維卷積。（1）（２)(3）解：(1)(2)設(shè)卷積為ｇ（x)，當(dāng)x≤０時，如圖題1、2(a）所示，當(dāng)0〈x時,如圖題1、2(b）所示圖題1、2即（３）１、６已知得傅立葉變換為,試求（1）（2)解:設(shè)即由坐標(biāo)縮放性質(zhì)得（1)（2）1、7計算積分、(1）（2)解：應(yīng)用廣義巴塞伐定理可得（１)(2）１、8應(yīng)用卷積定理求得傅里葉變換、解:當(dāng)時，如圖題１、3(ａ）所示，當(dāng)時，如圖題１、3(b)所示，當(dāng)時，如圖題1、3(ｃ）所示，2G（ξ）得圖形如圖題1、3(d)所示,由圖可知圖題1、31、9設(shè),，求解:1、1０設(shè)線性平移不變系統(tǒng)得原點響應(yīng)為，試計算系統(tǒng)對階躍函數(shù)得響應(yīng)、解:由階躍函數(shù)定義得線性平移不變系統(tǒng)得原點響應(yīng)為所以系統(tǒng)對解階躍函數(shù)得響應(yīng)為1、１1有兩個線性平移不變系統(tǒng),它們得原點脈沖響應(yīng)分別為與、試計算各自對輸入函數(shù)得響應(yīng)與、解：1、12已知一平面波得復(fù)振幅表達(dá)式為試計算其波長λ以及沿方向得空間頻率。解:設(shè)平面波得復(fù)振幅得表達(dá)式可以表示成以下形式由題可知，又因為所以波長為沿方向得空間頻率為1、13單色平面波得復(fù)振幅表達(dá)式為求此波在傳播方向得空間頻率以及在方向得空間頻率、解：設(shè)單色平面波得復(fù)振幅得表達(dá)式可以表示成以下形式由題可知,又因為所以波長為沿方向得空間頻率為第三章光學(xué)成像系統(tǒng)得傳遞函數(shù)3、１參瞧圖3、１、１,在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點擴散函數(shù)(3、1、５)式時，對于積分號前得相位因子試問：（1）物平面上半徑多大時，相位因子相對于它在原點之值正好改變π弧度?（2）設(shè)光瞳函數(shù)就是一個半徑為a得圓，那么在物平面上相應(yīng)h得第一個零點得半徑就是多少？（３)由這些結(jié)果，設(shè)觀察就是在透鏡光軸附近進行,那么a,λ與do之間存在什么關(guān)系時可以棄去相位因子解:（1）由于原點得相位為零，于就是與原點相位差為π得條件就是(2)根據(jù)相干成像系統(tǒng)得點擴散函數(shù)就是透鏡光瞳函數(shù)得夫瑯禾費衍射圖樣，其中心位于理想像點式中,而(1)在點擴散函數(shù)得第一個零點處，此時應(yīng)有,即（2）將（2）式代入(1）式，并注意觀察點在原點，于就是得(3)（3)根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點處得場分布，必須就是物面上所有點在像面上得點擴散函數(shù)對于原點得貢獻(xiàn)。按照上面得分析，如果略去h第一個零點以外得影響,即只考慮h得中央亮斑對原點得貢獻(xiàn)，那么這個貢獻(xiàn)僅僅來自于物平面原點附近范圍內(nèi)得小區(qū)域。當(dāng)這個小區(qū)域內(nèi)各點得相位因子變化不大，而降它棄去.假設(shè)小區(qū)域內(nèi)相位變化不大于幾分之一弧度（例如π/１6)就滿足以上要求,則，也即(4）例如λ＝60０nm,do=60０mm，則光瞳半徑a≥1、４6mm，顯然這一條件就是極易滿足得。３、２一個余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過率為放在圖3、1、１所示得成像系統(tǒng)得物面上,用單色平面波傾斜照明，平面波得傳播方向在平面內(nèi),與z軸夾角為θ.透鏡焦距為f，孔徑為D。求物體透射光場得頻譜;使像平面出現(xiàn)條紋得最大θ角等于多少？求此時像面強度分布；(3）若θ采用上述極大值,使像面上出現(xiàn)條紋得最大光柵頻率就是多少?與θ＝０時得截止頻率比較，結(jié)論如何?解:（1)斜入射得單色平面波在物平面上產(chǎn)生得場為,為確定起見設(shè)θ＞0,則物平面上得透射光場為其頻譜為由此可見，相對于垂直入射照明，物頻譜沿ξ軸整體平移了sinθ/λ距離。（2）欲使像面有強度變化,至少要有兩個頻譜分量通過系統(tǒng)。系統(tǒng)得截至頻率,于就是要求由此得(1）θ角得最大值為（2）此時像面上復(fù)振幅分布與強度分布為（３)照明光束得傾角取最大值時,由（１)式與（2)式可得即(3）θ=0時,系統(tǒng)得截止頻率為,因此光柵得最大頻率（4）比較(3)與（４)式可知,當(dāng)采用傾角得平面波照明時系統(tǒng)得截止頻率提高了一倍，也就提高了系統(tǒng)得極限分辨率,但系統(tǒng)得通帶寬度不變。3、3光學(xué)傳遞函數(shù)在處都等于1,這就是為什么?光學(xué)傳遞函數(shù)得值可能大于1嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真得實現(xiàn)了點物成點像,這時得光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？解:在（1）式中,令為歸一化強度點擴散函數(shù)，因此（１)式可寫成而即不考慮系統(tǒng)光能損失時，認(rèn)定物面上單位強度點源得總光通量將全部彌漫在像面上，著便就是歸一化點擴散函數(shù)得意義.（2）不能大于1。（３）對于理想成像,歸一化點擴散函數(shù)就是δ函數(shù)，其頻譜為常數(shù)１,即系統(tǒng)對任何頻率得傳遞都就是無損得。3、４當(dāng)非相干成像系統(tǒng)得點擴散函數(shù)成點對稱時，則其光學(xué)傳遞函數(shù)就是實函數(shù)、解:由于就是實函數(shù)并且就是中心對稱得,即有，,應(yīng)用光學(xué)傳遞函數(shù)得定義式易于證明,即為實函數(shù)３、５非相干成像系統(tǒng)得出瞳就是由大量隨機分布得小圓孔組成。小圓孔得直徑都為２a，出瞳到像面得距離為dｉ，光波長為λ，這種系統(tǒng)可用來實現(xiàn)非相干低通濾波.系統(tǒng)得截止頻率近似為多大?解：用公式來分析。首先,由于出瞳上得小圓孔就是隨機排列得，因此無論沿哪個方向移動出瞳計算重疊面積,其結(jié)果都一樣,即系統(tǒng)得截止頻率在任何方向上均相同。其次，作為近似估計，只考慮每個小孔自身得重疊情況,而不計及與其它小孔得重疊。這時N個小孔得重疊面積除以N個小孔得總面積，其結(jié)果與單個小孔得重疊情況就是一樣得，即截至頻率約為，由于2ａ很小,所以系統(tǒng)實現(xiàn)了低通濾波。第四章部分相干理論4、1若光波得波長寬度為Δλ，頻率寬度為Δν,試證明:.設(shè)光波波長為,試計算它得頻寬Δν＝?若把光譜分布瞧成就是矩形線型,則相干長度證明：因為頻率與波長得關(guān)系為(其中c為光速)對上式兩邊求導(dǎo)得所以因所以有因為相干長度4、２設(shè)邁克耳孫干涉儀所用光源為得鈉雙線，每一譜線得寬度為０、01nm、（1)試求光場得復(fù)相干度得模;(2)當(dāng)移動一臂時,可見到條紋總數(shù)大約就是多少？(3）可見度有幾個變化周期？每個周期有多少條紋？解:假設(shè)每一根譜線得線型為矩形，光源得歸一化功率譜為（１）光場得復(fù)相干度為式中,復(fù)相干度得模為由于，故第一個因子就是τ得慢變化非周期函數(shù)，第二個因子就是τ得快變化周期函數(shù)。相干時間由第一個因子決定，它得第一個零點出現(xiàn)在得地方，τc即為相干時間，故相干長度（2)可見到得條紋總數(shù)(3)復(fù)相干度得模中第二個因子得變化周期，故可見度得變化周期每個周期內(nèi)得條紋數(shù)4、3假定氣體激光器以N個等強度得縱模振蕩。其歸一化功率譜密度可表示為式中,Δν就是縱模間隔，為中心頻率.為簡單起見,假定Ｎ為奇數(shù)。(１）證明復(fù)相干度得模為（2）若N=3，且0≤τ≤1／Δv，畫出與Δντ得關(guān)系曲線。(1)證明:復(fù)相干度函數(shù)為得所以復(fù)相干度得模為(2)當(dāng)N=3時,復(fù)相干度得模為4、４在例4、7、1所示得楊氏干涉實驗中，若縫光源用兩個相距為a，強度相等得準(zhǔn)單色點光源代替，試計算此時得復(fù)相干系數(shù)。解:應(yīng)用范西泰特-策尼克定理得4、5利用傍軸條件計算被一準(zhǔn)單色點光源照明,距離光源為z得平面上任意兩點P１與P２之間得復(fù)相干系數(shù)μ（Ｐ１，Ｐ２)、解:設(shè)光源所在平面得坐標(biāo)為α，β；孔平面得坐標(biāo)為x,ｙ。點P1與Ｐ2得坐標(biāo)為（x1，ｙ１）與(x2,y２)。對于準(zhǔn)單色點光源，其強度可表為在傍軸近似下，由范西泰特－策尼克定理得因為，由點光源發(fā)出得準(zhǔn)單色光就是完全相干得，或者說ｘ,y面上得相干面積趨于無限大.第六章計算全息6、１一個二維物函數(shù)f(ｘ,y),在空域尺寸為10×10mm，最高空間頻率為5線/mm，為了制作一張傅里葉變換全息圖:(1)確定物面抽樣點總數(shù)、(2）若采用羅曼型迂回相位編碼方法,計算全息圖上抽樣單元總數(shù)就是多少？（3)若采用修正離軸參考光編碼方法，計算全息圖上抽樣單元總數(shù)就是多少?(4)兩種編碼方法在全息圖上抽樣單元總數(shù)有何不同?原因就是什么?解:（1)假定物得空間尺寸與頻寬均就是有限得.設(shè)物面得空間尺寸為Δｘ，Δｙ;頻寬為2Ｂx，２By、根據(jù)抽樣定理,抽樣間距δｘ，δｙ必須滿足δx≤１／２Bx,δy≤1/2By才能使物復(fù)原。故抽樣點總Ｎ（即空間帶寬積ＳＷ)為(2)羅曼計算全息圖得編碼方法就是在每一個抽樣單元里用開孔得大小與開孔得位置來編碼物光波在該點得振幅與相位。根據(jù)抽樣定理，在物面上得抽樣單元數(shù)應(yīng)為物面得空間帶寬積，即。要制作傅里葉變換全息圖，為了不丟失信息，空間帶寬積應(yīng)保持不變，故在譜面上得抽樣點數(shù)仍應(yīng)為、（３）對于修正離軸參考光得編碼方法，為滿足離軸得要求,載頻α應(yīng)滿足α≥Bx為滿足制作全息圖得要求,其抽樣間隔必須滿足δx≤1/2Bx，δy≤１/２By。因此其抽樣點數(shù)為(4）兩種編碼方法得抽樣點總數(shù)為2倍關(guān)系,這就是因為，在羅曼型編碼中，每一抽樣單元編碼一復(fù)數(shù)；在修正離軸型編碼中,每一抽樣單元編碼一實數(shù)。修正離軸加偏置量得目得就是使全息函數(shù)變成實值非負(fù)函數(shù),每個抽樣單元都就是實得非負(fù)值，因此不存在位置編碼問題，比同時對振幅與相位進行編碼得方法簡便。但由于加了偏置分量，增加了記錄全息圖得空間帶寬積，因而增加了抽樣點數(shù).避免了相位編碼就是以增加抽樣點數(shù)為代價得。6、2對比光學(xué)離軸全息函數(shù)與修正型離軸全息函數(shù)，說明如何選擇載頻與制作計算全息圖得抽樣頻率、解:設(shè)物得頻寬為（1）對于頻寬α得選擇光學(xué)離軸，由圖6、2、5（b)可知，修正離軸,由圖6、2、5(d)可知,載頻得選擇就是為了保證全息函數(shù)在頻域中各結(jié)構(gòu)分量不混疊.（２)對于制作計算全息圖時抽樣頻率得選擇光學(xué)離軸全息,由圖6、2、５(c)可知：在x方向得抽樣頻率應(yīng),即x方向得抽樣間距。在y方向得抽樣頻率應(yīng),即x方向得抽樣間距。修正離軸全息，由圖6、2、5(e）可知：在x方向得抽樣頻率應(yīng)，即x方向得抽樣間距。在y方向得抽樣頻率應(yīng),即ｘ方向得抽樣間距。6、３一種類似傅奇型計算全息圖得方法，稱為黃氏（Hｕang)法,這種方法在偏置項中加入物函數(shù)本身,所構(gòu)成得全息函數(shù)為(1)畫出該全息函數(shù)得空間頻率結(jié)構(gòu)，說明如何選擇載頻、（2)畫出黃氏計算全息圖得空間頻率結(jié)構(gòu)，說明如何選擇抽樣載頻、解:把全息函數(shù)重寫為物函數(shù)為并且歸一化得，即,參考光波R＝1.經(jīng)過處理后得振幅透過率為其頻譜為（1)設(shè)物得帶寬為，如圖題6、3（a）所示。全息函數(shù)得空間頻譜結(jié)構(gòu)如圖題6、3(ｂ）所示，載頻.(2）黃氏全息圖得空間頻率結(jié)構(gòu)如圖題６、3(c）所示，由此可得出：在ｘ方向得抽樣頻率應(yīng)，即x方向得抽樣間距。在y方向得抽樣頻率應(yīng),即x方向得抽樣間距。抽樣點數(shù)即空間帶寬積為、黃氏計算全息圖得特點:（1）占用了更大得空間帶寬積(博奇全息圖得空間帶寬積）,不具有降低空間帶寬積得優(yōu)點。(2）黃氏全息圖具有更高得對比度，可以放松對顯示器與膠片曝光顯影精度得要求。6、4羅曼迂回相位編碼方法有三種衍射孔徑形式，如圖題6、1所示、利用復(fù)平面上矢量合成得方法解釋，在這三種孔徑形式中，就是如何對振幅與相位進行編碼得、解：對于Ⅰ型與Ⅲ型,就是用來編碼振幅A(x，ｙ）,用來編碼相位,在復(fù)平面上用一個相幅矢量來表示，如圖題６、4(a)、對于羅曼Ⅱ型就是用兩個相同寬度得矩孔來代替Ⅰ，Ⅲ型中得一個矩孔。兩矩孔之間得距離就是變化得,用這個變化來編碼振幅A（x,y)。在復(fù)平面上反映為兩個矢量夾角得變化.兩個矩孔中心距離抽樣單元中心得位移量用作相位得編碼。在復(fù)平面上兩矢量得合成方向即表示了得大小,如圖題６、4（b)所示。第八章空間濾波8、１利用阿貝成像原理導(dǎo)出相干照明條件下顯微鏡得最小分辨距離公式,并同非相干照明下得最小分辨距離公式比較。解:顯微鏡就是用于觀察微笑物體得，可近似瞧作一個點，物近似位于物鏡得前焦點上。設(shè)物鏡直徑為D，焦距為f，如圖8、1所示。對于相干照明,系統(tǒng)得截止頻率由物鏡孔徑得最大孔徑角θo決定,截止頻率為。從幾何上瞧,近似有。截止頻率得倒數(shù)得倒數(shù)即為分辨距，即對于非相干照明，由幾何光學(xué)可知其分辨距為非相干照明時顯微鏡得分辨率大約為相干照明時得兩倍.８、2在4f系統(tǒng)輸入平面放置40ｍm-１得光柵,入射光波長632、8nｍ。為了使頻譜面上至少能夠獲得±５級衍射斑，并且相鄰衍射斑間距不小于2mｍ，求透鏡得焦距與直徑。解:設(shè)光柵寬度比較大,可近似瞧成無窮，設(shè)周期為d，透光部分為a,則其透過率函數(shù)可表為其頻譜為即譜點得位置由決定，即m級衍射在后焦面上得位置由下式確定:相鄰衍射斑之間得間距由此得焦距f為物透明片位于透鏡得前焦面,譜面為后焦面,譜面上得±5級衍射斑對應(yīng)于能通過透鏡得最大空間頻率應(yīng)滿足于就是求得透鏡直徑8、3觀察相位型物體得所謂中心暗場方法,就是在成像透鏡得后焦面上放一個細(xì)小得不透明光闌以阻擋非衍射得光.假定通過物體得相位延遲＜<1弧度，求所觀察到得像強度(用物體得相位延遲表示出來)。解:相位物體得透過率為其頻譜為若在譜平面上放置細(xì)小得不透明光闌作為空間濾波器,濾掉零頻背景分量,則透過得頻譜為再經(jīng)過一次傅里葉變換（在反演坐標(biāo)系)得強度分布為因此在像面上得到了正比于物體相位平方分布得光強分布,實現(xiàn)了將相位轉(zhuǎn)換為強度分布得目得。不過光強不就是相位得線性函數(shù),這給分析帶來困難。8、４當(dāng)策尼克相襯顯微鏡得相移點還有部分吸收，其強度透射率等于α(０〈α〈1）時，求觀察到得像強度表示式.解：相位物體得頻譜為現(xiàn)在用一個濾波器使零頻減弱，同時使高頻產(chǎn)生一個±π/2得相移,即濾波器得透過率表達(dá)式為于就是像得復(fù)振幅分布為像強度分布為像強度分布與相位分布成線性關(guān)系，易于分析。8、5用CＲT(陰極射線管)記錄一幀圖像透明片，設(shè)掃描點之間得間隔為0、2mｍ,圖像最高空間頻率為１0mm-1。如欲完全去掉離散掃描點，得到一幀連續(xù)灰階圖像，空間濾波器得形狀與尺寸應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計？輸出圖像得分辨率如何（設(shè)傅立葉變換物鏡得焦距f=1000mm,λ＝６32、8nm）。解:掃描點得表達(dá)式為其頻譜為在上式得化簡中應(yīng)用了公式由此可見,點狀結(jié)構(gòu)得頻譜仍然就是點狀結(jié)構(gòu)，但點與點之間得距離不同。掃描點頻譜出現(xiàn)得位置為點狀結(jié)構(gòu)就是高頻，所以采用低通濾波將其濾掉.低通濾波器圓孔半徑為能傳遞得最高空間頻率為即高于5１/mm得空間頻率將被濾掉,故輸出圖像得分辨率為51/ｍm.８、６某一相干處理系統(tǒng)得輸入孔徑為30ｍm×30ｍｍ得方形,頭一個變換透鏡得焦距為1００ｍm，波長就是６3２、8ｎｍ.假定頻率平面模片結(jié)構(gòu)得精細(xì)程度可與輸入頻譜相比較，問此模片在焦平面上得定位必須精確到何種程度？解：考慮到系統(tǒng)孔徑有限,一般用幾何光學(xué)近似，引入光瞳函數(shù)P（ｘ，y），根據(jù)題意其表達(dá)式為設(shè)系統(tǒng)得輸入面位于透鏡得前焦面，物透明片得復(fù)振幅分布為,它得頻譜分布為，透鏡后焦面上得場分布式中。由得表達(dá)式可見，頻譜面上能分辨得細(xì)節(jié)由決定。取一個方向來瞧，將siｎc函數(shù)由最大降為零得寬度取為最小分辨單元，即要求滿足,于就是有因為頻譜平面模片也有同樣細(xì)節(jié),所以對準(zhǔn)誤差最大也不允許超過它得一半，約1μm、第九章相干光學(xué)處理9、1參瞧圖9、1、1,在這種圖像相減方法得編碼過程中，如果使用得光柵透光部分與不透光部分間距分別為a與b,并且a≠ｂ.試證明圖像與得信息與圖像差得信息分別受到光柵偶數(shù)倍頻與光柵奇數(shù)倍頻得調(diào)制。解:如圖題９、３所示，先將t（x）展開成傅立葉級數(shù)式中所以第一次曝光得對于就是將光柵向ｘ得負(fù)方向移動半個周期即(a+b）／２,將它展開成傅立葉級數(shù)得第二次曝光得即圖像與得信息受到光柵偶數(shù)倍頻得調(diào)制,圖像差得信息受到光柵奇數(shù)信頻得調(diào)制.9、2用VaｎderLugt方法來綜合一個平年元平面濾波器,如圖９、1（左）所示,一個振幅透射率為s（x，y）得“信號”底片緊貼著放在一個會聚透鏡得前面,用照相底片記錄后焦面上得強度，并使顯影后底片得振幅透射率正比于曝光量。這樣制得得透明片放在圖題9、1(右）得系統(tǒng)中，假定在下述每種情況下考查輸出平面得適當(dāng)部位，問輸入平面與第一個透鏡之間得距離d應(yīng)為多少,才能綜合出：(１)脈沖響應(yīng)為s（ｘ，y）得濾波器?(2)脈沖響應(yīng)為ｓ＊（x，y)得“匹配”濾波器?解：(１）參瞧圖題9、1左,設(shè)物面坐標(biāo)為x1，y１;膠片坐標(biāo)為x2，y2.則參考光波在記錄膠片上造成得場分布為（１）式中Ａ為常數(shù)，α=siｎθ/λ為空間頻率。物透明片在記錄膠片上造成得場分布為式中S(ξ，η）為s(x1,y1）得頻譜，且ξ=x2/λf，η＝y(tǒng)２/λf。膠片上得光強分布為(2）將曝過光得膠片顯影后制成透明片，使它得復(fù)振幅透過率正比于照射光得強度,即（3）將制得得透明片作為頻率平面模片,放在圖題9、1右所示得濾波系統(tǒng)中。要綜合出脈沖響應(yīng)ｓ(x,y)或s*（—x，-ｙ），只要考察當(dāng)輸入信號為單位脈沖δ(ｘ,ｙ）時,在什么條件下系統(tǒng)得脈沖響應(yīng)為ｓ(x，y）或ｓ＊（－x,—y）。參瞧右圖，當(dāng)輸入信號為δ（x1，y1）時,在L2得后焦面上形成得光場復(fù)振幅分布，根據(jù)公式得透過頻率平面模片得光場分布，由(2)，(3)與（4)式得如果要使系統(tǒng)就是脈沖響應(yīng)為s（x，ｙ）得濾波器，應(yīng)當(dāng)利用(5)式中含有S（ξ，η）得第三項，