2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春五中高二（下）第一學(xué)程數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春五中高二（下）第一學(xué)程數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3=3，A.5 B.6 C.7 D.82.設(shè)f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且limΔx→0f(1?3Δx)?f(1)Δx=3，則A.12 B.?13 C.?13.用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.18 B.24 C.30 D.484.若(x?ax)6A.2 B.1 C.±1 D.±25.過(guò)點(diǎn)P(?2,4)作圓O：(x?2)2+(y?1)2=25的切線l，直線m：4x?by=0與直線l平行，則直線lA.4 B.2 C.85 D.6.老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有(

)A.248種 B.168種 C.360種 D.210種7.已知函數(shù)f(x)=13x3?2x2+ax+1A.1 B.2 C.3 D.48.已知a=ln(2e),b=e+1e,c=ln55A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=panA.若p=?1，q=3，則a10=2 B.若p=?1，q=3，則S10=15

C.若p=2，q=1，則a10=1024 D.10.雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e.過(guò)F2A.b=2 B.e=5

C.雙曲線的方程為x211.已知(1?2x)2023=aA.展開式中所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為22023

B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)

C.a1212.已知函數(shù)f(x)=?x3+3xA..函數(shù)f(x)在(?∞,0)∪(2,+∞)上單調(diào)遞減

B.x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)

C..函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)

D..若函數(shù)f(x)在區(qū)間(3a?1,a+3)上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?3,0]三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足關(guān)系式f(x)=x2+2xf′(3)?3lnx，則f′(3)14.已知直線l過(guò)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，與C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=10.若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，直線l的斜率為______．15.已知泳池深度為2m，其容積為2500m3，如果池底每平方米的維修費(fèi)用為150元.設(shè)入水處的較短池壁長(zhǎng)度為xm，且據(jù)估計(jì)較短的池壁維修費(fèi)用與池壁長(zhǎng)度成正比，且比例系數(shù)為425k(k>0)，較長(zhǎng)的池壁總維修費(fèi)用滿足代數(shù)式2500kx16.定義在R上的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)滿足f′(x)<f(x)，且函數(shù)f(x)的周期T=4，若f(2023)=?e，則不等式f(x)<ex的解集為______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn=(2n+1)an+1(n∈N?)．

(1)求{a18.(本小題12分)

如圖，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．

(1)求證：BA19.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a∈R,b∈R)，其圖象在點(diǎn)(1,4)處的切線方程為y=4．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)20.(本小題12分)

橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32，且橢圓C的短軸長(zhǎng)為2．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)D(0,12)21.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ax?2lnx．

(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>1時(shí)，不等式f(x)<(x?2)lnx+2x+a?1恒成立，求整數(shù)a的最大值．

參考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.A

6.D

7.D

8.B

9.ABD

10.ABC

11.ACD

12.BCD

13.?5

14.±2

15.25

16.(1,+∞)

17.解：(1)因?yàn)?Sn=(2n+1)an+1，令n=1得a1=1，

因?yàn)?Sn=(2n+1)an+1，

所以4Sn?1=(2n?1)an?1+1(n≥2)，

兩式相減得4an=(2n+1)an?(2n?1)an?1(n≥2)，

即(2n?3)an=(2n?1)an?1．

所以18.(1)證明：設(shè)A1C∩AC1=O，則O是A1C中點(diǎn)，連接OD，

又∵D是BC中點(diǎn)，∴OD//A1B，

又∵BA1?平面C1AD，OD?平面C1AD，

∴A1B/?/平面C1AD；

(2)解：∵AB=AC，∴AD⊥BC，

AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，

∴AA1⊥BC，同理AA1⊥AD，

AA1∩AD=A，AA1，AD?平面A1AD19.解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx(a∈R,b∈R)可得：f′(x)=3x2+2ax+b，

所以f(x)在點(diǎn)(1,4)處切線的斜率為k=f′(1)=3+2a+b，

因?yàn)閒(x)在點(diǎn)(1,4)處切線方程為y=4，

所以切線的斜率為0，且f(1)=4，

所以f′(1)=0f(1)=4，即3+2a+b=01+a+b=4，

解得a=?6，b=9，

所以f(x)=x3?6x2+9x；

(2)由(1)知f(x)=x3?6x2+9x，

則f′(x)=3x2?12x+9=3(x?1)(x?3)，

令f′(x)=0得x=1或3，

所以在(12,1)上f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，在(1,3)上f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在(3,5)上f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以在20.解(1)由題意得：e2=c2a2=1?b2a2=(32)2b=22，

解得b=1a=2，

所以橢圓C的方程為x24+y2=1；

(2)由(1)可知P(0,?1)，D(0,12)，

所以|PD|=32，

由題意可知直線斜率必存在，設(shè)直線l：y=kx+12，

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立y=kx+12x24+y2=1，整理可得：(1+4k2)x21.解：(1)由函數(shù)f(x)=ax?2lnx可得f′(x)=a?2x=ax?2x(x>0)，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0恒成立，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞)；無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間．

當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)=0解得x=2a，

令f′(x)<0，解得x∈(0,2a)；

令f′(x)>0，解得x∈(2a,+∞)，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2a)；單調(diào)遞增區(qū)間是(2a,+∞)，

綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞)；無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間，

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2a)；單調(diào)遞增區(qū)間是(2a,+∞)．

(2)當(dāng)x>1時(shí)，不等式f(x)<(x?2)lnx+2x+a?1恒成立，

即ax?2lnx<(x?2)lnx+2x+a?1，

即ax?2lnx<xlnx?2lnx+2x+a?1，

ax<xlnx+2x+a?1，

a(x?1)<xlnx+2x?1，

a(x?1)<xlnx+2(x?1)+1，

a<xlnx+2(x?1)+1x?1，

即a<xlnxx?1+1x?1+2，

令g(x)=xlnxx?1+1x?1+2